Theorem unopab 4123

Description: Union of two ordered pair class abstractions. (Contributed by NM, 30-Sep-2002.)

Assertion

Ref	Expression
unopab	|- ( { <. x , y >. | ph } u. { <. x , y >. | ps } ) = { <. x , y >. | ( ph \/ ps ) }

Proof of Theorem unopab

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unab 3440	. . 3 |- ( { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) } u. { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) } ) = { z | ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) }
2		19.43 1651	. . . . 5 |- ( E. x ( E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) <-> ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) )
3		andi 820	. . . . . . . 8 |- ( ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) <-> ( ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) )
4	3	exbii 1628	. . . . . . 7 |- ( E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) <-> E. y ( ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) )
5		19.43 1651	. . . . . . 7 |- ( E. y ( ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) <-> ( E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) )
6	4, 5	bitr2i 185	. . . . . 6 |- ( ( E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) <-> E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) )
7	6	exbii 1628	. . . . 5 |- ( E. x ( E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) )
8	2, 7	bitr3i 186	. . . 4 |- ( ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) )
9	8	abbii 2321	. . 3 |- { z | ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) }
10	1, 9	eqtri 2226	. 2 |- ( { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) } u. { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) } ) = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) }
11		df-opab 4106	. . 3 |- { <. x , y >. | ph } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) }
12		df-opab 4106	. . 3 |- { <. x , y >. | ps } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) }
13	11, 12	uneq12i 3325	. 2 |- ( { <. x , y >. | ph } u. { <. x , y >. | ps } ) = ( { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) } u. { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) } )
14		df-opab 4106	. 2 |- { <. x , y >. | ( ph \/ ps ) } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) }
15	10, 13, 14	3eqtr4i 2236	1 |- ( { <. x , y >. | ph } u. { <. x , y >. | ps } ) = { <. x , y >. | ( ph \/ ps ) }

Syntax hints:   /\ wa 104   \/ wo 710   = wceq 1373   E.wex 1515   {cab 2191   u. cun 3164   <.cop 3636   {copab 4104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-un 3170  df-opab 4106

This theorem is referenced by:  xpundi  4731  xpundir  4732  cnvun  5088  coundi  5184  coundir  5185  mptun  5407  lgsquadlem3  15556