Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unbdqndv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unbdqndv1 32194
Description: If the difference quotient (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)) is unbounded near 𝐴 then 𝐹 is not differentiable at 𝐴. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
unbdqndv1.g 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))
unbdqndv1.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
unbdqndv1.2 (𝜑𝑋𝑆)
unbdqndv1.3 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
unbdqndv1.4 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐺𝑥))))
Assertion
Ref Expression
unbdqndv1 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑑,𝑥   𝑧,𝐴   𝐹,𝑏,𝑑,𝑥   𝑧,𝐹   𝐺,𝑏,𝑑,𝑥   𝑆,𝑏,𝑑,𝑥   𝑧,𝑆   𝑋,𝑏,𝑑,𝑥   𝑧,𝑋   𝜑,𝑏,𝑑,𝑥   𝜑,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑧)

Proof of Theorem unbdqndv1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 noel 3901 . . . . . . . 8 ¬ 𝑦 ∈ ∅
21a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ¬ 𝑦 ∈ ∅)
3 unbdqndv1.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑆)
4 unbdqndv1.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
53, 4sstrd 3598 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
65adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝑋 ⊆ ℂ)
76ssdifssd 3732 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ⊆ ℂ)
8 unbdqndv1.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
98adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
104, 8, 3dvbss 23605 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑋)
1110sselda 3588 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐴𝑋)
129, 6, 11dvlem 23600 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)) ∈ ℂ)
13 unbdqndv1.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))
1412, 13fmptd 6351 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐺:(𝑋 ∖ {𝐴})⟶ℂ)
156, 11sseldd 3589 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐴 ∈ ℂ)
16 unbdqndv1.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐺𝑥))))
1716adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐺𝑥))))
187, 14, 15, 17unblimceq0 32193 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (𝐺 lim 𝐴) = ∅)
192, 18neleqtrrd 2720 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝐴))
2019intnand 961 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ¬ (𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝐴)))
21 eqid 2621 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
22 eqid 2621 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2321, 22, 13, 4, 8, 3eldv 23602 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝐴))))
2423notbid 308 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ¬ (𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝐴))))
2524adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ¬ (𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝐴))))
2620, 25mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦)
2726alrimiv 1852 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ∀𝑦 ¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦)
28 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
29 eldmg 5289 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) → (𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ ∃𝑦 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦))
3028, 29syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ ∃𝑦 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦))
3130notbid 308 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (¬ 𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ ¬ ∃𝑦 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦))
32 alnex 1703 . . . . . 6 (∀𝑦 ¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦)
3332a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (∀𝑦 ¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦))
3433bicomd 213 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (¬ ∃𝑦 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ∀𝑦 ¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦))
3531, 34bitrd 268 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (¬ 𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ ∀𝑦 ¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦))
3627, 35mpbird 247 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ¬ 𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
3736pm2.01da 458 1 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  wal 1478   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wral 2908  wrex 2909  cdif 3557  wss 3560  c0 3897  {csn 4155   class class class wbr 4623  cmpt 4683  dom cdm 5084  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894   < clt 10034  cle 10035  cmin 10226   / cdiv 10644  +crp 11792  abscabs 13924  t crest 16021  TopOpenctopn 16022  fldccnfld 19686  intcnt 20761   lim climc 23566   D cdv 23567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-fz 12285  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-rest 16023  df-topn 16024  df-topgen 16044  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-ntr 20764  df-cnp 20972  df-xms 22065  df-ms 22066  df-limc 23570  df-dv 23571
This theorem is referenced by:  unbdqndv2  32197
  Copyright terms: Public domain W3C validator