Theorem coundir 5049

Description: Class composition distributes over union. (Contributed by NM, 21-Dec-2008.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
coundir	|- ( ( A u. B ) o. C ) = ( ( A o. C ) u. ( B o. C ) )

Proof of Theorem coundir

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unopab 4015	. . 3 |- ( { <. x , z >. | E. y ( x C y /\ y A z ) } u. { <. x , z >. | E. y ( x C y /\ y B z ) } ) = { <. x , z >. | ( E. y ( x C y /\ y A z ) \/ E. y ( x C y /\ y B z ) ) }
2		brun 3987	. . . . . . . 8 |- ( y ( A u. B ) z <-> ( y A z \/ y B z ) )
3	2	anbi2i 453	. . . . . . 7 |- ( ( x C y /\ y ( A u. B ) z ) <-> ( x C y /\ ( y A z \/ y B z ) ) )
4		andi 808	. . . . . . 7 |- ( ( x C y /\ ( y A z \/ y B z ) ) <-> ( ( x C y /\ y A z ) \/ ( x C y /\ y B z ) ) )
5	3, 4	bitri 183	. . . . . 6 |- ( ( x C y /\ y ( A u. B ) z ) <-> ( ( x C y /\ y A z ) \/ ( x C y /\ y B z ) ) )
6	5	exbii 1585	. . . . 5 |- ( E. y ( x C y /\ y ( A u. B ) z ) <-> E. y ( ( x C y /\ y A z ) \/ ( x C y /\ y B z ) ) )
7		19.43 1608	. . . . 5 |- ( E. y ( ( x C y /\ y A z ) \/ ( x C y /\ y B z ) ) <-> ( E. y ( x C y /\ y A z ) \/ E. y ( x C y /\ y B z ) ) )
8	6, 7	bitr2i 184	. . . 4 |- ( ( E. y ( x C y /\ y A z ) \/ E. y ( x C y /\ y B z ) ) <-> E. y ( x C y /\ y ( A u. B ) z ) )
9	8	opabbii 4003	. . 3 |- { <. x , z >. | ( E. y ( x C y /\ y A z ) \/ E. y ( x C y /\ y B z ) ) } = { <. x , z >. | E. y ( x C y /\ y ( A u. B ) z ) }
10	1, 9	eqtri 2161	. 2 |- ( { <. x , z >. | E. y ( x C y /\ y A z ) } u. { <. x , z >. | E. y ( x C y /\ y B z ) } ) = { <. x , z >. | E. y ( x C y /\ y ( A u. B ) z ) }
11		df-co 4556	. . 3 |- ( A o. C ) = { <. x , z >. | E. y ( x C y /\ y A z ) }
12		df-co 4556	. . 3 |- ( B o. C ) = { <. x , z >. | E. y ( x C y /\ y B z ) }
13	11, 12	uneq12i 3233	. 2 |- ( ( A o. C ) u. ( B o. C ) ) = ( { <. x , z >. | E. y ( x C y /\ y A z ) } u. { <. x , z >. | E. y ( x C y /\ y B z ) } )
14		df-co 4556	. 2 |- ( ( A u. B ) o. C ) = { <. x , z >. | E. y ( x C y /\ y ( A u. B ) z ) }
15	10, 13, 14	3eqtr4ri 2172	1 |- ( ( A u. B ) o. C ) = ( ( A o. C ) u. ( B o. C ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   \/ wo 698   = wceq 1332   E.wex 1469   u. cun 3074   class class class wbr 3937   {copab 3996   o. ccom 4551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-un 3080  df-br 3938  df-opab 3998  df-co 4556

This theorem is referenced by: (None)