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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > th3qlem2 | Unicode version |
Description: Lemma for Exercise 44 version of Theorem 3Q of [Enderton] p. 60, extended to operations on ordered pairs. The fourth hypothesis is the compatibility assumption. (Contributed by NM, 4-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.) |
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th3q.1 |
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th3q.2 |
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th3q.4 |
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th3qlem2 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | th3q.2 |
. . 3
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2 | eqid 2113 |
. . . . 5
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3 | breq1 3896 |
. . . . . . . 8
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4 | 3 | anbi1d 458 |
. . . . . . 7
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. . . . . . . 8
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6 | 5 | breq1d 3903 |
. . . . . . 7
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7 | 4, 6 | imbi12d 233 |
. . . . . 6
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8 | 7 | imbi2d 229 |
. . . . 5
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9 | breq2 3897 |
. . . . . . . 8
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. . . . . . 7
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. . . . . 6
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17 | oveq2 5734 |
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18 | 17 | breq1d 3903 |
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20 | 19 | imbi2d 229 |
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. . . . . . . . 9
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25 | 22, 24 | imbi12d 233 |
. . . . . . . 8
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26 | 25 | imbi2d 229 |
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27 | th3q.4 |
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28 | 27 | expcom 115 |
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29 | 2, 20, 26, 28 | 2optocl 4574 |
. . . . . 6
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30 | 29 | com12 30 |
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31 | 2, 8, 14, 30 | 2optocl 4574 |
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32 | 31 | imp 123 |
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33 | 1, 32 | th3qlem1 6483 |
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36 | 34, 35 | opex 4109 |
. . . . . 6
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37 | vex 2658 |
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39 | 37, 38 | opex 4109 |
. . . . . 6
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40 | eceq1 6416 |
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44 | 41, 43 | bi2anan9 578 |
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45 | oveq12 5735 |
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46 | 45 | eceq1d 6417 |
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47 | 46 | eqeq2d 2124 |
. . . . . . 7
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48 | 44, 47 | anbi12d 462 |
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49 | 36, 39, 48 | spc2ev 2750 |
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50 | 49 | exlimivv 1848 |
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51 | 50 | exlimivv 1848 |
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52 | 51 | moimi 2038 |
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53 | 33, 52 | syl 14 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-io 681 ax-5 1404 ax-7 1405 ax-gen 1406 ax-ie1 1450 ax-ie2 1451 ax-8 1463 ax-10 1464 ax-11 1465 ax-i12 1466 ax-bndl 1467 ax-4 1468 ax-14 1473 ax-17 1487 ax-i9 1491 ax-ial 1495 ax-i5r 1496 ax-ext 2095 ax-sep 4004 ax-pow 4056 ax-pr 4089 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 945 df-tru 1315 df-nf 1418 df-sb 1717 df-eu 1976 df-mo 1977 df-clab 2100 df-cleq 2106 df-clel 2109 df-nfc 2242 df-ral 2393 df-rex 2394 df-v 2657 df-sbc 2877 df-un 3039 df-in 3041 df-ss 3048 df-pw 3476 df-sn 3497 df-pr 3498 df-op 3500 df-uni 3701 df-br 3894 df-opab 3948 df-xp 4503 df-rel 4504 df-cnv 4505 df-co 4506 df-dm 4507 df-rn 4508 df-res 4509 df-ima 4510 df-iota 5044 df-fv 5087 df-ov 5729 df-er 6381 df-ec 6383 df-qs 6387 |
This theorem is referenced by: th3qcor 6485 th3q 6486 |
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