Theorem bj-indint 13548

Description: The property of being an inductive class is closed under intersections. (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-indint	|- Ind |^| { x e. A | Ind x }

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem bj-indint

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-ind 13544	. . . . 5 |- (Ind x <-> ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) )
2	1	simplbi 272	. . . 4 |- (Ind x -> (/) e. x )
3	2	rgenw 2512	. . 3 |- A. x e. A (Ind x -> (/) e. x )
4		0ex 4092	. . . 4 |- (/) e. _V
5	4	elintrab 3820	. . 3 |- ( (/) e. |^| { x e. A | Ind x } <-> A. x e. A (Ind x -> (/) e. x ) )
6	3, 5	mpbir 145	. 2 |- (/) e. |^| { x e. A | Ind x }
7		bj-indsuc 13545	. . . . . 6 |- (Ind x -> ( y e. x -> suc y e. x ) )
8	7	a2i 11	. . . . 5 |- ( (Ind x -> y e. x ) -> (Ind x -> suc y e. x ) )
9	8	ralimi 2520	. . . 4 |- ( A. x e. A (Ind x -> y e. x ) -> A. x e. A (Ind x -> suc y e. x ) )
10		vex 2715	. . . . 5 |- y e. _V
11	10	elintrab 3820	. . . 4 |- ( y e. |^| { x e. A | Ind x } <-> A. x e. A (Ind x -> y e. x ) )
12	10	bj-sucex 13540	. . . . 5 |- suc y e. _V
13	12	elintrab 3820	. . . 4 |- ( suc y e. |^| { x e. A | Ind x } <-> A. x e. A (Ind x -> suc y e. x ) )
14	9, 11, 13	3imtr4i 200	. . 3 |- ( y e. |^| { x e. A | Ind x } -> suc y e. |^| { x e. A | Ind x } )
15	14	rgen 2510	. 2 |- A. y e. |^| { x e. A | Ind x } suc y e. |^| { x e. A | Ind x }
16		df-bj-ind 13544	. 2 |- (Ind |^| { x e. A | Ind x } <-> ( (/) e. |^| { x e. A | Ind x } /\ A. y e. |^| { x e. A | Ind x } suc y e. |^| { x e. A | Ind x } ) )
17	6, 15, 16	mpbir2an 927	1 |- Ind |^| { x e. A | Ind x }

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2128   A.wral 2435   {crab 2439   (/)c0 3394   |^|cint 3808   suc csuc 4326  Ind wind 13543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-nul 4091  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-bd0 13430  ax-bdor 13433  ax-bdex 13436  ax-bdeq 13437  ax-bdel 13438  ax-bdsb 13439  ax-bdsep 13501

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-nul 3395  df-sn 3566  df-pr 3567  df-uni 3774  df-int 3809  df-suc 4332  df-bdc 13458  df-bj-ind 13544

This theorem is referenced by:  bj-omind  13551