Theorem peano5set 15045

Description: Version of peano5 4609 when om i^i A is assumed to be a set, allowing a proof from the core axioms of CZF. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
peano5set	|- ( ( om i^i A ) e. V -> ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem peano5set

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-omind 15039	. . . . 5 |- Ind om
2		bj-indind 15037	. . . . 5 |- ( (Ind om /\ ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) ) -> Ind ( om i^i A ) )
3	1, 2	mpan 424	. . . 4 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> Ind ( om i^i A ) )
4		bj-omssind 15040	. . . . 5 |- ( ( om i^i A ) e. V -> (Ind ( om i^i A ) -> om C_ ( om i^i A ) ) )
5	4	imp 124	. . . 4 |- ( ( ( om i^i A ) e. V /\ Ind ( om i^i A ) ) -> om C_ ( om i^i A ) )
6	3, 5	sylan2 286	. . 3 |- ( ( ( om i^i A ) e. V /\ ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) ) -> om C_ ( om i^i A ) )
7		inss2 3368	. . 3 |- ( om i^i A ) C_ A
8	6, 7	sstrdi 3179	. 2 |- ( ( ( om i^i A ) e. V /\ ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) ) -> om C_ A )
9	8	ex 115	1 |- ( ( om i^i A ) e. V -> ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2158   A.wral 2465   i^i cin 3140   C_ wss 3141   (/)c0 3434   suc csuc 4377   omcom 4601  Ind wind 15031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-nul 4141  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-bd0 14918  ax-bdor 14921  ax-bdex 14924  ax-bdeq 14925  ax-bdel 14926  ax-bdsb 14927  ax-bdsep 14989

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-sn 3610  df-pr 3611  df-uni 3822  df-int 3857  df-suc 4383  df-iom 4602  df-bdc 14946  df-bj-ind 15032

This theorem is referenced by:  bdpeano5  15048  speano5  15049