Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znnen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znnen 14985
 Description: The set of integers and the set of positive integers are equinumerous. Exercise 1 of [Gleason] p. 140. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
znnen ℤ ≈ ℕ

Proof of Theorem znnen
StepHypRef Expression
1 omelon 8581 . . . . . 6 ω ∈ On
2 nnenom 12819 . . . . . . 7 ℕ ≈ ω
32ensymi 8047 . . . . . 6 ω ≈ ℕ
4 isnumi 8810 . . . . . 6 ((ω ∈ On ∧ ω ≈ ℕ) → ℕ ∈ dom card)
51, 3, 4mp2an 708 . . . . 5 ℕ ∈ dom card
6 xpnum 8815 . . . . 5 ((ℕ ∈ dom card ∧ ℕ ∈ dom card) → (ℕ × ℕ) ∈ dom card)
75, 5, 6mp2an 708 . . . 4 (ℕ × ℕ) ∈ dom card
8 subf 10321 . . . . . . 7 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
9 ffun 6086 . . . . . . 7 ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → Fun − )
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 Fun −
11 nnsscn 11063 . . . . . . . 8 ℕ ⊆ ℂ
12 xpss12 5158 . . . . . . . 8 ((ℕ ⊆ ℂ ∧ ℕ ⊆ ℂ) → (ℕ × ℕ) ⊆ (ℂ × ℂ))
1311, 11, 12mp2an 708 . . . . . . 7 (ℕ × ℕ) ⊆ (ℂ × ℂ)
148fdmi 6090 . . . . . . 7 dom − = (ℂ × ℂ)
1513, 14sseqtr4i 3671 . . . . . 6 (ℕ × ℕ) ⊆ dom −
16 fores 6162 . . . . . 6 ((Fun − ∧ (ℕ × ℕ) ⊆ dom − ) → ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ)))
1710, 15, 16mp2an 708 . . . . 5 ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ))
18 dfz2 11433 . . . . . 6 ℤ = ( − “ (ℕ × ℕ))
19 foeq3 6151 . . . . . 6 (ℤ = ( − “ (ℕ × ℕ)) → (( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ ↔ ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ))))
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5 (( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ ↔ ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ)))
2117, 20mpbir 221 . . . 4 ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ
22 fodomnum 8918 . . . 4 ((ℕ × ℕ) ∈ dom card → (( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ → ℤ ≼ (ℕ × ℕ)))
237, 21, 22mp2 9 . . 3 ℤ ≼ (ℕ × ℕ)
24 xpnnen 14983 . . 3 (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
25 domentr 8056 . . 3 ((ℤ ≼ (ℕ × ℕ) ∧ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ) → ℤ ≼ ℕ)
2623, 24, 25mp2an 708 . 2 ℤ ≼ ℕ
27 zex 11424 . . 3 ℤ ∈ V
28 nnssz 11435 . . 3 ℕ ⊆ ℤ
29 ssdomg 8043 . . 3 (ℤ ∈ V → (ℕ ⊆ ℤ → ℕ ≼ ℤ))
3027, 28, 29mp2 9 . 2 ℕ ≼ ℤ
31 sbth 8121 . 2 ((ℤ ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ ℤ) → ℤ ≈ ℕ)
3226, 30, 31mp2an 708 1 ℤ ≈ ℕ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685   × cxp 5141  dom cdm 5143   ↾ cres 5145   “ cima 5146  Oncon0 5761  Fun wfun 5920  ⟶wf 5922  –onto→wfo 5924  ωcom 7107   ≈ cen 7994   ≼ cdom 7995  cardccrd 8799  ℂcc 9972   − cmin 10304  ℕcn 11058  ℤcz 11415 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726 This theorem is referenced by:  qnnen  14986  odinf  18026  odhash  18035  cygctb  18339  iscmet3  23137  dyadmbl  23414  mbfsup  23476  dya2iocct  30470  zenom  39533
 Copyright terms: Public domain W3C validator