Theorem axaddcom 8237

Description: Addition is commutative. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-addcom 8279 be used later. Instead, use addcom 8463.

In the Metamath Proof Explorer this is not a complex number axiom but is instead proved from other axioms. That proof relies on real number trichotomy and it is not known whether it is possible to prove this from the other axioms without it. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axaddcom	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) = ( B + A ) )

Proof of Theorem axaddcom

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 8185	. 2 |- CC = ( R. X. R. )
2		oveq1 6092	. . 3 |- ( <. x , y >. = A -> ( <. x , y >. + <. z , w >. ) = ( A + <. z , w >. ) )
3		oveq2 6093	. . 3 |- ( <. x , y >. = A -> ( <. z , w >. + <. x , y >. ) = ( <. z , w >. + A ) )
4	2, 3	eqeq12d 2253	. 2 |- ( <. x , y >. = A -> ( ( <. x , y >. + <. z , w >. ) = ( <. z , w >. + <. x , y >. ) <-> ( A + <. z , w >. ) = ( <. z , w >. + A ) ) )
5		oveq2 6093	. . 3 |- ( <. z , w >. = B -> ( A + <. z , w >. ) = ( A + B ) )
6		oveq1 6092	. . 3 |- ( <. z , w >. = B -> ( <. z , w >. + A ) = ( B + A ) )
7	5, 6	eqeq12d 2253	. 2 |- ( <. z , w >. = B -> ( ( A + <. z , w >. ) = ( <. z , w >. + A ) <-> ( A + B ) = ( B + A ) ) )
8		addcomsrg 8122	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. ) -> ( x +R z ) = ( z +R x ) )
9	8	ad2ant2r 513	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( x +R z ) = ( z +R x ) )
10		addcomsrg 8122	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. ) -> ( y +R w ) = ( w +R y ) )
11	10	ad2ant2l 512	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( y +R w ) = ( w +R y ) )
12	9, 11	opeq12d 3912	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> <. ( x +R z ) , ( y +R w ) >. = <. ( z +R x ) , ( w +R y ) >. )
13		addcnsr 8201	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( <. x , y >. + <. z , w >. ) = <. ( x +R z ) , ( y +R w ) >. )
14		addcnsr 8201	. . . 4 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) -> ( <. z , w >. + <. x , y >. ) = <. ( z +R x ) , ( w +R y ) >. )
15	14	ancoms 268	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( <. z , w >. + <. x , y >. ) = <. ( z +R x ) , ( w +R y ) >. )
16	12, 13, 15	3eqtr4d 2281	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( <. x , y >. + <. z , w >. ) = ( <. z , w >. + <. x , y >. ) )
17	1, 4, 7, 16	2optocl 4852	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) = ( B + A ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3712  (class class class)co 6085   R.cnr 7664   +R cplr 7668   CCcc 8177   + caddc 8182

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-eprel 4434  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6807  df-ec 6809  df-qs 6813  df-ni 7671  df-pli 7672  df-mi 7673  df-lti 7674  df-plpq 7711  df-mpq 7712  df-enq 7714  df-nqqs 7715  df-plqqs 7716  df-mqqs 7717  df-1nqqs 7718  df-rq 7719  df-ltnqqs 7720  df-enq0 7791  df-nq0 7792  df-0nq0 7793  df-plq0 7794  df-mq0 7795  df-inp 7833  df-iplp 7835  df-enr 8093  df-nr 8094  df-plr 8095  df-c 8185  df-add 8190

This theorem is used by: (None)