Theorem znnen 14985

Description: The set of integers and the set of positive integers are equinumerous. Exercise 1 of [Gleason] p. 140. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
znnen	⊢ ℤ ≈ ℕ

Proof of Theorem znnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 8581	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
2		nnenom 12819	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
3	2	ensymi 8047	. . . . . 6 ⊢ ω ≈ ℕ
4		isnumi 8810	. . . . . 6 ⊢ ((ω ∈ On ∧ ω ≈ ℕ) → ℕ ∈ dom card)
5	1, 3, 4	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ dom card
6		xpnum 8815	. . . . 5 ⊢ ((ℕ ∈ dom card ∧ ℕ ∈ dom card) → (ℕ × ℕ) ∈ dom card)
7	5, 5, 6	mp2an 708	. . . 4 ⊢ (ℕ × ℕ) ∈ dom card
8		subf 10321	. . . . . . 7 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
9		ffun 6086	. . . . . . 7 ⊢ ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → Fun − )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Fun −
11		nnsscn 11063	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
12		xpss12 5158	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℕ ⊆ ℂ ∧ ℕ ⊆ ℂ) → (ℕ × ℕ) ⊆ (ℂ × ℂ))
13	11, 11, 12	mp2an 708	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ × ℕ) ⊆ (ℂ × ℂ)
14	8	fdmi 6090	. . . . . . 7 ⊢ dom − = (ℂ × ℂ)
15	13, 14	sseqtr4i 3671	. . . . . 6 ⊢ (ℕ × ℕ) ⊆ dom −
16		fores 6162	. . . . . 6 ⊢ ((Fun − ∧ (ℕ × ℕ) ⊆ dom − ) → ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ)))
17	10, 15, 16	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ))
18		dfz2 11433	. . . . . 6 ⊢ ℤ = ( − “ (ℕ × ℕ))
19		foeq3 6151	. . . . . 6 ⊢ (ℤ = ( − “ (ℕ × ℕ)) → (( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ ↔ ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ))))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ ↔ ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ)))
21	17, 20	mpbir 221	. . . 4 ⊢ ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ
22		fodomnum 8918	. . . 4 ⊢ ((ℕ × ℕ) ∈ dom card → (( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ → ℤ ≼ (ℕ × ℕ)))
23	7, 21, 22	mp2 9	. . 3 ⊢ ℤ ≼ (ℕ × ℕ)
24		xpnnen 14983	. . 3 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
25		domentr 8056	. . 3 ⊢ ((ℤ ≼ (ℕ × ℕ) ∧ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ) → ℤ ≼ ℕ)
26	23, 24, 25	mp2an 708	. 2 ⊢ ℤ ≼ ℕ
27		zex 11424	. . 3 ⊢ ℤ ∈ V
28		nnssz 11435	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
29		ssdomg 8043	. . 3 ⊢ (ℤ ∈ V → (ℕ ⊆ ℤ → ℕ ≼ ℤ))
30	27, 28, 29	mp2 9	. 2 ⊢ ℕ ≼ ℤ
31		sbth 8121	. 2 ⊢ ((ℤ ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ ℤ) → ℤ ≈ ℕ)
32	26, 30, 31	mp2an 708	1 ⊢ ℤ ≈ ℕ

Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685   × cxp 5141  dom cdm 5143   ↾ cres 5145   “ cima 5146  Oncon0 5761  Fun wfun 5920  ⟶wf 5922  –onto→wfo 5924  ωcom 7107   ≈ cen 7994   ≼ cdom 7995  cardccrd 8799  ℂcc 9972   − cmin 10304  ℕcn 11058  ℤcz 11415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726

This theorem is referenced by:  qnnen  14986  odinf  18026  odhash  18035  cygctb  18339  iscmet3  23137  dyadmbl  23414  mbfsup  23476  dya2iocct  30470  zenom  39533