Theorem smadiadetlem3 21277

Description: Lemma 3 for smadiadet 21279. (Contributed by AV, 31-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
marep01ma.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marep01ma.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
marep01ma.r	⊢ 𝑅 ∈ CRing
marep01ma.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
marep01ma.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
smadiadetlem.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
smadiadetlem.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
madetminlem.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
madetminlem.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
madetminlem.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
smadiadetlem.w	⊢ 𝑊 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
smadiadetlem.z	⊢ 𝑍 = (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾}))

Assertion

Ref	Expression
smadiadetlem3	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑛,𝐵   𝑖,𝑞,𝐾,𝑗,𝑛   𝑖,𝑀,𝑗,𝑛   𝑖,𝑁,𝑗,𝑛   𝑃,𝑖,𝑗,𝑛,𝑞   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛   1 ,𝑖,𝑗,𝑛   0 ,𝑖,𝑗,𝑛   𝑛,𝐺,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   𝑀,𝑝   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝,𝑖,𝑗   𝑞,𝑝   𝑛,𝑊,𝑝   𝐺,𝑝   𝑌,𝑝   𝑍,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑛,𝑞,𝑝)   𝐵(𝑞)   𝑅(𝑞)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑛,𝑞,𝑝)   · (𝑖,𝑗,𝑛,𝑞,𝑝)   1 (𝑞,𝑝)   𝐺(𝑖,𝑗,𝑞)   𝑀(𝑞)   𝑁(𝑞)   𝑊(𝑖,𝑗,𝑞)   𝑌(𝑖,𝑗,𝑛,𝑞)   0 (𝑞,𝑝)   𝑍(𝑖,𝑗,𝑛,𝑞)

Proof of Theorem smadiadetlem3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		marep01ma.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝑅) = (Cntz‘𝑅)
4		marep01ma.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ CRing
5		crngring 19308	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
6		ringmnd 19306	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Mnd)
9		smadiadetlem.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
10		fvexd 6685	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ∈ V)
11	9, 10	eqeltrid 2917	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑊 ∈ V)
12		marep01ma.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
13		marep01ma.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
14		marep01ma.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
15		smadiadetlem.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
16		smadiadetlem.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
17		madetminlem.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
18		madetminlem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
19		madetminlem.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
20		smadiadetlem.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
21	12, 13, 4, 2, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 9, 20	smadiadetlem3lem1 21275	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))):𝑊⟶(Base‘𝑅))
22	12, 13, 4, 2, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 9, 20	smadiadetlem3lem2 21276	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ran (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) ⊆ ((Cntz‘𝑅)‘ran (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))
23		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) = (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))
24	12, 13	matrcl 21021	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
25	24	simpld 497	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
26	25	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
27		diffi 8750	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
28		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
29		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
30	28, 29	symgbasfi 18507	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ∈ Fin)
31	26, 27, 30	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ∈ Fin)
32	9, 31	eqeltrid 2917	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑊 ∈ Fin)
33		ovexd 7191	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ 𝑊) → (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))) ∈ V)
34	2	fvexi 6684	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
35	34	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 0 ∈ V)
36	23, 32, 33, 35	fsuppmptdm 8844	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) finSupp 0 )
37		fveq1 6669	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞‘𝐾) = (𝑝‘𝐾))
38	37	eqeq1d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑝‘𝐾) = 𝐾))
39	38	cbvrabv 3491	. . . . 5 ⊢ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘𝐾) = 𝐾}
40		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
41	15, 39, 9, 40	symgfixf1o 18568	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))):{𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}–1-1-onto→𝑊)
42	25, 41	sylan 582	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))):{𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}–1-1-onto→𝑊)
43	1, 2, 3, 8, 11, 21, 22, 36, 42	gsumzf1o 19032	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))) = (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) ∘ (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))))
44		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
45		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∖ {𝐾}) = (𝑁 ∖ {𝐾})
46	15, 44, 9, 45	symgfixelsi 18563	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∈ 𝑊)
47	46	adantll 712	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∈ 𝑊)
48		eqidd 2822	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
49		fveq2 6670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝) = ((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑦))
50		fveq1 6669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝑝‘𝑛) = (𝑦‘𝑛))
51	50	oveq2d 7172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛)))
52	51	mpteq2dv 5162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))) = (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛))))
53	52	oveq2d 7172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛)))))
54	49, 53	oveq12d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))) = (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛))))))
55	54	cbvmptv 5169	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛))))))
56	55	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) = (𝑦 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛)))))))
57		fveq2 6670	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑦) = ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
58		fveq1 6669	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑦‘𝑛) = ((𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))‘𝑛))
59		fvres 6689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))‘𝑛) = (𝑝‘𝑛))
60	58, 59	sylan9eq 2876	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑦‘𝑛) = (𝑝‘𝑛))
61	60	oveq2d 7172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))
62	61	mpteq2dva 5161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛))) = (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))
63	62	oveq2d 7172	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛)))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))
64	57, 63	oveq12d 7174	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑦‘𝑛))))) = (((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))
65	47, 48, 56, 64	fmptco 6891	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) ∘ (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))) = (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))))
66	15, 18, 20	copsgndif 20747	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)))
67	25, 66	sylan 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)))
68	67	imp 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝))
69	68	oveq1d 7171	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))) = (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))
70	69	mpteq2dva 5161	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) = (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))))
71	65, 70	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) ∘ (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))) = (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))))
72	71	oveq2d 7172	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))) ∘ (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))
73	43, 72	eqtr2d 2857	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3142  Vcvv 3494   ∖ cdif 3933  {csn 4567   ↦ cmpt 5146   ↾ cres 5557   ∘ ccom 5559  –1-1-onto→wf1o 6354  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∈ cmpo 7158  Fincfn 8509  Basecbs 16483  ._rcmulr 16566  0_gc0g 16713   Σ_g cgsu 16714  Mndcmnd 17911  Cntzccntz 18445  SymGrpcsymg 18495  pmSgncpsgn 18617  mulGrpcmgp 19239  1_rcur 19251  Ringcrg 19297  CRingccrg 19298  ℤRHomczrh 20647   Mat cmat 21016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-xor 1502  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-tpos 7892  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-sup 8906  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-word 13863  df-lsw 13915  df-concat 13923  df-s1 13950  df-substr 14003  df-pfx 14033  df-splice 14112  df-reverse 14121  df-s2 14210  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-prds 16721  df-pws 16723  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-efmnd 18034  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-gim 18399  df-cntz 18447  df-oppg 18474  df-symg 18496  df-pmtr 18570  df-psgn 18619  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-rnghom 19467  df-subrg 19533  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-cnfld 20546  df-zring 20618  df-zrh 20651  df-dsmm 20876  df-frlm 20891  df-mat 21017

This theorem is referenced by:  smadiadetlem4  21278