Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmshft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmshft 24048
 Description: A sequence of functions converges iff the shifted sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmshft.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmshft.w 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))
ulmshft.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmshft.k (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
ulmshft.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
ulmshft.h (𝜑𝐻 = (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))))
Assertion
Ref Expression
ulmshft (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐺))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝑛,𝑊   𝑛,𝐹   𝑛,𝐾   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ulmshft
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmshft.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 ulmshft.w . . 3 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))
3 ulmshft.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 ulmshft.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
5 ulmshft.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
6 ulmshft.h . . 3 (𝜑𝐻 = (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))))
71, 2, 3, 4, 5, 6ulmshftlem 24047 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐺))
8 eqid 2621 . . 3 (ℤ‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) = (ℤ‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾))
93, 4zaddcld 11430 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
104znegcld 11428 . . 3 (𝜑 → -𝐾 ∈ ℤ)
115adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
123adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
134adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝐾 ∈ ℤ)
14 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝑛𝑊)
1514, 2syl6eleq 2708 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
16 eluzsub 11661 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑛𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
1712, 13, 15, 16syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑊) → (𝑛𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
1817, 1syl6eleqr 2709 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑊) → (𝑛𝐾) ∈ 𝑍)
1911, 18ffvelrnd 6316 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑊) → (𝐹‘(𝑛𝐾)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
20 eqid 2621 . . . . 5 (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))) = (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))
2119, 20fmptd 6340 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))):𝑊⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
226feq1d 5987 . . . 4 (𝜑 → (𝐻:𝑊⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) ↔ (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))):𝑊⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆)))
2321, 22mpbird 247 . . 3 (𝜑𝐻:𝑊⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
24 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚𝑍)
2524, 1syl6eleq 2708 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
26 eluzelz 11641 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑚 ∈ ℤ)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚 ∈ ℤ)
2827zcnd 11427 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚 ∈ ℂ)
294zcnd 11427 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
3029adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝐾 ∈ ℂ)
3128, 30subnegd 10343 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝑚 − -𝐾) = (𝑚 + 𝐾))
3231fveq2d 6152 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐻‘(𝑚 − -𝐾)) = (𝐻‘(𝑚 + 𝐾)))
336adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝐻 = (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))))
3433fveq1d 6150 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐻‘(𝑚 + 𝐾)) = ((𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)))
354adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝐾 ∈ ℤ)
36 eluzadd 11660 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
3725, 35, 36syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝑚 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
3837, 2syl6eleqr 2709 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝑚 + 𝐾) ∈ 𝑊)
39 oveq1 6611 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → (𝑛𝐾) = ((𝑚 + 𝐾) − 𝐾))
4039fveq2d 6152 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → (𝐹‘(𝑛𝐾)) = (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)))
41 fvex 6158 . . . . . . . . 9 (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)) ∈ V
4240, 20, 41fvmpt 6239 . . . . . . . 8 ((𝑚 + 𝐾) ∈ 𝑊 → ((𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)) = (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)))
4338, 42syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)) = (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)))
4428, 30pncand 10337 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑚 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑚)
4544fveq2d 6152 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)) = (𝐹𝑚))
4643, 45eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)) = (𝐹𝑚))
4732, 34, 463eqtrd 2659 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐻‘(𝑚 − -𝐾)) = (𝐹𝑚))
4847mpteq2dva 4704 . . . 4 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))) = (𝑚𝑍 ↦ (𝐹𝑚)))
493zcnd 11427 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
5010zcnd 11427 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -𝐾 ∈ ℂ)
5149, 29, 50addassd 10006 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾) + -𝐾) = (𝑀 + (𝐾 + -𝐾)))
5229negidd 10326 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 + -𝐾) = 0)
5352oveq2d 6620 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 + (𝐾 + -𝐾)) = (𝑀 + 0))
5449addid1d 10180 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 + 0) = 𝑀)
5551, 53, 543eqtrd 2659 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾) + -𝐾) = 𝑀)
5655fveq2d 6152 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤ‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) = (ℤ𝑀))
5756, 1syl6eqr 2673 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) = 𝑍)
5857mpteq1d 4698 . . . 4 (𝜑 → (𝑚 ∈ (ℤ‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))) = (𝑚𝑍 ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))))
595feqmptd 6206 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑚𝑍 ↦ (𝐹𝑚)))
6048, 58, 593eqtr4rd 2666 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑚 ∈ (ℤ‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))))
612, 8, 9, 10, 23, 60ulmshftlem 24047 . 2 (𝜑 → (𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺))
627, 61impbid 202 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4613   ↦ cmpt 4673  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ↑𝑚 cmap 7802  ℂcc 9878  0cc0 9880   + caddc 9883   − cmin 10210  -cneg 10211  ℤcz 11321  ℤ≥cuz 11631  ⇝𝑢culm 24034 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-ulm 24035 This theorem is referenced by:  pserdvlem2  24086
 Copyright terms: Public domain W3C validator