Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0isummpt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0isummpt2 39977
Description: If a series of nonnegative reals is convergent, then it agrees with the generalized sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0isummpt2.kph 𝑘𝜑
sge0isummpt2.a ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
sge0isummpt2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sge0isummpt2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
sge0isummpt2.b (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sge0isummpt2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍𝐴)) = Σ𝑘𝑍 𝐴)
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem sge0isummpt2
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0isummpt2.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 sge0isummpt2.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
4 sge0isummpt2.kph . . . . . . 7 𝑘𝜑
5 nfv 1840 . . . . . . 7 𝑘 𝑗𝑍
64, 5nfan 1825 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
7 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑘𝑗
87nfcsb1 3533 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴
98nfel1 2775 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ (0[,)+∞)
106, 9nfim 1822 . . . . 5 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ (0[,)+∞))
11 eleq1 2686 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
1211anbi2d 739 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
13 csbeq1a 3527 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
1413eleq1d 2683 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ (0[,)+∞)))
1512, 14imbi12d 334 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ (0[,)+∞))))
16 sge0isummpt2.a . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
1710, 15, 16chvar 2261 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ (0[,)+∞))
18 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑖𝐴
19 nfcsb1v 3534 . . . . . . 7 𝑘𝑖 / 𝑘𝐴
20 csbeq1a 3527 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖𝐴 = 𝑖 / 𝑘𝐴)
2118, 19, 20cbvmpt 4714 . . . . . 6 (𝑘𝑍𝐴) = (𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴)
2221eqcomi 2630 . . . . 5 (𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴) = (𝑘𝑍𝐴)
237, 8, 13, 22fvmptf 6262 . . . 4 ((𝑗𝑍𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
243, 17, 23syl2anc 692 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
25 rge0ssre 12229 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
26 ax-resscn 9944 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
2725, 26sstri 3596 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
2827, 17sseldi 3585 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
29 sge0isummpt2.b . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝐵)
3021a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐴) = (𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴))
3130seqeq3d 12756 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) = seq𝑀( + , (𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴)))
3231breq1d 4628 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝐵 ↔ seq𝑀( + , (𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴)) ⇝ 𝐵))
3329, 32mpbid 222 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴)) ⇝ 𝐵)
341, 2, 24, 28, 33isumclim 14423 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝑍 𝑗 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
35 nfcv 2761 . . . 4 𝑗𝑍
36 nfcv 2761 . . . 4 𝑘𝑍
37 nfcv 2761 . . . 4 𝑗𝐴
3813, 35, 36, 37, 8cbvsum 14366 . . 3 Σ𝑘𝑍 𝐴 = Σ𝑗𝑍 𝑗 / 𝑘𝐴
3938a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = Σ𝑗𝑍 𝑗 / 𝑘𝐴)
404, 16, 2, 1, 29sge0isummpt 39975 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍𝐴)) = 𝐵)
4134, 39, 403eqtr4rd 2666 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍𝐴)) = Σ𝑘𝑍 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  csb 3518   class class class wbr 4618  cmpt 4678  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9885  cr 9886  0cc0 9887   + caddc 9890  +∞cpnf 10022  cz 11328  cuz 11638  [,)cico 12126  seqcseq 12748  cli 14156  Σcsu 14357  Σ^csumge0 39907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-pm 7812  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-rp 11784  df-ico 12130  df-icc 12131  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-seq 12749  df-exp 12808  df-hash 13065  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-clim 14160  df-rlim 14161  df-sum 14358  df-sumge0 39908
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator