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Theorem bj-indind 12964
Description: If  A is inductive and  B is "inductive in  A", then  ( A  i^i  B ) is inductive. (Contributed by BJ, 25-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
bj-indind  |-  ( (Ind  A  /\  ( (/)  e.  B  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) ) )  -> Ind  ( A  i^i  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem bj-indind
StepHypRef Expression
1 df-bj-ind 12959 . . . 4  |-  (Ind  A  <->  (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  A  suc  x  e.  A )
)
2 id 19 . . . . 5  |-  ( ( ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  B )  /\  ( A. x  e.  A  suc  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) ) )  ->  ( ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  B
)  /\  ( A. x  e.  A  suc  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) ) ) )
32an4s 560 . . . 4  |-  ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  A  suc  x  e.  A )  /\  ( (/)  e.  B  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B
) ) )  -> 
( ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  B )  /\  ( A. x  e.  A  suc  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) ) ) )
41, 3sylanb 280 . . 3  |-  ( (Ind  A  /\  ( (/)  e.  B  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) ) )  ->  ( ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  B
)  /\  ( A. x  e.  A  suc  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) ) ) )
5 elin 3227 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  ( A  i^i  B
)  <->  ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  B ) )
65biimpri 132 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  (/) 
e.  B )  ->  (/) 
e.  ( A  i^i  B ) )
7 r19.26 2533 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  ( suc  x  e.  A  /\  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B
) )  <->  ( A. x  e.  A  suc  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) ) )
87biimpri 132 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  A  suc  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) )  ->  A. x  e.  A  ( suc  x  e.  A  /\  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B
) ) )
9 simpl 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( suc  x  e.  A  /\  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B
) )  ->  suc  x  e.  A )
10 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( suc  x  e.  A  /\  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B
) )  ->  (
x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) )
11 elin 3227 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  x  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( suc  x  e.  A  /\  suc  x  e.  B ) )
1211biimpri 132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( suc  x  e.  A  /\  suc  x  e.  B
)  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B
) )
139, 10, 12syl6an 1393 . . . . . . . 8  |-  ( ( suc  x  e.  A  /\  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B
) )  ->  (
x  e.  B  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B ) ) )
1413ralimi 2470 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( suc  x  e.  A  /\  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B
) )  ->  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B
) ) )
158, 14syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  A  suc  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) )  ->  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B
) ) )
16 df-ral 2396 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  (
x  e.  B  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B ) )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B
) ) ) )
17 elin 3227 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  B ) )
18 pm3.31 260 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  -> 
( x  e.  B  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B
) ) )
1917, 18syl5bi 151 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  -> 
( x  e.  B  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
x  e.  ( A  i^i  B )  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B ) ) )
2019alimi 1414 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B
) ) )  ->  A. x ( x  e.  ( A  i^i  B
)  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B
) ) )
2116, 20sylbi 120 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  (
x  e.  B  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B ) )  ->  A. x ( x  e.  ( A  i^i  B )  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B
) ) )
2215, 21syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  suc  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) )  ->  A. x
( x  e.  ( A  i^i  B )  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B ) ) )
23 df-ral 2396 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( A  i^i  B ) suc  x  e.  ( A  i^i  B
)  <->  A. x ( x  e.  ( A  i^i  B )  ->  suc  x  e.  ( A  i^i  B
) ) )
2422, 23sylibr 133 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  suc  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) )  ->  A. x  e.  ( A  i^i  B
) suc  x  e.  ( A  i^i  B ) )
256, 24anim12i 334 . . 3  |-  ( ( ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  B )  /\  ( A. x  e.  A  suc  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) ) )  ->  ( (/)  e.  ( A  i^i  B )  /\  A. x  e.  ( A  i^i  B
) suc  x  e.  ( A  i^i  B ) ) )
264, 25syl 14 . 2  |-  ( (Ind  A  /\  ( (/)  e.  B  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) ) )  ->  ( (/)  e.  ( A  i^i  B )  /\  A. x  e.  ( A  i^i  B
) suc  x  e.  ( A  i^i  B ) ) )
27 df-bj-ind 12959 . 2  |-  (Ind  ( A  i^i  B )  <-> 
( (/)  e.  ( A  i^i  B )  /\  A. x  e.  ( A  i^i  B ) suc  x  e.  ( A  i^i  B ) ) )
2826, 27sylibr 133 1  |-  ( (Ind  A  /\  ( (/)  e.  B  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  B  ->  suc  x  e.  B ) ) )  -> Ind  ( A  i^i  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   A.wal 1312    e. wcel 1463   A.wral 2391    i^i cin 3038   (/)c0 3331   suc csuc 4255  Ind wind 12958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-v 2660  df-in 3045  df-bj-ind 12959
This theorem is referenced by:  peano5set  12972
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