Theorem peano5set 16261

Description: Version of peano5 4689 when om i^i A is assumed to be a set, allowing a proof from the core axioms of CZF. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
peano5set	|- ( ( om i^i A ) e. V -> ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem peano5set

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-omind 16255	. . . . 5 |- Ind om
2		bj-indind 16253	. . . . 5 |- ( (Ind om /\ ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) ) -> Ind ( om i^i A ) )
3	1, 2	mpan 424	. . . 4 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> Ind ( om i^i A ) )
4		bj-omssind 16256	. . . . 5 |- ( ( om i^i A ) e. V -> (Ind ( om i^i A ) -> om C_ ( om i^i A ) ) )
5	4	imp 124	. . . 4 |- ( ( ( om i^i A ) e. V /\ Ind ( om i^i A ) ) -> om C_ ( om i^i A ) )
6	3, 5	sylan2 286	. . 3 |- ( ( ( om i^i A ) e. V /\ ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) ) -> om C_ ( om i^i A ) )
7		inss2 3425	. . 3 |- ( om i^i A ) C_ A
8	6, 7	sstrdi 3236	. 2 |- ( ( ( om i^i A ) e. V /\ ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) ) -> om C_ A )
9	8	ex 115	1 |- ( ( om i^i A ) e. V -> ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   A.wral 2508   i^i cin 3196   C_ wss 3197   (/)c0 3491   suc csuc 4455   omcom 4681  Ind wind 16247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-nul 4209  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-bd0 16134  ax-bdor 16137  ax-bdex 16140  ax-bdeq 16141  ax-bdel 16142  ax-bdsb 16143  ax-bdsep 16205

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3888  df-int 3923  df-suc 4461  df-iom 4682  df-bdc 16162  df-bj-ind 16248

This theorem is referenced by:  bdpeano5  16264  speano5  16265