MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0.999... Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0.999... 14548
Description: The recurring decimal 0.999..., which is defined as the infinite sum 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... i.e. 9 / 10↑1 + 9 / 10↑2 + 9 / 10↑3 + ..., is exactly equal to 1, according to ZF set theory. Interestingly, about 40% of the people responding to a poll at http://forum.physorg.com/index.php?showtopic=13177 disagree. (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
0.999... Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = 1

Proof of Theorem 0.999...
StepHypRef Expression
1 9cn 11060 . . . . 5 9 ∈ ℂ
2 10re 11469 . . . . . . 7 10 ∈ ℝ
32recni 10004 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
4 nnnn0 11251 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
5 expcl 12826 . . . . . 6 ((10 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (10↑𝑘) ∈ ℂ)
63, 4, 5sylancr 694 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (10↑𝑘) ∈ ℂ)
73a1i 11 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 10 ∈ ℂ)
8 10pos 11467 . . . . . . . 8 0 < 10
92, 8gt0ne0ii 10516 . . . . . . 7 10 ≠ 0
109a1i 11 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 10 ≠ 0)
11 nnz 11351 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
127, 10, 11expne0d 12962 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (10↑𝑘) ≠ 0)
13 divrec 10653 . . . . 5 ((9 ∈ ℂ ∧ (10↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (10↑𝑘) ≠ 0) → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
141, 6, 12, 13mp3an2i 1426 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
157, 10, 11exprecd 12964 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 10)↑𝑘) = (1 / (10↑𝑘)))
1615oveq2d 6626 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
1714, 16eqtr4d 2658 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · ((1 / 10)↑𝑘)))
1817sumeq2i 14371 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘))
192, 9rereccli 10742 . . . . 5 (1 / 10) ∈ ℝ
2019recni 10004 . . . 4 (1 / 10) ∈ ℂ
21 0re 9992 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
222, 8recgt0ii 10881 . . . . . . 7 0 < (1 / 10)
2321, 19, 22ltleii 10112 . . . . . 6 0 ≤ (1 / 10)
2419absidi 14059 . . . . . 6 (0 ≤ (1 / 10) → (abs‘(1 / 10)) = (1 / 10))
2523, 24ax-mp 5 . . . . 5 (abs‘(1 / 10)) = (1 / 10)
26 1lt10 11633 . . . . . 6 1 < 10
27 recgt1 10871 . . . . . . 7 ((10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10) → (1 < 10 ↔ (1 / 10) < 1))
282, 8, 27mp2an 707 . . . . . 6 (1 < 10 ↔ (1 / 10) < 1)
2926, 28mpbi 220 . . . . 5 (1 / 10) < 1
3025, 29eqbrtri 4639 . . . 4 (abs‘(1 / 10)) < 1
31 geoisum1c 14547 . . . 4 ((9 ∈ ℂ ∧ (1 / 10) ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 / 10)) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10))))
321, 20, 30, 31mp3an 1421 . . 3 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10)))
331, 3, 9divreci 10722 . . . 4 (9 / 10) = (9 · (1 / 10))
341, 3, 9divcan2i 10720 . . . . . 6 (10 · (9 / 10)) = 9
35 ax-1cn 9946 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
363, 35, 20subdii 10431 . . . . . . 7 (10 · (1 − (1 / 10))) = ((10 · 1) − (10 · (1 / 10)))
373mulid1i 9994 . . . . . . . 8 (10 · 1) = 10
383, 9recidi 10708 . . . . . . . 8 (10 · (1 / 10)) = 1
3937, 38oveq12i 6622 . . . . . . 7 ((10 · 1) − (10 · (1 / 10))) = (10 − 1)
40 10m1e9 11582 . . . . . . 7 (10 − 1) = 9
4136, 39, 403eqtrri 2648 . . . . . 6 9 = (10 · (1 − (1 / 10)))
4234, 41eqtri 2643 . . . . 5 (10 · (9 / 10)) = (10 · (1 − (1 / 10)))
43 9re 11059 . . . . . . . 8 9 ∈ ℝ
4443, 2, 9redivcli 10744 . . . . . . 7 (9 / 10) ∈ ℝ
4544recni 10004 . . . . . 6 (9 / 10) ∈ ℂ
4635, 20subcli 10309 . . . . . 6 (1 − (1 / 10)) ∈ ℂ
4745, 46, 3, 9mulcani 10618 . . . . 5 ((10 · (9 / 10)) = (10 · (1 − (1 / 10))) ↔ (9 / 10) = (1 − (1 / 10)))
4842, 47mpbi 220 . . . 4 (9 / 10) = (1 − (1 / 10))
4933, 48oveq12i 6622 . . 3 ((9 / 10) / (9 / 10)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10)))
50 9pos 11074 . . . . . 6 0 < 9
5143, 2, 50, 8divgt0ii 10893 . . . . 5 0 < (9 / 10)
5244, 51gt0ne0ii 10516 . . . 4 (9 / 10) ≠ 0
5345, 52dividi 10710 . . 3 ((9 / 10) / (9 / 10)) = 1
5432, 49, 533eqtr2i 2649 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = 1
5518, 54eqtri 2643 1 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  cr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   · cmul 9893   < clt 10026  cle 10027  cmin 10218   / cdiv 10636  cn 10972  9c9 11029  0cn0 11244  cdc 11445  cexp 12808  abscabs 13916  Σcsu 14358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-rlim 14162  df-sum 14359
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator