Theorem optocl 4769

Description: Implicit substitution of class for ordered pair. (Contributed by NM, 5-Mar-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
optocl.1	|- D = ( B X. C )
optocl.2	|- ( <. x , y >. = A -> ( ph <-> ps ) )
optocl.3	|- ( ( x e. B /\ y e. C ) -> ph )

Assertion

Ref	Expression
optocl	|- ( A e. D -> ps )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y   ps, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   D( x, y)

Proof of Theorem optocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp3 4747	. . 3 |- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( <. x , y >. = A /\ <. x , y >. e. ( B X. C ) ) )
2		opelxp 4723	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. ( B X. C ) <-> ( x e. B /\ y e. C ) )
3		optocl.3	. . . . . . 7 |- ( ( x e. B /\ y e. C ) -> ph )
4	2, 3	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. ( B X. C ) -> ph )
5		optocl.2	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. = A -> ( ph <-> ps ) )
6	4, 5	imbitrid 154	. . . . 5 |- ( <. x , y >. = A -> ( <. x , y >. e. ( B X. C ) -> ps ) )
7	6	imp 124	. . . 4 |- ( ( <. x , y >. = A /\ <. x , y >. e. ( B X. C ) ) -> ps )
8	7	exlimivv 1921	. . 3 |- ( E. x E. y ( <. x , y >. = A /\ <. x , y >. e. ( B X. C ) ) -> ps )
9	1, 8	sylbi 121	. 2 |- ( A e. ( B X. C ) -> ps )
10		optocl.1	. 2 |- D = ( B X. C )
11	9, 10	eleq2s 2302	1 |- ( A e. D -> ps )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   <.cop 3646   X. cxp 4691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-opab 4122  df-xp 4699

This theorem is referenced by:  2optocl  4770  3optocl  4771  ecoptocl  6732  ax1rid  8025  ax0id  8026  axcnre  8029