Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-indint Unicode version

Theorem bj-indint 13966
Description: The property of being an inductive class is closed under intersections. (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
bj-indint  |- Ind  |^| { x  e.  A  | Ind  x }
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem bj-indint
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-bj-ind 13962 . . . . 5  |-  (Ind  x  <->  (
(/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x )
)
21simplbi 272 . . . 4  |-  (Ind  x  -> 
(/)  e.  x )
32rgenw 2525 . . 3  |-  A. x  e.  A  (Ind  x  -> 
(/)  e.  x )
4 0ex 4116 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
54elintrab 3843 . . 3  |-  ( (/)  e.  |^| { x  e.  A  | Ind  x }  <->  A. x  e.  A  (Ind  x  ->  (/)  e.  x
) )
63, 5mpbir 145 . 2  |-  (/)  e.  |^| { x  e.  A  | Ind  x }
7 bj-indsuc 13963 . . . . . 6  |-  (Ind  x  ->  ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x
) )
87a2i 11 . . . . 5  |-  ( (Ind  x  ->  y  e.  x )  ->  (Ind  x  ->  suc  y  e.  x ) )
98ralimi 2533 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  (Ind  x  ->  y  e.  x
)  ->  A. x  e.  A  (Ind  x  ->  suc  y  e.  x
) )
10 vex 2733 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
1110elintrab 3843 . . . 4  |-  ( y  e.  |^| { x  e.  A  | Ind  x }  <->  A. x  e.  A  (Ind  x  ->  y  e.  x ) )
1210bj-sucex 13958 . . . . 5  |-  suc  y  e.  _V
1312elintrab 3843 . . . 4  |-  ( suc  y  e.  |^| { x  e.  A  | Ind  x } 
<-> 
A. x  e.  A  (Ind  x  ->  suc  y  e.  x ) )
149, 11, 133imtr4i 200 . . 3  |-  ( y  e.  |^| { x  e.  A  | Ind  x }  ->  suc  y  e.  |^| { x  e.  A  | Ind  x } )
1514rgen 2523 . 2  |-  A. y  e.  |^| { x  e.  A  | Ind  x } suc  y  e.  |^| { x  e.  A  | Ind  x }
16 df-bj-ind 13962 . 2  |-  (Ind  |^| { x  e.  A  | Ind  x }  <->  ( (/)  e.  |^| { x  e.  A  | Ind  x }  /\  A. y  e.  |^| { x  e.  A  | Ind  x } suc  y  e.  |^| { x  e.  A  | Ind  x } ) )
176, 15, 16mpbir2an 937 1  |- Ind  |^| { x  e.  A  | Ind  x }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 2141   A.wral 2448   {crab 2452   (/)c0 3414   |^|cint 3831   suc csuc 4350  Ind wind 13961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-nul 4115  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-bd0 13848  ax-bdor 13851  ax-bdex 13854  ax-bdeq 13855  ax-bdel 13856  ax-bdsb 13857  ax-bdsep 13919
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-nul 3415  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-int 3832  df-suc 4356  df-bdc 13876  df-bj-ind 13962
This theorem is referenced by:  bj-omind  13969
  Copyright terms: Public domain W3C validator