Theorem bj-indint 16701

Description: The property of being an inductive class is closed under intersections. (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-indint	|- Ind |^| { x e. A | Ind x }

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem bj-indint

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-ind 16697	. . . . 5 |- (Ind x <-> ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) )
2	1	simplbi 274	. . . 4 |- (Ind x -> (/) e. x )
3	2	rgenw 2597	. . 3 |- A. x e. A (Ind x -> (/) e. x )
4		0ex 4237	. . . 4 |- (/) e. _V
5	4	elintrab 3961	. . 3 |- ( (/) e. |^| { x e. A | Ind x } <-> A. x e. A (Ind x -> (/) e. x ) )
6	3, 5	mpbir 146	. 2 |- (/) e. |^| { x e. A | Ind x }
7		bj-indsuc 16698	. . . . . 6 |- (Ind x -> ( y e. x -> suc y e. x ) )
8	7	a2i 11	. . . . 5 |- ( (Ind x -> y e. x ) -> (Ind x -> suc y e. x ) )
9	8	ralimi 2605	. . . 4 |- ( A. x e. A (Ind x -> y e. x ) -> A. x e. A (Ind x -> suc y e. x ) )
10		vex 2816	. . . . 5 |- y e. _V
11	10	elintrab 3961	. . . 4 |- ( y e. |^| { x e. A | Ind x } <-> A. x e. A (Ind x -> y e. x ) )
12	10	bj-sucex 16693	. . . . 5 |- suc y e. _V
13	12	elintrab 3961	. . . 4 |- ( suc y e. |^| { x e. A | Ind x } <-> A. x e. A (Ind x -> suc y e. x ) )
14	9, 11, 13	3imtr4i 201	. . 3 |- ( y e. |^| { x e. A | Ind x } -> suc y e. |^| { x e. A | Ind x } )
15	14	rgen 2595	. 2 |- A. y e. |^| { x e. A | Ind x } suc y e. |^| { x e. A | Ind x }
16		df-bj-ind 16697	. 2 |- (Ind |^| { x e. A | Ind x } <-> ( (/) e. |^| { x e. A | Ind x } /\ A. y e. |^| { x e. A | Ind x } suc y e. |^| { x e. A | Ind x } ) )
17	6, 15, 16	mpbir2an 951	1 |- Ind |^| { x e. A | Ind x }

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2203   A.wral 2520   {crab 2524   (/)c0 3508   |^|cint 3949   suc csuc 4486  Ind wind 16696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-nul 4236  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-bd0 16583  ax-bdor 16586  ax-bdex 16589  ax-bdeq 16590  ax-bdel 16591  ax-bdsb 16592  ax-bdsep 16654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-nul 3509  df-sn 3695  df-pr 3696  df-uni 3915  df-int 3950  df-suc 4492  df-bdc 16611  df-bj-ind 16697

This theorem is referenced by:  bj-omind  16704