Theorem peano5set 16710

Description: Version of peano5 4720 when om i^i A is assumed to be a set, allowing a proof from the core axioms of CZF. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
peano5set	|- ( ( om i^i A ) e. V -> ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem peano5set

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-omind 16704	. . . . 5 |- Ind om
2		bj-indind 16702	. . . . 5 |- ( (Ind om /\ ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) ) -> Ind ( om i^i A ) )
3	1, 2	mpan 424	. . . 4 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> Ind ( om i^i A ) )
4		bj-omssind 16705	. . . . 5 |- ( ( om i^i A ) e. V -> (Ind ( om i^i A ) -> om C_ ( om i^i A ) ) )
5	4	imp 124	. . . 4 |- ( ( ( om i^i A ) e. V /\ Ind ( om i^i A ) ) -> om C_ ( om i^i A ) )
6	3, 5	sylan2 286	. . 3 |- ( ( ( om i^i A ) e. V /\ ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) ) -> om C_ ( om i^i A ) )
7		inss2 3442	. . 3 |- ( om i^i A ) C_ A
8	6, 7	sstrdi 3250	. 2 |- ( ( ( om i^i A ) e. V /\ ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) ) -> om C_ A )
9	8	ex 115	1 |- ( ( om i^i A ) e. V -> ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2203   A.wral 2520   i^i cin 3210   C_ wss 3211   (/)c0 3508   suc csuc 4486   omcom 4712  Ind wind 16696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-nul 4236  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-bd0 16583  ax-bdor 16586  ax-bdex 16589  ax-bdeq 16590  ax-bdel 16591  ax-bdsb 16592  ax-bdsep 16654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-sn 3695  df-pr 3696  df-uni 3915  df-int 3950  df-suc 4492  df-iom 4713  df-bdc 16611  df-bj-ind 16697

This theorem is referenced by:  bdpeano5  16713  speano5  16714