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Theorem bj-indind 11473
Description: If  A is inductive and  B is "inductive in  A", then  ( A  i^i  B ) is inductive. (Contributed by BJ, 25-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
bj-indind  |-  ( (Ind  A  /\  ( (/)  e.  B  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) ) )  -> Ind  ( A  i^i  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem bj-indind
StepHypRef Expression
1 df-bj-ind 11468 . . . 4  |-  (Ind  A  <->  (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  A  suc  x  e.  A )
)
2 id 19 . . . . 5  |-  ( ( ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  B )  /\  ( A. x  e.  A  suc  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) ) )  ->  ( ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  B
)  /\  ( A. x  e.  A  suc  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) ) ) )
32an4s 555 . . . 4  |-  ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  A  suc  x  e.  A )  /\  ( (/)  e.  B  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B
) ) )  -> 
( ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  B )  /\  ( A. x  e.  A  suc  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) ) ) )
41, 3sylanb 278 . . 3  |-  ( (Ind  A  /\  ( (/)  e.  B  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) ) )  ->  ( ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  B
)  /\  ( A. x  e.  A  suc  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) ) ) )
5 elin 3181 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  ( A  i^i  B
)  <->  ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  B ) )
65biimpri 131 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  (/) 
e.  B )  ->  (/) 
e.  ( A  i^i  B ) )
7 r19.26 2497 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  ( suc  x  e.  A  /\  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B
) )  <->  ( A. x  e.  A  suc  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) ) )
87biimpri 131 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  A  suc  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) )  ->  A. x  e.  A  ( suc  x  e.  A  /\  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B
) ) )
9 simpl 107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( suc  x  e.  A  /\  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B
) )  ->  suc  x  e.  A )
10 simpr 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( suc  x  e.  A  /\  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B
) )  ->  (
x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) )
11 elin 3181 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  x  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( suc  x  e.  A  /\  suc  x  e.  B ) )
1211biimpri 131 . . . . . . . . 9  |-  ( ( suc  x  e.  A  /\  suc  x  e.  B
)  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B
) )
139, 10, 12syl6an 1368 . . . . . . . 8  |-  ( ( suc  x  e.  A  /\  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B
) )  ->  (
x  e.  B  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B ) ) )
1413ralimi 2438 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( suc  x  e.  A  /\  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B
) )  ->  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B
) ) )
158, 14syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  A  suc  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) )  ->  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B
) ) )
16 df-ral 2364 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  (
x  e.  B  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B ) )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B
) ) ) )
17 elin 3181 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  B ) )
18 pm3.31 258 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  -> 
( x  e.  B  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B
) ) )
1917, 18syl5bi 150 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  -> 
( x  e.  B  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
x  e.  ( A  i^i  B )  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B ) ) )
2019alimi 1389 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B
) ) )  ->  A. x ( x  e.  ( A  i^i  B
)  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B
) ) )
2116, 20sylbi 119 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  (
x  e.  B  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B ) )  ->  A. x ( x  e.  ( A  i^i  B )  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B
) ) )
2215, 21syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  suc  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) )  ->  A. x
( x  e.  ( A  i^i  B )  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B ) ) )
23 df-ral 2364 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( A  i^i  B ) suc  x  e.  ( A  i^i  B
)  <->  A. x ( x  e.  ( A  i^i  B )  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B
) ) )
2422, 23sylibr 132 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  suc  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) )  ->  A. x  e.  ( A  i^i  B
) suc  x  e.  ( A  i^i  B ) )
256, 24anim12i 331 . . 3  |-  ( ( ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  B )  /\  ( A. x  e.  A  suc  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) ) )  ->  ( (/)  e.  ( A  i^i  B )  /\  A. x  e.  ( A  i^i  B
) suc  x  e.  ( A  i^i  B ) ) )
264, 25syl 14 . 2  |-  ( (Ind  A  /\  ( (/)  e.  B  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) ) )  ->  ( (/)  e.  ( A  i^i  B )  /\  A. x  e.  ( A  i^i  B
) suc  x  e.  ( A  i^i  B ) ) )
27 df-bj-ind 11468 . 2  |-  (Ind  ( A  i^i  B )  <-> 
( (/)  e.  ( A  i^i  B )  /\  A. x  e.  ( A  i^i  B ) suc  x  e.  ( A  i^i  B ) ) )
2826, 27sylibr 132 1  |-  ( (Ind  A  /\  ( (/)  e.  B  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) ) )  -> Ind  ( A  i^i  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102   A.wal 1287    e. wcel 1438   A.wral 2359    i^i cin 2996   (/)c0 3284   suc csuc 4183  Ind wind 11467
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-v 2621  df-in 3003  df-bj-ind 11468
This theorem is referenced by:  peano5set  11481
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