Theorem ax12 215

Description: Axiom of Quantifier Introduction. Axiom scheme C9' in [Megill] p. 448 (p. 16 of the preprint). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ax12	⊢ ⊤⊧[(¬ (∀λz:α [z:α = x:α])) ⇒ [(¬ (∀λz:α [z:α = y:α])) ⇒ [[x:α = y:α] ⇒ (∀λz:α [x:α = y:α])]]]

Distinct variable groups:   x,z   y,z   α,z

Proof of Theorem ax12

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wv 64	. . . . . . 7 ⊢ x:α:α
2		wv 64	. . . . . . 7 ⊢ y:α:α
3	1, 2	weqi 76	. . . . . 6 ⊢ [x:α = y:α]:∗
4		wv 64	. . . . . . 7 ⊢ p:α:α
5	3, 4	ax-17 105	. . . . . 6 ⊢ ⊤⊧[(λz:α [x:α = y:α]p:α) = [x:α = y:α]]
6	3, 5	isfree 188	. . . . 5 ⊢ ⊤⊧[[x:α = y:α] ⇒ (∀λz:α [x:α = y:α])]
7		wnot 138	. . . . . 6 ⊢ ¬ :(∗ → ∗)
8		wal 134	. . . . . . 7 ⊢ ∀:((α → ∗) → ∗)
9		wv 64	. . . . . . . . 9 ⊢ z:α:α
10	9, 2	weqi 76	. . . . . . . 8 ⊢ [z:α = y:α]:∗
11	10	wl 66	. . . . . . 7 ⊢ λz:α [z:α = y:α]:(α → ∗)
12	8, 11	wc 50	. . . . . 6 ⊢ (∀λz:α [z:α = y:α]):∗
13	7, 12	wc 50	. . . . 5 ⊢ (¬ (∀λz:α [z:α = y:α])):∗
14	6, 13	adantr 55	. . . 4 ⊢ (⊤, (¬ (∀λz:α [z:α = y:α])))⊧[[x:α = y:α] ⇒ (∀λz:α [x:α = y:α])]
15	14	ex 158	. . 3 ⊢ ⊤⊧[(¬ (∀λz:α [z:α = y:α])) ⇒ [[x:α = y:α] ⇒ (∀λz:α [x:α = y:α])]]
16	9, 1	weqi 76	. . . . . 6 ⊢ [z:α = x:α]:∗
17	16	wl 66	. . . . 5 ⊢ λz:α [z:α = x:α]:(α → ∗)
18	8, 17	wc 50	. . . 4 ⊢ (∀λz:α [z:α = x:α]):∗
19	7, 18	wc 50	. . 3 ⊢ (¬ (∀λz:α [z:α = x:α])):∗
20	15, 19	adantr 55	. 2 ⊢ (⊤, (¬ (∀λz:α [z:α = x:α])))⊧[(¬ (∀λz:α [z:α = y:α])) ⇒ [[x:α = y:α] ⇒ (∀λz:α [x:α = y:α])]]
21	20	ex 158	1 ⊢ ⊤⊧[(¬ (∀λz:α [z:α = x:α])) ⇒ [(¬ (∀λz:α [z:α = y:α])) ⇒ [[x:α = y:α] ⇒ (∀λz:α [x:α = y:α])]]]

Syntax hints:  tv 1   → ht 2  ∗hb 3  kc 5  λkl 6   = ke 7  ⊤kt 8  [kbr 9  ⊧wffMMJ2 11  ¬ tne 120   ⇒ tim 121  ∀tal 122

This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-wctl 31  ax-wctr 32  ax-weq 40  ax-refl 42  ax-eqmp 45  ax-ded 46  ax-wct 47  ax-wc 49  ax-ceq 51  ax-wv 63  ax-wl 65  ax-beta 67  ax-distrc 68  ax-leq 69  ax-distrl 70  ax-wov 71  ax-eqtypi 77  ax-eqtypri 80  ax-hbl1 103  ax-17 105  ax-inst 113  ax-eta 177

This theorem depends on definitions:  df-ov 73  df-al 126  df-fal 127  df-an 128  df-im 129  df-not 130

This theorem is referenced by: (None)