Theorem optocl 4720

Description: Implicit substitution of class for ordered pair. (Contributed by NM, 5-Mar-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
optocl.1	|- D = ( B X. C )
optocl.2	|- ( <. x , y >. = A -> ( ph <-> ps ) )
optocl.3	|- ( ( x e. B /\ y e. C ) -> ph )

Assertion

Ref	Expression
optocl	|- ( A e. D -> ps )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y   ps, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   D( x, y)

Proof of Theorem optocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp3 4698	. . 3 |- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( <. x , y >. = A /\ <. x , y >. e. ( B X. C ) ) )
2		opelxp 4674	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. ( B X. C ) <-> ( x e. B /\ y e. C ) )
3		optocl.3	. . . . . . 7 |- ( ( x e. B /\ y e. C ) -> ph )
4	2, 3	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. ( B X. C ) -> ph )
5		optocl.2	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. = A -> ( ph <-> ps ) )
6	4, 5	imbitrid 154	. . . . 5 |- ( <. x , y >. = A -> ( <. x , y >. e. ( B X. C ) -> ps ) )
7	6	imp 124	. . . 4 |- ( ( <. x , y >. = A /\ <. x , y >. e. ( B X. C ) ) -> ps )
8	7	exlimivv 1908	. . 3 |- ( E. x E. y ( <. x , y >. = A /\ <. x , y >. e. ( B X. C ) ) -> ps )
9	1, 8	sylbi 121	. 2 |- ( A e. ( B X. C ) -> ps )
10		optocl.1	. 2 |- D = ( B X. C )
11	9, 10	eleq2s 2284	1 |- ( A e. D -> ps )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2160   <.cop 3610   X. cxp 4642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-opab 4080  df-xp 4650

This theorem is referenced by:  2optocl  4721  3optocl  4722  ecoptocl  6648  ax1rid  7906  ax0id  7907  axcnre  7910