Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  peano5set Unicode version

Theorem peano5set 12972
Description: Version of peano5 4480 when  om  i^i  A is assumed to be a set, allowing a proof from the core axioms of CZF. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
peano5set  |-  ( ( om  i^i  A )  e.  V  ->  (
( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  om  C_  A
) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem peano5set
StepHypRef Expression
1 bj-omind 12966 . . . . 5  |- Ind  om
2 bj-indind 12964 . . . . 5  |-  ( (Ind 
om  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) ) )  -> Ind  ( om  i^i  A ) )
31, 2mpan 418 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  -> Ind  ( om  i^i  A ) )
4 bj-omssind 12967 . . . . 5  |-  ( ( om  i^i  A )  e.  V  ->  (Ind  ( om  i^i  A )  ->  om  C_  ( om 
i^i  A ) ) )
54imp 123 . . . 4  |-  ( ( ( om  i^i  A
)  e.  V  /\ Ind  ( om  i^i  A ) )  ->  om  C_  ( om  i^i  A ) )
63, 5sylan2 282 . . 3  |-  ( ( ( om  i^i  A
)  e.  V  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) ) )  ->  om  C_  ( om  i^i  A ) )
7 inss2 3265 . . 3  |-  ( om 
i^i  A )  C_  A
86, 7syl6ss 3077 . 2  |-  ( ( ( om  i^i  A
)  e.  V  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) ) )  ->  om  C_  A
)
98ex 114 1  |-  ( ( om  i^i  A )  e.  V  ->  (
( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  om  C_  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1463   A.wral 2391    i^i cin 3038    C_ wss 3039   (/)c0 3331   suc csuc 4255   omcom 4472  Ind wind 12958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-nul 4022  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-bd0 12845  ax-bdor 12848  ax-bdex 12851  ax-bdeq 12852  ax-bdel 12853  ax-bdsb 12854  ax-bdsep 12916
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-sn 3501  df-pr 3502  df-uni 3705  df-int 3740  df-suc 4261  df-iom 4473  df-bdc 12873  df-bj-ind 12959
This theorem is referenced by:  bdpeano5  12975  speano5  12976
  Copyright terms: Public domain W3C validator