Theorem threehalves 29932

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
threehalves	⊢ (3 / 2) = (1.5)

Proof of Theorem threehalves

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 11286	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		2re 11282	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		2ne0 11305	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
4	1, 2, 3	redivcli 10984	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
5	4	recni 10244	. . 3 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
6		1nn0 11500	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		5re 11291	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		dpcl 29907	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℝ) → (1.5) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	mp2an 710	. . . 4 ⊢ (1.5) ∈ ℝ
10	9	recni 10244	. . 3 ⊢ (1.5) ∈ ℂ
11		2cnne0 11434	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
12	5, 10, 11	3pm3.2i 1424	. 2 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
13		5nn0 11504	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		3nn0 11502	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15		0nn0 11499	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ;15 = ;15
17		df-2 11271	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
18	17	oveq1i 6823	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
19		2p1e3 11343	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
20	18, 19	eqtr3i 2784	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
21		5p5e10 11788	. . . . . 6 ⊢ (5 + 5) = ;10
22	6, 13, 6, 13, 16, 16, 20, 15, 21	decaddc 11764	. . . . 5 ⊢ (;15 + ;15) = ;30
23	6, 13, 6, 13, 14, 15, 22	dpadd 29928	. . . 4 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = (3.0)
24	14	dp0u 29918	. . . 4 ⊢ (3.0) = 3
25	23, 24	eqtri 2782	. . 3 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = 3
26	10	times2i 11340	. . 3 ⊢ ((1.5) · 2) = ((1.5) + (1.5))
27	1	recni 10244	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	11	simpli 476	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	27, 28, 3	divcan1i 10961	. . 3 ⊢ ((3 / 2) · 2) = 3
30	25, 26, 29	3eqtr4ri 2793	. 2 ⊢ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)
31		mulcan2 10857	. . 3 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2) ↔ (3 / 2) = (1.5)))
32	31	biimpa 502	. 2 ⊢ ((((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) ∧ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)) → (3 / 2) = (1.5))
33	12, 30, 32	mp2an 710	1 ⊢ (3 / 2) = (1.5)

Syntax hints:   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  ℝcr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   / cdiv 10876  2c2 11262  3c3 11263  5c5 11265  ℕ₀cn0 11484  ;cdc 11685  .cdp 29904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-dec 11686  df-dp2 29887  df-dp 29905

This theorem is referenced by: (None)