MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrleloe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrleloe 11921
Description: 'Less than or equal' expressed in terms of 'less than' or 'equals', for extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrleloe ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem xrleloe
StepHypRef Expression
1 xrlenlt 10047 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
2 eqcom 2628 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴𝐴 = 𝐵)
32orbi1i 542 . . . 4 ((𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴 < 𝐵))
4 orcom 402 . . . 4 ((𝐴 = 𝐵𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
53, 4bitri 264 . . 3 ((𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
6 xrlttri 11916 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵)))
76ancoms 469 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵)))
87con2bid 344 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵) ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
95, 8syl5rbbr 275 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
101, 9bitrd 268 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024
This theorem is referenced by:  xrleltne  11922  dfle2  11924  xrltle  11926  xrleid  11927  xrlelttr  11931  xrltletr  11932  xrletr  11933  nltpnft  11939  ngtmnft  11941  xmulge0  12057  xlemul1a  12061  xadddi2  12070  prunioo  12243  xrsxmet  22520  metds0  22561  metdseq0  22565  metnrmlem1a  22569  icombl  23239  ioombl  23240  volivth  23281  vitalilem4  23286  itg2gt0  23433  deg1sublt  23774  xrge0addgt0  29476  xrge0adddir  29477  icorempt2  32831  icceuelpartlem  40669
  Copyright terms: Public domain W3C validator