Theorem fvmpt3i 6775

Description: Value of a function given in maps-to notation, with a slightly different sethood condition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt3.a	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmpt3.b	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
fvmpt3i.c	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvmpt3i	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt3.a	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
2		fvmpt3.b	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
3		fvmpt3i.c	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ V)
5	1, 2, 4	fvmpt3 6774	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496   ↦ cmpt 5148  ‘cfv 6357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fv 6365

This theorem is referenced by:  isf32lem9  9785  axcc2lem  9860  caucvg  15037  ismre  16863  mrisval  16903  frmdup1  18031  frmdup2  18032  qusghm  18397  pmtrfval  18580  odf1  18691  vrgpfval  18894  dprdz  19154  dmdprdsplitlem  19161  dprd2dlem2  19164  dprd2dlem1  19165  dprd2da  19166  ablfac1a  19193  ablfac1b  19194  ablfac1eu  19197  ipdir  20785  ipass  20791  isphld  20800  istopon  21522  qustgpopn  22730  qustgplem  22731  tcphcph  23842  cmvth  24590  mvth  24591  dvle  24606  lhop1  24613  dvfsumlem3  24627  pige3ALT  25107  fsumdvdscom  25764  logfacbnd3  25801  dchrptlem1  25842  dchrptlem2  25843  lgsdchrval  25932  dchrisumlem3  26069  dchrisum0flblem1  26086  dchrisum0fno1  26089  dchrisum0lem1b  26093  dchrisum0lem2a  26095  dchrisum0lem2  26096  logsqvma2  26121  log2sumbnd  26122  measdivcst  31485  measdivcstALTV  31486  mrexval  32750  mexval  32751  mdvval  32753  msubvrs  32809  mthmval  32824  f1omptsnlem  34619  upixp  35006  ismrer1  35118  frlmsnic  39156  uzmptshftfval  40685  amgmwlem  44910  amgmlemALT  44911