Theorem bj-indint 15871

Description: The property of being an inductive class is closed under intersections. (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-indint	|- Ind |^| { x e. A | Ind x }

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem bj-indint

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-ind 15867	. . . . 5 |- (Ind x <-> ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) )
2	1	simplbi 274	. . . 4 |- (Ind x -> (/) e. x )
3	2	rgenw 2561	. . 3 |- A. x e. A (Ind x -> (/) e. x )
4		0ex 4171	. . . 4 |- (/) e. _V
5	4	elintrab 3897	. . 3 |- ( (/) e. |^| { x e. A | Ind x } <-> A. x e. A (Ind x -> (/) e. x ) )
6	3, 5	mpbir 146	. 2 |- (/) e. |^| { x e. A | Ind x }
7		bj-indsuc 15868	. . . . . 6 |- (Ind x -> ( y e. x -> suc y e. x ) )
8	7	a2i 11	. . . . 5 |- ( (Ind x -> y e. x ) -> (Ind x -> suc y e. x ) )
9	8	ralimi 2569	. . . 4 |- ( A. x e. A (Ind x -> y e. x ) -> A. x e. A (Ind x -> suc y e. x ) )
10		vex 2775	. . . . 5 |- y e. _V
11	10	elintrab 3897	. . . 4 |- ( y e. |^| { x e. A | Ind x } <-> A. x e. A (Ind x -> y e. x ) )
12	10	bj-sucex 15863	. . . . 5 |- suc y e. _V
13	12	elintrab 3897	. . . 4 |- ( suc y e. |^| { x e. A | Ind x } <-> A. x e. A (Ind x -> suc y e. x ) )
14	9, 11, 13	3imtr4i 201	. . 3 |- ( y e. |^| { x e. A | Ind x } -> suc y e. |^| { x e. A | Ind x } )
15	14	rgen 2559	. 2 |- A. y e. |^| { x e. A | Ind x } suc y e. |^| { x e. A | Ind x }
16		df-bj-ind 15867	. 2 |- (Ind |^| { x e. A | Ind x } <-> ( (/) e. |^| { x e. A | Ind x } /\ A. y e. |^| { x e. A | Ind x } suc y e. |^| { x e. A | Ind x } ) )
17	6, 15, 16	mpbir2an 945	1 |- Ind |^| { x e. A | Ind x }

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   A.wral 2484   {crab 2488   (/)c0 3460   |^|cint 3885   suc csuc 4412  Ind wind 15866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-nul 4170  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-bd0 15753  ax-bdor 15756  ax-bdex 15759  ax-bdeq 15760  ax-bdel 15761  ax-bdsb 15762  ax-bdsep 15824

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-nul 3461  df-sn 3639  df-pr 3640  df-uni 3851  df-int 3886  df-suc 4418  df-bdc 15781  df-bj-ind 15867

This theorem is referenced by:  bj-omind  15874