Theorem coundir 5133

Description: Class composition distributes over union. (Contributed by NM, 21-Dec-2008.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
coundir	|- ( ( A u. B ) o. C ) = ( ( A o. C ) u. ( B o. C ) )

Proof of Theorem coundir

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unopab 4084	. . 3 |- ( { <. x , z >. | E. y ( x C y /\ y A z ) } u. { <. x , z >. | E. y ( x C y /\ y B z ) } ) = { <. x , z >. | ( E. y ( x C y /\ y A z ) \/ E. y ( x C y /\ y B z ) ) }
2		brun 4056	. . . . . . . 8 |- ( y ( A u. B ) z <-> ( y A z \/ y B z ) )
3	2	anbi2i 457	. . . . . . 7 |- ( ( x C y /\ y ( A u. B ) z ) <-> ( x C y /\ ( y A z \/ y B z ) ) )
4		andi 818	. . . . . . 7 |- ( ( x C y /\ ( y A z \/ y B z ) ) <-> ( ( x C y /\ y A z ) \/ ( x C y /\ y B z ) ) )
5	3, 4	bitri 184	. . . . . 6 |- ( ( x C y /\ y ( A u. B ) z ) <-> ( ( x C y /\ y A z ) \/ ( x C y /\ y B z ) ) )
6	5	exbii 1605	. . . . 5 |- ( E. y ( x C y /\ y ( A u. B ) z ) <-> E. y ( ( x C y /\ y A z ) \/ ( x C y /\ y B z ) ) )
7		19.43 1628	. . . . 5 |- ( E. y ( ( x C y /\ y A z ) \/ ( x C y /\ y B z ) ) <-> ( E. y ( x C y /\ y A z ) \/ E. y ( x C y /\ y B z ) ) )
8	6, 7	bitr2i 185	. . . 4 |- ( ( E. y ( x C y /\ y A z ) \/ E. y ( x C y /\ y B z ) ) <-> E. y ( x C y /\ y ( A u. B ) z ) )
9	8	opabbii 4072	. . 3 |- { <. x , z >. | ( E. y ( x C y /\ y A z ) \/ E. y ( x C y /\ y B z ) ) } = { <. x , z >. | E. y ( x C y /\ y ( A u. B ) z ) }
10	1, 9	eqtri 2198	. 2 |- ( { <. x , z >. | E. y ( x C y /\ y A z ) } u. { <. x , z >. | E. y ( x C y /\ y B z ) } ) = { <. x , z >. | E. y ( x C y /\ y ( A u. B ) z ) }
11		df-co 4637	. . 3 |- ( A o. C ) = { <. x , z >. | E. y ( x C y /\ y A z ) }
12		df-co 4637	. . 3 |- ( B o. C ) = { <. x , z >. | E. y ( x C y /\ y B z ) }
13	11, 12	uneq12i 3289	. 2 |- ( ( A o. C ) u. ( B o. C ) ) = ( { <. x , z >. | E. y ( x C y /\ y A z ) } u. { <. x , z >. | E. y ( x C y /\ y B z ) } )
14		df-co 4637	. 2 |- ( ( A u. B ) o. C ) = { <. x , z >. | E. y ( x C y /\ y ( A u. B ) z ) }
15	10, 13, 14	3eqtr4ri 2209	1 |- ( ( A u. B ) o. C ) = ( ( A o. C ) u. ( B o. C ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   \/ wo 708   = wceq 1353   E.wex 1492   u. cun 3129   class class class wbr 4005   {copab 4065   o. ccom 4632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2741  df-un 3135  df-br 4006  df-opab 4067  df-co 4637

This theorem is referenced by: (None)