Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  peano5set Unicode version

Theorem peano5set 11273
Description: Version of peano5 4386 when  om  i^i  A is assumed to be a set, allowing a proof from the core axioms of CZF. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
peano5set  |-  ( ( om  i^i  A )  e.  V  ->  (
( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  om  C_  A
) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem peano5set
StepHypRef Expression
1 bj-omind 11267 . . . . 5  |- Ind  om
2 bj-indind 11265 . . . . 5  |-  ( (Ind 
om  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) ) )  -> Ind  ( om  i^i  A ) )
31, 2mpan 415 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  -> Ind  ( om  i^i  A ) )
4 bj-omssind 11268 . . . . 5  |-  ( ( om  i^i  A )  e.  V  ->  (Ind  ( om  i^i  A )  ->  om  C_  ( om 
i^i  A ) ) )
54imp 122 . . . 4  |-  ( ( ( om  i^i  A
)  e.  V  /\ Ind  ( om  i^i  A ) )  ->  om  C_  ( om  i^i  A ) )
63, 5sylan2 280 . . 3  |-  ( ( ( om  i^i  A
)  e.  V  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) ) )  ->  om  C_  ( om  i^i  A ) )
7 inss2 3210 . . 3  |-  ( om 
i^i  A )  C_  A
86, 7syl6ss 3026 . 2  |-  ( ( ( om  i^i  A
)  e.  V  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) ) )  ->  om  C_  A
)
98ex 113 1  |-  ( ( om  i^i  A )  e.  V  ->  (
( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  om  C_  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1436   A.wral 2355    i^i cin 2987    C_ wss 2988   (/)c0 3275   suc csuc 4166   omcom 4378  Ind wind 11259
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-nul 3940  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-bd0 11142  ax-bdor 11145  ax-bdex 11148  ax-bdeq 11149  ax-bdel 11150  ax-bdsb 11151  ax-bdsep 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-sn 3437  df-pr 3438  df-uni 3637  df-int 3672  df-suc 4172  df-iom 4379  df-bdc 11170  df-bj-ind 11260
This theorem is referenced by:  bdpeano5  11276  speano5  11277
  Copyright terms: Public domain W3C validator