MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subge0 10387
Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
subge0 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem subge0
StepHypRef Expression
1 0red 9894 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
2 simpr 475 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3 simpl 471 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 leaddsub 10350 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 + 𝐵) ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴𝐵)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1317 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 + 𝐵) ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴𝐵)))
62recnd 9921 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
76addid2d 10085 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 + 𝐵) = 𝐵)
87breq1d 4584 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 + 𝐵) ≤ 𝐴𝐵𝐴))
95, 8bitr3d 268 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  wcel 1976   class class class wbr 4574  (class class class)co 6524  cr 9788  0cc0 9789   + caddc 9792  cle 9928  cmin 10114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117
This theorem is referenced by:  subge0i  10427  subge0d  10463  mulsuble0b  10741  znn0sub  11254  uzsubsubfz  12186  difelfzle  12273  difelfznle  12274  fracge0  12419  modge0  12492  2submod  12545  expnbnd  12807  swrdccatin12lem2  13283  swrdccat  13287  repswswrd  13325  cshwidxmod  13343  abssubge0  13858  blcvx  22338  iirev  22464  iihalf2  22468  ovolfsf  22961  cosq14ge0  23981  sinord  23998  resinf1o  24000  ang180lem2  24254  acosbnd  24341  ftalem5  24517  mumullem2  24620  rpvmasumlem  24890  dchrisum0flblem1  24911  brbtwn2  25500  colinearalglem4  25504  ax5seglem3  25526  rescon  30285  fz0n  30672  sin2h  32369  cos2h  32370  tan2h  32371  ftc1anclem5  32459  dvasin  32466  jm2.23  36381  pfxccatin12lem2  40089  subsubelfzo0  40183  m1modmmod  42109
  Copyright terms: Public domain W3C validator