Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fgcl 21883
 Description: A generated filter is a filter. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fgcl (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))

Proof of Theorem fgcl
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfg 21876 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑧 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝑧𝑋 ∧ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑧)))
2 elfvex 6382 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
3 fbasne0 21835 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
4 n0 4074 . . . . . 6 (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐹)
53, 4sylib 208 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ∃𝑦 𝑦𝐹)
6 fbelss 21838 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑦𝐹) → 𝑦𝑋)
76ex 449 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑦𝐹𝑦𝑋))
87ancld 577 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑦𝐹 → (𝑦𝐹𝑦𝑋)))
98eximdv 1995 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (∃𝑦 𝑦𝐹 → ∃𝑦(𝑦𝐹𝑦𝑋)))
105, 9mpd 15 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ∃𝑦(𝑦𝐹𝑦𝑋))
11 df-rex 3056 . . . 4 (∃𝑦𝐹 𝑦𝑋 ↔ ∃𝑦(𝑦𝐹𝑦𝑋))
1210, 11sylibr 224 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ∃𝑦𝐹 𝑦𝑋)
13 elfvdm 6381 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom fBas)
14 sseq2 3768 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑋 → (𝑦𝑧𝑦𝑋))
1514rexbidv 3190 . . . . 5 (𝑧 = 𝑋 → (∃𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑋))
1615sbcieg 3609 . . . 4 (𝑋 ∈ dom fBas → ([𝑋 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑋))
1713, 16syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ([𝑋 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑋))
1812, 17mpbird 247 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → [𝑋 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧)
19 0nelfb 21836 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
20 0ex 4942 . . . . 5 ∅ ∈ V
21 sseq2 3768 . . . . . 6 (𝑧 = ∅ → (𝑦𝑧𝑦 ⊆ ∅))
2221rexbidv 3190 . . . . 5 (𝑧 = ∅ → (∃𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ ∅))
2320, 22sbcie 3611 . . . 4 ([∅ / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ ∅)
24 ss0 4117 . . . . . . 7 (𝑦 ⊆ ∅ → 𝑦 = ∅)
2524eleq1d 2824 . . . . . 6 (𝑦 ⊆ ∅ → (𝑦𝐹 ↔ ∅ ∈ 𝐹))
2625biimpac 504 . . . . 5 ((𝑦𝐹𝑦 ⊆ ∅) → ∅ ∈ 𝐹)
2726rexlimiva 3166 . . . 4 (∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ ∅ → ∅ ∈ 𝐹)
2823, 27sylbi 207 . . 3 ([∅ / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧 → ∅ ∈ 𝐹)
2919, 28nsyl 135 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ¬ [∅ / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧)
30 sstr 3752 . . . . . 6 ((𝑦𝑣𝑣𝑢) → 𝑦𝑢)
3130expcom 450 . . . . 5 (𝑣𝑢 → (𝑦𝑣𝑦𝑢))
3231reximdv 3154 . . . 4 (𝑣𝑢 → (∃𝑦𝐹 𝑦𝑣 → ∃𝑦𝐹 𝑦𝑢))
33323ad2ant3 1130 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑢𝑋𝑣𝑢) → (∃𝑦𝐹 𝑦𝑣 → ∃𝑦𝐹 𝑦𝑢))
34 vex 3343 . . . 4 𝑣 ∈ V
35 sseq2 3768 . . . . 5 (𝑧 = 𝑣 → (𝑦𝑧𝑦𝑣))
3635rexbidv 3190 . . . 4 (𝑧 = 𝑣 → (∃𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑣))
3734, 36sbcie 3611 . . 3 ([𝑣 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑣)
38 vex 3343 . . . 4 𝑢 ∈ V
39 sseq2 3768 . . . . 5 (𝑧 = 𝑢 → (𝑦𝑧𝑦𝑢))
4039rexbidv 3190 . . . 4 (𝑧 = 𝑢 → (∃𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑢))
4138, 40sbcie 3611 . . 3 ([𝑢 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑢)
4233, 37, 413imtr4g 285 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑢𝑋𝑣𝑢) → ([𝑣 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧[𝑢 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧))
43 fbasssin 21841 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑧𝐹𝑤𝐹) → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑧𝑤))
44433expib 1117 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ((𝑧𝐹𝑤𝐹) → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑧𝑤)))
45 sstr2 3751 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ⊆ (𝑧𝑤) → ((𝑧𝑤) ⊆ (𝑢𝑣) → 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣)))
