Theorem selbergs 26136

Description: Selberg's symmetry formula, using the definition of the Selberg function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntsval.1	⊢ 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))

Assertion

Ref	Expression
selbergs	⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((𝑆‘𝑥) / 𝑥) − (2 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑎,𝑥   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖,𝑎)

Proof of Theorem selbergs

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12384	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
2		pntsval.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
3	2	pntsval 26134	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑆‘𝑥) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑥 / 𝑛)))))
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑆‘𝑥) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑥 / 𝑛)))))
5	4	oveq1d 7157	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑆‘𝑥) / 𝑥) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑥 / 𝑛)))) / 𝑥))
6	5	oveq1d 7157	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (((𝑆‘𝑥) / 𝑥) − (2 · (log‘𝑥))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑥 / 𝑛)))) / 𝑥) − (2 · (log‘𝑥))))
7	6	mpteq2ia 5143	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((𝑆‘𝑥) / 𝑥) − (2 · (log‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑥 / 𝑛)))) / 𝑥) − (2 · (log‘𝑥))))
8		selberg 26110	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑥 / 𝑛)))) / 𝑥) − (2 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1)
9	7, 8	eqeltri 2909	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((𝑆‘𝑥) / 𝑥) − (2 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5132  ‘cfv 6341  (class class class)co 7142  ℝcr 10522  1c1 10524   + caddc 10526   · cmul 10528   − cmin 10856   / cdiv 11283  2c2 11679  ℝ⁺crp 12376  ...cfz 12882  ⌊cfl 13150  𝑂(1)co1 14828  Σcsu 15027  logclog 25124  Λcvma 25655  ψcchp 25656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-inf2 9090  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600  ax-pre-sup 10601  ax-addf 10602  ax-mulf 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-disj 5018  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-se 5501  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-isom 6350  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-of 7395  df-om 7567  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-pm 8395  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8820  df-fi 8861  df-sup 8892  df-inf 8893  df-oi 8960  df-dju 9316  df-card 9354  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-div 11284  df-nn 11625  df-2 11687  df-3 11688  df-4 11689  df-5 11690  df-6 11691  df-7 11692  df-8 11693  df-9 11694  df-n0 11885  df-xnn0 11955  df-z 11969  df-dec 12086  df-uz 12231  df-q 12336  df-rp 12377  df-xneg 12494  df-xadd 12495  df-xmul 12496  df-ioo 12729  df-ioc 12730  df-ico 12731  df-icc 12732  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-fac 13624  df-bc 13653  df-hash 13681  df-shft 14411  df-cj 14443  df-re 14444  df-im 14445  df-sqrt 14579  df-abs 14580  df-limsup 14813  df-clim 14830  df-rlim 14831  df-o1 14832  df-lo1 14833  df-sum 15028  df-ef 15406  df-e 15407  df-sin 15408  df-cos 15409  df-tan 15410  df-pi 15411  df-dvds 15593  df-gcd 15827  df-prm 15999  df-pc 16157  df-struct 16468  df-ndx 16469  df-slot 16470  df-base 16472  df-sets 16473  df-ress 16474  df-plusg 16561  df-mulr 16562  df-starv 16563  df-sca 16564  df-vsca 16565  df-ip 16566  df-tset 16567  df-ple 16568  df-ds 16570  df-unif 16571  df-hom 16572  df-cco 16573  df-rest 16679  df-topn 16680  df-0g 16698  df-gsum 16699  df-topgen 16700  df-pt 16701  df-prds 16704  df-xrs 16758  df-qtop 16763  df-imas 16764  df-xps 16766  df-mre 16840  df-mrc 16841  df-acs 16843  df-mgm 17835  df-sgrp 17884  df-mnd 17895  df-submnd 17940  df-mulg 18208  df-cntz 18430  df-cmn 18891  df-psmet 20520  df-xmet 20521  df-met 20522  df-bl 20523  df-mopn 20524  df-fbas 20525  df-fg 20526  df-cnfld 20529  df-top 21485  df-topon 21502  df-topsp 21524  df-bases 21537  df-cld 21610  df-ntr 21611  df-cls 21612  df-nei 21689  df-lp 21727  df-perf 21728  df-cn 21818  df-cnp 21819  df-haus 21906  df-cmp 21978  df-tx 22153  df-hmeo 22346  df-fil 22437  df-fm 22529  df-flim 22530  df-flf 22531  df-xms 22913  df-ms 22914  df-tms 22915  df-cncf 23469  df-limc 24449  df-dv 24450  df-ulm 24951  df-log 25126  df-cxp 25127  df-atan 25431  df-em 25556  df-vma 25661  df-chp 25662  df-mu 25664

This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem4  26142