Theorem znnen 14729

Description: The set of integers and the set of positive integers are equinumerous. Exercise 1 of [Gleason] p. 140. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
znnen	⊢ ℤ ≈ ℕ

Proof of Theorem znnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 8404	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
2		nnenom 12599	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
3	2	ensymi 7870	. . . . . 6 ⊢ ω ≈ ℕ
4		isnumi 8633	. . . . . 6 ⊢ ((ω ∈ On ∧ ω ≈ ℕ) → ℕ ∈ dom card)
5	1, 3, 4	mp2an 703	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ dom card
6		xpnum 8638	. . . . 5 ⊢ ((ℕ ∈ dom card ∧ ℕ ∈ dom card) → (ℕ × ℕ) ∈ dom card)
7	5, 5, 6	mp2an 703	. . . 4 ⊢ (ℕ × ℕ) ∈ dom card
8		subf 10135	. . . . . . 7 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
9		ffun 5947	. . . . . . 7 ⊢ ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → Fun − )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Fun −
11		nnsscn 10875	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
12		xpss12 5137	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℕ ⊆ ℂ ∧ ℕ ⊆ ℂ) → (ℕ × ℕ) ⊆ (ℂ × ℂ))
13	11, 11, 12	mp2an 703	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ × ℕ) ⊆ (ℂ × ℂ)
14	8	fdmi 5951	. . . . . . 7 ⊢ dom − = (ℂ × ℂ)
15	13, 14	sseqtr4i 3600	. . . . . 6 ⊢ (ℕ × ℕ) ⊆ dom −
16		fores 6022	. . . . . 6 ⊢ ((Fun − ∧ (ℕ × ℕ) ⊆ dom − ) → ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ)))
17	10, 15, 16	mp2an 703	. . . . 5 ⊢ ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ))
18		dfz2 11231	. . . . . 6 ⊢ ℤ = ( − “ (ℕ × ℕ))
19		foeq3 6011	. . . . . 6 ⊢ (ℤ = ( − “ (ℕ × ℕ)) → (( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ ↔ ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ))))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ ↔ ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ)))
21	17, 20	mpbir 219	. . . 4 ⊢ ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ
22		fodomnum 8741	. . . 4 ⊢ ((ℕ × ℕ) ∈ dom card → (( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ → ℤ ≼ (ℕ × ℕ)))
23	7, 21, 22	mp2 9	. . 3 ⊢ ℤ ≼ (ℕ × ℕ)
24		xpnnen 14727	. . 3 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
25		domentr 7879	. . 3 ⊢ ((ℤ ≼ (ℕ × ℕ) ∧ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ) → ℤ ≼ ℕ)
26	23, 24, 25	mp2an 703	. 2 ⊢ ℤ ≼ ℕ
27		zex 11222	. . 3 ⊢ ℤ ∈ V
28		nnssz 11233	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
29		ssdomg 7865	. . 3 ⊢ (ℤ ∈ V → (ℕ ⊆ ℤ → ℕ ≼ ℤ))
30	27, 28, 29	mp2 9	. 2 ⊢ ℕ ≼ ℤ
31		sbth 7943	. 2 ⊢ ((ℤ ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ ℤ) → ℤ ≈ ℕ)
32	26, 30, 31	mp2an 703	1 ⊢ ℤ ≈ ℕ

Syntax hints:   ↔ wb 194   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  Vcvv 3172   ⊆ wss 3539   class class class wbr 4577   × cxp 5026  dom cdm 5028   ↾ cres 5030   “ cima 5031  Oncon0 5626  Fun wfun 5784  ⟶wf 5786  –onto→wfo 5788  ωcom 6935   ≈ cen 7816   ≼ cdom 7817  cardccrd 8622  ℂcc 9791   − cmin 10118  ℕcn 10870  ℤcz 11213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-omul 7430  df-er 7607  df-map 7724  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-oi 8276  df-card 8626  df-acn 8629  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523

This theorem is referenced by:  qnnen  14730  odinf  17752  odhash  17761  cygctb  18065  iscmet3  22844  dyadmbl  23119  mbfsup  23182  dya2iocct  29503  zenom  38068