Theorem bj-indint 14823

Description: The property of being an inductive class is closed under intersections. (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-indint	|- Ind |^| { x e. A | Ind x }

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem bj-indint

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-ind 14819	. . . . 5 |- (Ind x <-> ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) )
2	1	simplbi 274	. . . 4 |- (Ind x -> (/) e. x )
3	2	rgenw 2532	. . 3 |- A. x e. A (Ind x -> (/) e. x )
4		0ex 4132	. . . 4 |- (/) e. _V
5	4	elintrab 3858	. . 3 |- ( (/) e. |^| { x e. A | Ind x } <-> A. x e. A (Ind x -> (/) e. x ) )
6	3, 5	mpbir 146	. 2 |- (/) e. |^| { x e. A | Ind x }
7		bj-indsuc 14820	. . . . . 6 |- (Ind x -> ( y e. x -> suc y e. x ) )
8	7	a2i 11	. . . . 5 |- ( (Ind x -> y e. x ) -> (Ind x -> suc y e. x ) )
9	8	ralimi 2540	. . . 4 |- ( A. x e. A (Ind x -> y e. x ) -> A. x e. A (Ind x -> suc y e. x ) )
10		vex 2742	. . . . 5 |- y e. _V
11	10	elintrab 3858	. . . 4 |- ( y e. |^| { x e. A | Ind x } <-> A. x e. A (Ind x -> y e. x ) )
12	10	bj-sucex 14815	. . . . 5 |- suc y e. _V
13	12	elintrab 3858	. . . 4 |- ( suc y e. |^| { x e. A | Ind x } <-> A. x e. A (Ind x -> suc y e. x ) )
14	9, 11, 13	3imtr4i 201	. . 3 |- ( y e. |^| { x e. A | Ind x } -> suc y e. |^| { x e. A | Ind x } )
15	14	rgen 2530	. 2 |- A. y e. |^| { x e. A | Ind x } suc y e. |^| { x e. A | Ind x }
16		df-bj-ind 14819	. 2 |- (Ind |^| { x e. A | Ind x } <-> ( (/) e. |^| { x e. A | Ind x } /\ A. y e. |^| { x e. A | Ind x } suc y e. |^| { x e. A | Ind x } ) )
17	6, 15, 16	mpbir2an 942	1 |- Ind |^| { x e. A | Ind x }

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   A.wral 2455   {crab 2459   (/)c0 3424   |^|cint 3846   suc csuc 4367  Ind wind 14818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-nul 4131  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-bd0 14705  ax-bdor 14708  ax-bdex 14711  ax-bdeq 14712  ax-bdel 14713  ax-bdsb 14714  ax-bdsep 14776

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-nul 3425  df-sn 3600  df-pr 3601  df-uni 3812  df-int 3847  df-suc 4373  df-bdc 14733  df-bj-ind 14819

This theorem is referenced by:  bj-omind  14826