Theorem peano5set 13138

Description: Version of peano5 4512 when om i^i A is assumed to be a set, allowing a proof from the core axioms of CZF. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
peano5set	|- ( ( om i^i A ) e. V -> ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem peano5set

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-omind 13132	. . . . 5 |- Ind om
2		bj-indind 13130	. . . . 5 |- ( (Ind om /\ ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) ) -> Ind ( om i^i A ) )
3	1, 2	mpan 420	. . . 4 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> Ind ( om i^i A ) )
4		bj-omssind 13133	. . . . 5 |- ( ( om i^i A ) e. V -> (Ind ( om i^i A ) -> om C_ ( om i^i A ) ) )
5	4	imp 123	. . . 4 |- ( ( ( om i^i A ) e. V /\ Ind ( om i^i A ) ) -> om C_ ( om i^i A ) )
6	3, 5	sylan2 284	. . 3 |- ( ( ( om i^i A ) e. V /\ ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) ) -> om C_ ( om i^i A ) )
7		inss2 3297	. . 3 |- ( om i^i A ) C_ A
8	6, 7	sstrdi 3109	. 2 |- ( ( ( om i^i A ) e. V /\ ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) ) -> om C_ A )
9	8	ex 114	1 |- ( ( om i^i A ) e. V -> ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   A.wral 2416   i^i cin 3070   C_ wss 3071   (/)c0 3363   suc csuc 4287   omcom 4504  Ind wind 13124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-nul 4054  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-bd0 13011  ax-bdor 13014  ax-bdex 13017  ax-bdeq 13018  ax-bdel 13019  ax-bdsb 13020  ax-bdsep 13082

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-int 3772  df-suc 4293  df-iom 4505  df-bdc 13039  df-bj-ind 13125

This theorem is referenced by:  bdpeano5  13141  speano5  13142