Theorem peano5set 13975

Description: Version of peano5 4582 when om i^i A is assumed to be a set, allowing a proof from the core axioms of CZF. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
peano5set	|- ( ( om i^i A ) e. V -> ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem peano5set

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-omind 13969	. . . . 5 |- Ind om
2		bj-indind 13967	. . . . 5 |- ( (Ind om /\ ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) ) -> Ind ( om i^i A ) )
3	1, 2	mpan 422	. . . 4 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> Ind ( om i^i A ) )
4		bj-omssind 13970	. . . . 5 |- ( ( om i^i A ) e. V -> (Ind ( om i^i A ) -> om C_ ( om i^i A ) ) )
5	4	imp 123	. . . 4 |- ( ( ( om i^i A ) e. V /\ Ind ( om i^i A ) ) -> om C_ ( om i^i A ) )
6	3, 5	sylan2 284	. . 3 |- ( ( ( om i^i A ) e. V /\ ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) ) -> om C_ ( om i^i A ) )
7		inss2 3348	. . 3 |- ( om i^i A ) C_ A
8	6, 7	sstrdi 3159	. 2 |- ( ( ( om i^i A ) e. V /\ ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) ) -> om C_ A )
9	8	ex 114	1 |- ( ( om i^i A ) e. V -> ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2141   A.wral 2448   i^i cin 3120   C_ wss 3121   (/)c0 3414   suc csuc 4350   omcom 4574  Ind wind 13961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-nul 4115  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-bd0 13848  ax-bdor 13851  ax-bdex 13854  ax-bdeq 13855  ax-bdel 13856  ax-bdsb 13857  ax-bdsep 13919

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-int 3832  df-suc 4356  df-iom 4575  df-bdc 13876  df-bj-ind 13962

This theorem is referenced by:  bdpeano5  13978  speano5  13979