Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-indint Unicode version

Theorem bj-indint 13548
Description: The property of being an inductive class is closed under intersections. (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
bj-indint  |- Ind  |^| { x  e.  A  | Ind  x }
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem bj-indint
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-bj-ind 13544 . . . . 5  |-  (Ind  x  <->  (
(/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x )
)
21simplbi 272 . . . 4  |-  (Ind  x  -> 
(/)  e.  x )
32rgenw 2512 . . 3  |-  A. x  e.  A  (Ind  x  -> 
(/)  e.  x )
4 0ex 4092 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
54elintrab 3820 . . 3  |-  ( (/)  e.  |^| { x  e.  A  | Ind  x }  <->  A. x  e.  A  (Ind  x  ->  (/)  e.  x
) )
63, 5mpbir 145 . 2  |-  (/)  e.  |^| { x  e.  A  | Ind  x }
7 bj-indsuc 13545 . . . . . 6  |-  (Ind  x  ->  ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x
) )
87a2i 11 . . . . 5  |-  ( (Ind  x  ->  y  e.  x )  ->  (Ind  x  ->  suc  y  e.  x ) )
98ralimi 2520 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  (Ind  x  ->  y  e.  x
)  ->  A. x  e.  A  (Ind  x  ->  suc  y  e.  x
) )
10 vex 2715 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
1110elintrab 3820 . . . 4  |-  ( y  e.  |^| { x  e.  A  | Ind  x }  <->  A. x  e.  A  (Ind  x  ->  y  e.  x ) )
1210bj-sucex 13540 . . . . 5  |-  suc  y  e.  _V
1312elintrab 3820 . . . 4  |-  ( suc  y  e.  |^| { x  e.  A  | Ind  x } 
<-> 
A. x  e.  A  (Ind  x  ->  suc  y  e.  x ) )
149, 11, 133imtr4i 200 . . 3  |-  ( y  e.  |^| { x  e.  A  | Ind  x }  ->  suc  y  e.  |^| { x  e.  A  | Ind  x } )
1514rgen 2510 . 2  |-  A. y  e.  |^| { x  e.  A  | Ind  x } suc  y  e.  |^| { x  e.  A  | Ind  x }
16 df-bj-ind 13544 . 2  |-  (Ind  |^| { x  e.  A  | Ind  x }  <->  ( (/)  e.  |^| { x  e.  A  | Ind  x }  /\  A. y  e.  |^| { x  e.  A  | Ind  x } suc  y  e.  |^| { x  e.  A  | Ind  x } ) )
176, 15, 16mpbir2an 927 1  |- Ind  |^| { x  e.  A  | Ind  x }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 2128   A.wral 2435   {crab 2439   (/)c0 3394   |^|cint 3808   suc csuc 4326  Ind wind 13543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-nul 4091  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-bd0 13430  ax-bdor 13433  ax-bdex 13436  ax-bdeq 13437  ax-bdel 13438  ax-bdsb 13439  ax-bdsep 13501
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-nul 3395  df-sn 3566  df-pr 3567  df-uni 3774  df-int 3809  df-suc 4332  df-bdc 13458  df-bj-ind 13544
This theorem is referenced by:  bj-omind  13551
  Copyright terms: Public domain W3C validator