Theorem unopab 4068

Description: Union of two ordered pair class abstractions. (Contributed by NM, 30-Sep-2002.)

Assertion

Ref	Expression
unopab	|- ( { <. x , y >. | ph } u. { <. x , y >. | ps } ) = { <. x , y >. | ( ph \/ ps ) }

Proof of Theorem unopab

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unab 3394	. . 3 |- ( { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) } u. { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) } ) = { z | ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) }
2		19.43 1621	. . . . 5 |- ( E. x ( E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) <-> ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) )
3		andi 813	. . . . . . . 8 |- ( ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) <-> ( ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) )
4	3	exbii 1598	. . . . . . 7 |- ( E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) <-> E. y ( ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) )
5		19.43 1621	. . . . . . 7 |- ( E. y ( ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) <-> ( E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) )
6	4, 5	bitr2i 184	. . . . . 6 |- ( ( E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) <-> E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) )
7	6	exbii 1598	. . . . 5 |- ( E. x ( E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) )
8	2, 7	bitr3i 185	. . . 4 |- ( ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) )
9	8	abbii 2286	. . 3 |- { z | ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) }
10	1, 9	eqtri 2191	. 2 |- ( { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) } u. { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) } ) = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) }
11		df-opab 4051	. . 3 |- { <. x , y >. | ph } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) }
12		df-opab 4051	. . 3 |- { <. x , y >. | ps } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) }
13	11, 12	uneq12i 3279	. 2 |- ( { <. x , y >. | ph } u. { <. x , y >. | ps } ) = ( { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) } u. { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) } )
14		df-opab 4051	. 2 |- { <. x , y >. | ( ph \/ ps ) } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) }
15	10, 13, 14	3eqtr4i 2201	1 |- ( { <. x , y >. | ph } u. { <. x , y >. | ps } ) = { <. x , y >. | ( ph \/ ps ) }

Syntax hints:   /\ wa 103   \/ wo 703   = wceq 1348   E.wex 1485   {cab 2156   u. cun 3119   <.cop 3586   {copab 4049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-un 3125  df-opab 4051

This theorem is referenced by:  xpundi  4667  xpundir  4668  cnvun  5016  coundi  5112  coundir  5113  mptun  5329