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Theorem coundir 4920
Description: Class composition distributes over union. (Contributed by NM, 21-Dec-2008.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
coundir  |-  ( ( A  u.  B )  o.  C )  =  ( ( A  o.  C )  u.  ( B  o.  C )
)

Proof of Theorem coundir
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unopab 3909 . . 3  |-  ( {
<. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y A z ) }  u.  { <. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y B z ) } )  =  { <. x ,  z >.  |  ( E. y ( x C y  /\  y A z )  \/ 
E. y ( x C y  /\  y B z ) ) }
2 brun 3883 . . . . . . . 8  |-  ( y ( A  u.  B
) z  <->  ( y A z  \/  y B z ) )
32anbi2i 445 . . . . . . 7  |-  ( ( x C y  /\  y ( A  u.  B ) z )  <-> 
( x C y  /\  ( y A z  \/  y B z ) ) )
4 andi 767 . . . . . . 7  |-  ( ( x C y  /\  ( y A z  \/  y B z ) )  <->  ( (
x C y  /\  y A z )  \/  ( x C y  /\  y B z ) ) )
53, 4bitri 182 . . . . . 6  |-  ( ( x C y  /\  y ( A  u.  B ) z )  <-> 
( ( x C y  /\  y A z )  \/  (
x C y  /\  y B z ) ) )
65exbii 1541 . . . . 5  |-  ( E. y ( x C y  /\  y ( A  u.  B ) z )  <->  E. y
( ( x C y  /\  y A z )  \/  (
x C y  /\  y B z ) ) )
7 19.43 1564 . . . . 5  |-  ( E. y ( ( x C y  /\  y A z )  \/  ( x C y  /\  y B z ) )  <->  ( E. y ( x C y  /\  y A z )  \/  E. y ( x C y  /\  y B z ) ) )
86, 7bitr2i 183 . . . 4  |-  ( ( E. y ( x C y  /\  y A z )  \/ 
E. y ( x C y  /\  y B z ) )  <->  E. y ( x C y  /\  y ( A  u.  B ) z ) )
98opabbii 3897 . . 3  |-  { <. x ,  z >.  |  ( E. y ( x C y  /\  y A z )  \/ 
E. y ( x C y  /\  y B z ) ) }  =  { <. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y ( A  u.  B ) z ) }
101, 9eqtri 2108 . 2  |-  ( {
<. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y A z ) }  u.  { <. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y B z ) } )  =  { <. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y ( A  u.  B ) z ) }
11 df-co 4437 . . 3  |-  ( A  o.  C )  =  { <. x ,  z
>.  |  E. y
( x C y  /\  y A z ) }
12 df-co 4437 . . 3  |-  ( B  o.  C )  =  { <. x ,  z
>.  |  E. y
( x C y  /\  y B z ) }
1311, 12uneq12i 3150 . 2  |-  ( ( A  o.  C )  u.  ( B  o.  C ) )  =  ( { <. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y A z ) }  u.  {
<. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y B z ) } )
14 df-co 4437 . 2  |-  ( ( A  u.  B )  o.  C )  =  { <. x ,  z
>.  |  E. y
( x C y  /\  y ( A  u.  B ) z ) }
1510, 13, 143eqtr4ri 2119 1  |-  ( ( A  u.  B )  o.  C )  =  ( ( A  o.  C )  u.  ( B  o.  C )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    \/ wo 664    = wceq 1289   E.wex 1426    u. cun 2995   class class class wbr 3837   {copab 3890    o. ccom 4432
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-v 2621  df-un 3001  df-br 3838  df-opab 3892  df-co 4437
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