Theorem bj-indind 13301

Description: If 𝐴 is inductive and 𝐵 is "inductive in 𝐴", then (𝐴 ∩ 𝐵) is inductive. (Contributed by BJ, 25-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
bj-indind	⊢ ((Ind 𝐴 ∧ (∅ ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ 𝐵))) → Ind (𝐴 ∩ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem bj-indind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-ind 13296	. . . 4 ⊢ (Ind 𝐴 ↔ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥 ∈ 𝐴))
2		id 19	. . . . 5 ⊢ (((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐵) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ 𝐵))) → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐵) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ 𝐵))))
3	2	an4s 578	. . . 4 ⊢ (((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (∅ ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ 𝐵))) → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐵) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ 𝐵))))
4	1, 3	sylanb 282	. . 3 ⊢ ((Ind 𝐴 ∧ (∅ ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ 𝐵))) → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐵) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ 𝐵))))
5		elin 3264	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐵))
6	5	biimpri 132	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐵) → ∅ ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
7		r19.26 2561	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (suc 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ 𝐵)) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ 𝐵)))
8	7	biimpri 132	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (suc 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ 𝐵)))
9		simpl 108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((suc 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ 𝐵)) → suc 𝑥 ∈ 𝐴)
10		simpr 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((suc 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ 𝐵))
11		elin 3264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (suc 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ suc 𝑥 ∈ 𝐵))
12	11	biimpri 132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((suc 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ suc 𝑥 ∈ 𝐵) → suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
13	9, 10, 12	syl6an 1411	. . . . . . . 8 ⊢ ((suc 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
14	13	ralimi 2498	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (suc 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
15	8, 14	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
16		df-ral 2422	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))))
17		elin 3264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
18		pm3.31 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
19	17, 18	syl5bi 151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
20	19	alimi 1432	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
21	16, 20	sylbi 120	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
22	15, 21	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
23		df-ral 2422	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
24	22, 23	sylibr 133	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
25	6, 24	anim12i 336	. . 3 ⊢ (((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐵) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ 𝐵))) → (∅ ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
26	4, 25	syl 14	. 2 ⊢ ((Ind 𝐴 ∧ (∅ ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ 𝐵))) → (∅ ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
27		df-bj-ind 13296	. 2 ⊢ (Ind (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (∅ ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
28	26, 27	sylibr 133	1 ⊢ ((Ind 𝐴 ∧ (∅ ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝐵 → suc 𝑥 ∈ 𝐵))) → Ind (𝐴 ∩ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  ∀wal 1330   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417   ∩ cin 3075  ∅c0 3368  suc csuc 4295  Ind wind 13295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-v 2691  df-in 3082  df-bj-ind 13296

This theorem is referenced by:  peano5set  13309