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Theorem bj-indind 15905
Description: If A is inductive and B is "inductive in A", then ( A i^i B ) is inductive. (Contributed by BJ, 25-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
bj-indind |- ( (Ind A /\ ( (/) e. B /\ A. x e. A ( x e. B -> suc x e. B ) ) ) -> Ind ( A i^i B ) )
Distinct variable groups:   x, A   x, B
Proof of Theorem bj-indind
StepHypRef Expression
1 df-bj-ind 15900 . . . 4 |- (Ind A <-> ( (/) e. A /\ A. x e. A suc x e. A ) )
2 id 19 . . . . 5 |- ( ( ( (/) e. A /\ (/) e. B ) /\ ( A. x e. A suc x e. A /\ A. x e. A ( x e. B -> suc x e. B ) ) ) -> ( ( (/) e. A /\ (/) e. B ) /\ ( A. x e. A suc x e. A /\ A. x e. A ( x e. B -> suc x e. B ) ) ) )
32an4s 588 . . . 4 |- ( ( ( (/) e. A /\ A. x e. A suc x e. A ) /\ ( (/) e. B /\ A. x e. A ( x e. B -> suc x e. B ) ) ) -> ( ( (/) e. A /\ (/) e. B ) /\ ( A. x e. A suc x e. A /\ A. x e. A ( x e. B -> suc x e. B ) ) ) )
41, 3sylanb 284 . . 3 |- ( (Ind A /\ ( (/) e. B /\ A. x e. A ( x e. B -> suc x e. B ) ) ) -> ( ( (/) e. A /\ (/) e. B ) /\ ( A. x e. A suc x e. A /\ A. x e. A ( x e. B -> suc x e. B ) ) ) )
5 elin 3356 . . . . 5 |- ( (/) e. ( A i^i B ) <-> ( (/) e. A /\ (/) e. B ) )
65biimpri 133 . . . 4 |- ( ( (/) e. A /\ (/) e. B ) -> (/) e. ( A i^i B ) )
7 r19.26 2632 . . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( suc x e. A /\ ( x e. B -> suc x e. B ) ) <-> ( A. x e. A suc x e. A /\ A. x e. A ( x e. B -> suc x e. B ) ) )
87biimpri 133 . . . . . . 7 |- ( ( A. x e. A suc x e. A /\ A. x e. A ( x e. B -> suc x e. B ) ) -> A. x e. A ( suc x e. A /\ ( x e. B -> suc x e. B ) ) )
9 simpl 109 . . . . . . . . 9 |- ( ( suc x e. A /\ ( x e. B -> suc x e. B ) ) -> suc x e. A )
10 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( suc x e. A /\ ( x e. B -> suc x e. B ) ) -> ( x e. B -> suc x e. B ) )
11 elin 3356 . . . . . . . . . 10 |- ( suc x e. ( A i^i B ) <-> ( suc x e. A /\ suc x e. B ) )
1211biimpri 133 . . . . . . . . 9 |- ( ( suc x e. A /\ suc x e. B ) -> suc x e. ( A i^i B ) )
139, 10, 12syl6an 1454 . . . . . . . 8 |- ( ( suc x e. A /\ ( x e. B -> suc x e. B ) ) -> ( x e. B -> suc x e. ( A i^i B ) ) )
1413ralimi 2569 . . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( suc x e. A /\ ( x e. B -> suc x e. B ) ) -> A. x e. A ( x e. B -> suc x e. ( A i^i B ) ) )
158, 14syl 14 . . . . . 6 |- ( ( A. x e. A suc x e. A /\ A. x e. A ( x e. B -> suc x e. B ) ) -> A. x e. A ( x e. B -> suc x e. ( A i^i B ) ) )
16 df-ral 2489 . . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( x e. B -> suc x e. ( A i^i B ) ) <-> A. x ( x e. A -> ( x e. B -> suc x e. ( A i^i B ) ) ) )
17 elin 3356 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A i^i B ) <-> ( x e. A /\ x e. B ) )
18 pm3.31 262 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A -> ( x e. B -> suc x e. ( A i^i B ) ) ) -> ( ( x e. A /\ x e. B ) -> suc x e. ( A i^i B ) ) )
1917, 18biimtrid 152 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. A -> ( x e. B -> suc x e. ( A i^i B ) ) ) -> ( x e. ( A i^i B ) -> suc x e. ( A i^i B ) ) )
2019alimi 1478 . . . . . . 7 |- ( A. x ( x e. A -> ( x e. B -> suc x e. ( A i^i B ) ) ) -> A. x ( x e. ( A i^i B ) -> suc x e. ( A i^i B ) ) )
2116, 20sylbi 121 . . . . . 6 |- ( A. x e. A ( x e. B -> suc x e. ( A i^i B ) ) -> A. x ( x e. ( A i^i B ) -> suc x e. ( A i^i B ) ) )
2215, 21syl 14 . . . . 5 |- ( ( A. x e. A suc x e. A /\ A. x e. A ( x e. B -> suc x e. B ) ) -> A. x ( x e. ( A i^i B ) -> suc x e. ( A i^i B ) ) )
23 df-ral 2489 . . . . 5 |- ( A. x e. ( A i^i B ) suc x e. ( A i^i B ) <-> A. x ( x e. ( A i^i B ) -> suc x e. ( A i^i B ) ) )
2422, 23sylibr 134 . . . 4 |- ( ( A. x e. A suc x e. A /\ A. x e. A ( x e. B -> suc x e. B ) ) -> A. x e. ( A i^i B ) suc x e. ( A i^i B ) )
256, 24anim12i 338 . . 3 |- ( ( ( (/) e. A /\ (/) e. B ) /\ ( A. x e. A suc x e. A /\ A. x e. A ( x e. B -> suc x e. B ) ) ) -> ( (/) e. ( A i^i B ) /\ A. x e. ( A i^i B ) suc x e. ( A i^i B ) ) )
264, 25syl 14 . 2 |- ( (Ind A /\ ( (/) e. B /\ A. x e. A ( x e. B -> suc x e. B ) ) ) -> ( (/) e. ( A i^i B ) /\ A. x e. ( A i^i B ) suc x e. ( A i^i B ) ) )
27 df-bj-ind 15900 . 2 |- (Ind ( A i^i B ) <-> ( (/) e. ( A i^i B ) /\ A. x e. ( A i^i B ) suc x e. ( A i^i B ) ) )
2826, 27sylibr 134 1 |- ( (Ind A /\ ( (/) e. B /\ A. x e. A ( x e. B -> suc x e. B ) ) ) -> Ind ( A i^i B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1371   e. wcel 2176   A.wral 2484   i^i cin 3165   (/)c0 3460   suc csuc 4413  Ind wind 15899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-v 2774  df-in 3172  df-bj-ind 15900
This theorem is referenced by:  peano5set  15913
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