Theorem 2optocl 4624

Description: Implicit substitution of classes for ordered pairs. (Contributed by NM, 12-Mar-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
2optocl.1	|- R = ( C X. D )
2optocl.2	|- ( <. x , y >. = A -> ( ph <-> ps ) )
2optocl.3	|- ( <. z , w >. = B -> ( ps <-> ch ) )
2optocl.4	|- ( ( ( x e. C /\ y e. D ) /\ ( z e. C /\ w e. D ) ) -> ph )

Assertion

Ref	Expression
2optocl	|- ( ( A e. R /\ B e. R ) -> ch )

Distinct variable groups:   x, y, z, w, A   z, B, w   x, C, y, z, w   x, D, y, z, w   ps, x, y   ch, z, w   z, R, w

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)   ps( z, w)   ch( x, y)   B( x, y)   R( x, y)

Proof of Theorem 2optocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2optocl.1	. . 3 |- R = ( C X. D )
2		2optocl.3	. . . 4 |- ( <. z , w >. = B -> ( ps <-> ch ) )
3	2	imbi2d 229	. . 3 |- ( <. z , w >. = B -> ( ( A e. R -> ps ) <-> ( A e. R -> ch ) ) )
4		2optocl.2	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. = A -> ( ph <-> ps ) )
5	4	imbi2d 229	. . . . 5 |- ( <. x , y >. = A -> ( ( ( z e. C /\ w e. D ) -> ph ) <-> ( ( z e. C /\ w e. D ) -> ps ) ) )
6		2optocl.4	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. C /\ y e. D ) /\ ( z e. C /\ w e. D ) ) -> ph )
7	6	ex 114	. . . . 5 |- ( ( x e. C /\ y e. D ) -> ( ( z e. C /\ w e. D ) -> ph ) )
8	1, 5, 7	optocl 4623	. . . 4 |- ( A e. R -> ( ( z e. C /\ w e. D ) -> ps ) )
9	8	com12 30	. . 3 |- ( ( z e. C /\ w e. D ) -> ( A e. R -> ps ) )
10	1, 3, 9	optocl 4623	. 2 |- ( B e. R -> ( A e. R -> ch ) )
11	10	impcom 124	1 |- ( ( A e. R /\ B e. R ) -> ch )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   <.cop 3535   X. cxp 4545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-opab 3998  df-xp 4553

This theorem is referenced by:  3optocl  4625  ecopovsym  6533  ecopovsymg  6536  th3qlem2  6540  axaddcom  7702