Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvradcnv2 Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The radius of convergence of the (formal) derivative 𝐻 of the power series 𝐺 is (at least) as large as the radius of convergence of 𝐺. This version of dvradcnv 24169 uses a shifted version of 𝐻 to match the sum form of (ℂ D 𝐹) in pserdv2 24178 (and shows how to use uzmptshftfval 38371 to shift a maps-to function on a set of upper integers). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvradcnv2.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
dvradcnv2.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
dvradcnv2.h 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 · (𝐴𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
dvradcnv2.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
dvradcnv2.l (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvradcnv2 (𝜑 → seq1( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑋   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑋   𝐺,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem dvradcnv2
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 10029 . . . . 5 0 ∈ ℂ
2 ax-1cn 9991 . . . . 5 1 ∈ ℂ
31, 2subnegi 10357 . . . 4 (0 − -1) = (0 + 1)
4 0p1e1 11129 . . . 4 (0 + 1) = 1
53, 4eqtri 2643 . . 3 (0 − -1) = 1
6 seqeq1 12799 . . 3 ((0 − -1) = 1 → seq(0 − -1)( + , 𝐻) = seq1( + , 𝐻))
75, 6ax-mp 5 . 2 seq(0 − -1)( + , 𝐻) = seq1( + , 𝐻)
8 dvradcnv2.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 · (𝐴𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
9 ovex 6675 . . . . . . . 8 ((𝑛 · (𝐴𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))) ∈ V
10 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑚 − -1) → 𝑛 = (𝑚 − -1))
11 fveq2 6189 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝐴𝑛) = (𝐴‘(𝑚 − -1)))
1210, 11oveq12d 6665 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝑛 · (𝐴𝑛)) = ((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))))
13 oveq1 6654 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝑛 − 1) = ((𝑚 − -1) − 1))
1413oveq2d 6663 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝑋↑(𝑛 − 1)) = (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)))
1512, 14oveq12d 6665 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑚 − -1) → ((𝑛 · (𝐴𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))) = (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1))))
16 nnuz 11720 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
17 nn0uz 11719 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
18 1pneg1e0 11126 . . . . . . . . . 10 (1 + -1) = 0
1918fveq2i 6192 . . . . . . . . 9 (ℤ‘(1 + -1)) = (ℤ‘0)
2017, 19eqtr4i 2646 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘(1 + -1))
21 1zzd 11405 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
2221znegcld 11481 . . . . . . . 8 (𝜑 → -1 ∈ ℤ)
238, 9, 15, 16, 20, 21, 22uzmptshftfval 38371 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻 shift -1) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)))))
24 nn0cn 11299 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℂ)
2524adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
26 1cnd 10053 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
2725, 26subnegd 10396 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 − -1) = (𝑚 + 1))
2827fveq2d 6193 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑚 − -1)) = (𝐴‘(𝑚 + 1)))
2927, 28oveq12d 6665 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) = ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))
3027oveq1d 6662 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 − -1) − 1) = ((𝑚 + 1) − 1))
3125, 26pncand 10390 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
3230, 31eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 − -1) − 1) = 𝑚)
3332oveq2d 6663 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)) = (𝑋𝑚))
3429, 33oveq12d 6665 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1))) = (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋𝑚)))
3534mpteq2dva 4742 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋𝑚))))
3623, 35eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻 shift -1) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋𝑚))))
3736seqeq3d 12804 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝐻 shift -1)) = seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋𝑚)))))
38 dvradcnv2.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
39 fveq2 6189 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑚))
40 oveq2 6655 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑚))
4139, 40oveq12d 6665 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴𝑚) · (𝑥𝑚)))
4241cbvmptv 4748 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑚) · (𝑥𝑚)))
4342mpteq2i 4739 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑚) · (𝑥𝑚))))
4438, 43eqtri 2643 . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑚) · (𝑥𝑚))))
45 dvradcnv2.r . . . . . 6 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
46 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋𝑚)))
47 dvradcnv2.a . . . . . 6 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
48 dvradcnv2.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
49 dvradcnv2.l . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
5044, 45, 46, 47, 48, 49dvradcnv 24169 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
5137, 50eqeltrd 2700 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , (𝐻 shift -1)) ∈ dom ⇝ )
52 climdm 14279 . . . 4 (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
5351, 52sylib 208 . . 3 (𝜑 → seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
54 0z 11385 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
55 neg1z 11410 . . . . . . 7 -1 ∈ ℤ
56 nnex 11023 . . . . . . . . . 10 ℕ ∈ V
5756mptex 6483 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 · (𝐴𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))) ∈ V
588, 57eqeltri 2696 . . . . . . . 8 𝐻 ∈ V
5958seqshft 13819 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → seq0( + , (𝐻 shift -1)) = (seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1))
6054, 55, 59mp2an 708 . . . . . 6 seq0( + , (𝐻 shift -1)) = (seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1)
6160breq1i 4658 . . . . 5 (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ (seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
62 seqex 12798 . . . . . 6 seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ V
63 climshft 14301 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℤ ∧ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ V) → ((seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1)))))
6455, 62, 63mp2an 708 . . . . 5 ((seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
6561, 64bitri 264 . . . 4 (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
66 fvex 6199 . . . . 5 ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ∈ V
6762, 66breldm 5327 . . . 4 (seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) → seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
6865, 67sylbi 207 . . 3 (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) → seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
6953, 68syl 17 . 2 (𝜑 → seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
707, 69syl5eqelr 2705 1 (𝜑 → seq1( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1482   ∈ wcel 1989  {crab 2915  Vcvv 3198   class class class wbr 4651   ↦ cmpt 4727  dom cdm 5112  ⟶wf 5882  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647  supcsup 8343  ℂcc 9931  ℝcr 9932  0cc0 9933  1c1 9934   + caddc 9936   · cmul 9938  ℝ*cxr 10070   < clt 10071   − cmin 10263  -cneg 10264  ℕcn 11017  ℕ0cn0 11289  ℤcz 11374  ℤ≥cuz 11684  seqcseq 12796  ↑cexp 12855   shift cshi 13800  abscabs 13968   ⇝ cli 14209 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011  ax-addf 10012  ax-mulf 10013 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-fal 1488  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-pm 7857  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-sup 8345  df-inf 8346  df-oi 8412  df-card 8762  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-rp 11830  df-ico 12178  df-icc 12179  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-fl 12588  df-seq 12797  df-exp 12856  df-hash 13113  df-shft 13801  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-limsup 14196  df-clim 14213  df-rlim 14214  df-sum 14411 This theorem is referenced by:  binomcxplemcvg  38379
 Copyright terms: Public domain W3C validator