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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > th3qlem2 | Unicode version |
Description: Lemma for Exercise 44 version of Theorem 3Q of [Enderton] p. 60, extended to operations on ordered pairs. The fourth hypothesis is the compatibility assumption. (Contributed by NM, 4-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.) |
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th3q.1 |
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th3q.2 |
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th3qlem2 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | th3q.2 |
. . 3
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2 | eqid 2187 |
. . . . 5
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3 | breq1 4018 |
. . . . . . . 8
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4 | 3 | anbi1d 465 |
. . . . . . 7
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5 | oveq1 5895 |
. . . . . . . 8
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6 | 5 | breq1d 4025 |
. . . . . . 7
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7 | 4, 6 | imbi12d 234 |
. . . . . 6
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8 | 7 | imbi2d 230 |
. . . . 5
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9 | breq2 4019 |
. . . . . . . 8
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. . . . . . 7
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. . . . . . . 8
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12 | 11 | breq2d 4027 |
. . . . . . 7
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. . . . . 6
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. . . . 5
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17 | oveq2 5896 |
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18 | 17 | breq1d 4025 |
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20 | 19 | imbi2d 230 |
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26 | 25 | imbi2d 230 |
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27 | th3q.4 |
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28 | 27 | expcom 116 |
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29 | 2, 20, 26, 28 | 2optocl 4715 |
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30 | 29 | com12 30 |
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31 | 2, 8, 14, 30 | 2optocl 4715 |
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32 | 31 | imp 124 |
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33 | 1, 32 | th3qlem1 6650 |
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36 | 34, 35 | opex 4241 |
. . . . . 6
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37 | vex 2752 |
. . . . . . 7
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. . . . . . 7
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39 | 37, 38 | opex 4241 |
. . . . . 6
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40 | eceq1 6583 |
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44 | 41, 43 | bi2anan9 606 |
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45 | oveq12 5897 |
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46 | 45 | eceq1d 6584 |
. . . . . . . 8
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47 | 46 | eqeq2d 2199 |
. . . . . . 7
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48 | 44, 47 | anbi12d 473 |
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49 | 36, 39, 48 | spc2ev 2845 |
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50 | 49 | exlimivv 1906 |
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51 | 50 | exlimivv 1906 |
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52 | 51 | moimi 2101 |
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53 | 33, 52 | syl 14 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-sep 4133 ax-pow 4186 ax-pr 4221 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 981 df-tru 1366 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ral 2470 df-rex 2471 df-v 2751 df-sbc 2975 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-br 4016 df-opab 4077 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-rn 4649 df-res 4650 df-ima 4651 df-iota 5190 df-fv 5236 df-ov 5891 df-er 6548 df-ec 6550 df-qs 6554 |
This theorem is referenced by: th3qcor 6652 th3q 6653 |
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