4645com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧𝑤) ⊆ (𝑢𝑣) → (𝑦 ⊆ (𝑧𝑤) → 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣)))
4746reximdv 3154 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝑤) ⊆ (𝑢𝑣) → (∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑧𝑤) → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣)))
48 ss2in 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝑢𝑤𝑣) → (𝑧𝑤) ⊆ (𝑢𝑣))
4947, 48syl11 33 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑧𝑤) → ((𝑧𝑢𝑤𝑣) → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣)))
5044, 49syl6 35 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ((𝑧𝐹𝑤𝐹) → ((𝑧𝑢𝑤𝑣) → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣))))
5150exp5c 645 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑧𝐹 → (𝑤𝐹 → (𝑧𝑢 → (𝑤𝑣 → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣))))))
5251imp31 447 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑧𝐹) ∧ 𝑤𝐹) → (𝑧𝑢 → (𝑤𝑣 → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣))))
5352impancom 455 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑧𝐹) ∧ 𝑧𝑢) → (𝑤𝐹 → (𝑤𝑣 → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣))))
5453rexlimdv 3168 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑧𝐹) ∧ 𝑧𝑢) → (∃𝑤𝐹 𝑤𝑣 → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣)))
5554ex 449 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑧𝐹) → (𝑧𝑢 → (∃𝑤𝐹 𝑤𝑣 → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣))))
5655rexlimdva 3169 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (∃𝑧𝐹 𝑧𝑢 → (∃𝑤𝐹 𝑤𝑣 → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣))))
5756impd 446 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ((∃𝑧𝐹 𝑧𝑢 ∧ ∃𝑤𝐹 𝑤𝑣) → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣)))
58573ad2ant1 1128 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑢𝑋𝑣𝑋) → ((∃𝑧𝐹 𝑧𝑢 ∧ ∃𝑤𝐹 𝑤𝑣) → ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣)))
59 sseq1 3767 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝑢𝑧𝑢))
6059cbvrexv 3311 . . . . 5 (∃𝑦𝐹 𝑦𝑢 ↔ ∃𝑧𝐹 𝑧𝑢)
6141, 60bitri 264 . . . 4 ([𝑢 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑧𝐹 𝑧𝑢)
62 sseq1 3767 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦𝑣𝑤𝑣))
6362cbvrexv 3311 . . . . 5 (∃𝑦𝐹 𝑦𝑣 ↔ ∃𝑤𝐹 𝑤𝑣)
6437, 63bitri 264 . . . 4 ([𝑣 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑤𝐹 𝑤𝑣)
6561, 64anbi12i 735 . . 3 (([𝑢 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧[𝑣 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧) ↔ (∃𝑧𝐹 𝑧𝑢 ∧ ∃𝑤𝐹 𝑤𝑣))
6638inex1 4951 . . . 4 (𝑢𝑣) ∈ V
67 sseq2 3768 . . . . 5 (𝑧 = (𝑢𝑣) → (𝑦𝑧𝑦 ⊆ (𝑢𝑣)))
6867rexbidv 3190 . . . 4 (𝑧 = (𝑢𝑣) → (∃𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣)))
6966, 68sbcie 3611 . . 3 ([(𝑢𝑣) / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦 ⊆ (𝑢𝑣))
7058, 65, 693imtr4g 285 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑢𝑋𝑣𝑋) → (([𝑢 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧[𝑣 / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧) → [(𝑢𝑣) / 𝑧]𝑦𝐹 𝑦𝑧))
711, 2, 18, 29, 42, 70isfild 21863 1 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632  ∃wex 1853   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∃wrex 3051  [wsbc 3576   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  dom cdm 5266  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  fBascfbas 19936  filGencfg 19937  Filcfil 21850 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-fil 21851 This theorem is referenced by:  fgabs  21884  trfg  21896  isufil2  21913  ssufl  21923  ufileu  21924  filufint  21925  fixufil  21927  uffixfr  21928  fmfil  21949  fmfg  21954  elfm3  21955  rnelfm  21958  fmfnfmlem2  21960  fmfnfm  21963  fbflim  21981  hausflim  21986  flimclslem  21989  flffbas  22000  fclsbas  22026  fclsfnflim  22032  flimfnfcls  22033  fclscmp  22035  haustsms  22140  tsmscls  22142  tsmsmhm  22150  tsmsadd  22151  cfilufg  22298  metust  22564  fgcfil  23269  cmetcaulem  23286  cmetss  23313  minveclem4a  23401  minveclem4  23403
 Copyright terms: Public domain W3C validator