Theorem axaddcom 7982

Description: Addition commutes. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-addcom 8024 be used later. Instead, use addcom 8208.

In the Metamath Proof Explorer this is not a complex number axiom but is instead proved from other axioms. That proof relies on real number trichotomy and it is not known whether it is possible to prove this from the other axioms without it. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axaddcom	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) = ( B + A ) )

Proof of Theorem axaddcom

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 7930	. 2 |- CC = ( R. X. R. )
2		oveq1 5950	. . 3 |- ( <. x , y >. = A -> ( <. x , y >. + <. z , w >. ) = ( A + <. z , w >. ) )
3		oveq2 5951	. . 3 |- ( <. x , y >. = A -> ( <. z , w >. + <. x , y >. ) = ( <. z , w >. + A ) )
4	2, 3	eqeq12d 2219	. 2 |- ( <. x , y >. = A -> ( ( <. x , y >. + <. z , w >. ) = ( <. z , w >. + <. x , y >. ) <-> ( A + <. z , w >. ) = ( <. z , w >. + A ) ) )
5		oveq2 5951	. . 3 |- ( <. z , w >. = B -> ( A + <. z , w >. ) = ( A + B ) )
6		oveq1 5950	. . 3 |- ( <. z , w >. = B -> ( <. z , w >. + A ) = ( B + A ) )
7	5, 6	eqeq12d 2219	. 2 |- ( <. z , w >. = B -> ( ( A + <. z , w >. ) = ( <. z , w >. + A ) <-> ( A + B ) = ( B + A ) ) )
8		addcomsrg 7867	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. ) -> ( x +R z ) = ( z +R x ) )
9	8	ad2ant2r 509	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( x +R z ) = ( z +R x ) )
10		addcomsrg 7867	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. ) -> ( y +R w ) = ( w +R y ) )
11	10	ad2ant2l 508	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( y +R w ) = ( w +R y ) )
12	9, 11	opeq12d 3826	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> <. ( x +R z ) , ( y +R w ) >. = <. ( z +R x ) , ( w +R y ) >. )
13		addcnsr 7946	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( <. x , y >. + <. z , w >. ) = <. ( x +R z ) , ( y +R w ) >. )
14		addcnsr 7946	. . . 4 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) -> ( <. z , w >. + <. x , y >. ) = <. ( z +R x ) , ( w +R y ) >. )
15	14	ancoms 268	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( <. z , w >. + <. x , y >. ) = <. ( z +R x ) , ( w +R y ) >. )
16	12, 13, 15	3eqtr4d 2247	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( <. x , y >. + <. z , w >. ) = ( <. z , w >. + <. x , y >. ) )
17	1, 4, 7, 16	2optocl 4751	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) = ( B + A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1372   e. wcel 2175   <.cop 3635  (class class class)co 5943   R.cnr 7409   +R cplr 7413   CCcc 7922   + caddc 7927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-eprel 4335  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-irdg 6455  df-1o 6501  df-2o 6502  df-oadd 6505  df-omul 6506  df-er 6619  df-ec 6621  df-qs 6625  df-ni 7416  df-pli 7417  df-mi 7418  df-lti 7419  df-plpq 7456  df-mpq 7457  df-enq 7459  df-nqqs 7460  df-plqqs 7461  df-mqqs 7462  df-1nqqs 7463  df-rq 7464  df-ltnqqs 7465  df-enq0 7536  df-nq0 7537  df-0nq0 7538  df-plq0 7539  df-mq0 7540  df-inp 7578  df-iplp 7580  df-enr 7838  df-nr 7839  df-plr 7840  df-c 7930  df-add 7935

This theorem is referenced by: (None)