Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  peano5set Unicode version

Theorem peano5set 13674
Description: Version of peano5 4570 when  om  i^i  A is assumed to be a set, allowing a proof from the core axioms of CZF. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
peano5set  |-  ( ( om  i^i  A )  e.  V  ->  (
( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  om  C_  A
) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem peano5set
StepHypRef Expression
1 bj-omind 13668 . . . . 5  |- Ind  om
2 bj-indind 13666 . . . . 5  |-  ( (Ind 
om  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) ) )  -> Ind  ( om  i^i  A ) )
31, 2mpan 421 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  -> Ind  ( om  i^i  A ) )
4 bj-omssind 13669 . . . . 5  |-  ( ( om  i^i  A )  e.  V  ->  (Ind  ( om  i^i  A )  ->  om  C_  ( om 
i^i  A ) ) )
54imp 123 . . . 4  |-  ( ( ( om  i^i  A
)  e.  V  /\ Ind  ( om  i^i  A ) )  ->  om  C_  ( om  i^i  A ) )
63, 5sylan2 284 . . 3  |-  ( ( ( om  i^i  A
)  e.  V  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) ) )  ->  om  C_  ( om  i^i  A ) )
7 inss2 3339 . . 3  |-  ( om 
i^i  A )  C_  A
86, 7sstrdi 3150 . 2  |-  ( ( ( om  i^i  A
)  e.  V  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) ) )  ->  om  C_  A
)
98ex 114 1  |-  ( ( om  i^i  A )  e.  V  ->  (
( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  om  C_  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 2135   A.wral 2442    i^i cin 3111    C_ wss 3112   (/)c0 3405   suc csuc 4338   omcom 4562  Ind wind 13660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-nul 4103  ax-pr 4182  ax-un 4406  ax-bd0 13547  ax-bdor 13550  ax-bdex 13553  ax-bdeq 13554  ax-bdel 13555  ax-bdsb 13556  ax-bdsep 13618
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2724  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-nul 3406  df-sn 3577  df-pr 3578  df-uni 3785  df-int 3820  df-suc 4344  df-iom 4563  df-bdc 13575  df-bj-ind 13661
This theorem is referenced by:  bdpeano5  13677  speano5  13678
  Copyright terms: Public domain W3C validator