Theorem optocl 4680

Description: Implicit substitution of class for ordered pair. (Contributed by NM, 5-Mar-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
optocl.1	|- D = ( B X. C )
optocl.2	|- ( <. x , y >. = A -> ( ph <-> ps ) )
optocl.3	|- ( ( x e. B /\ y e. C ) -> ph )

Assertion

Ref	Expression
optocl	|- ( A e. D -> ps )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y   ps, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   D( x, y)

Proof of Theorem optocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp3 4658	. . 3 |- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( <. x , y >. = A /\ <. x , y >. e. ( B X. C ) ) )
2		opelxp 4634	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. ( B X. C ) <-> ( x e. B /\ y e. C ) )
3		optocl.3	. . . . . . 7 |- ( ( x e. B /\ y e. C ) -> ph )
4	2, 3	sylbi 120	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. ( B X. C ) -> ph )
5		optocl.2	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. = A -> ( ph <-> ps ) )
6	4, 5	syl5ib 153	. . . . 5 |- ( <. x , y >. = A -> ( <. x , y >. e. ( B X. C ) -> ps ) )
7	6	imp 123	. . . 4 |- ( ( <. x , y >. = A /\ <. x , y >. e. ( B X. C ) ) -> ps )
8	7	exlimivv 1884	. . 3 |- ( E. x E. y ( <. x , y >. = A /\ <. x , y >. e. ( B X. C ) ) -> ps )
9	1, 8	sylbi 120	. 2 |- ( A e. ( B X. C ) -> ps )
10		optocl.1	. 2 |- D = ( B X. C )
11	9, 10	eleq2s 2261	1 |- ( A e. D -> ps )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   <.cop 3579   X. cxp 4602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-opab 4044  df-xp 4610

This theorem is referenced by:  2optocl  4681  3optocl  4682  ecoptocl  6588  ax1rid  7818  ax0id  7819  axcnre  7822