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Theorem unopab 3909
Description: Union of two ordered pair class abstractions. (Contributed by NM, 30-Sep-2002.)
Assertion
Ref Expression
unopab  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  u.  { <. x ,  y >.  |  ps } )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( ph  \/  ps ) }

Proof of Theorem unopab
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unab 3264 . . 3  |-  ( { z  |  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) }  u.  { z  |  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ps ) } )  =  { z  |  ( E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  \/  E. x E. y ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ps ) ) }
2 19.43 1564 . . . . 5  |-  ( E. x ( E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  \/  E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ps ) )  <->  ( E. x E. y ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ph )  \/ 
E. x E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ps ) ) )
3 andi 767 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =  <. x ,  y >.  /\  ( ph  \/  ps ) )  <-> 
( ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  \/  (
z  =  <. x ,  y >.  /\  ps ) ) )
43exbii 1541 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ph  \/  ps ) )  <->  E. y
( ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  \/  (
z  =  <. x ,  y >.  /\  ps ) ) )
5 19.43 1564 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ph )  \/  ( z  =  <. x ,  y >.  /\  ps ) )  <->  ( E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  \/  E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ps ) ) )
64, 5bitr2i 183 . . . . . 6  |-  ( ( E. y ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ph )  \/ 
E. y ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ps ) )  <->  E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ph  \/  ps ) ) )
76exbii 1541 . . . . 5  |-  ( E. x ( E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  \/  E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ps ) )  <->  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ph  \/  ps ) ) )
82, 7bitr3i 184 . . . 4  |-  ( ( E. x E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  \/  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ps ) )  <->  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ph  \/  ps ) ) )
98abbii 2203 . . 3  |-  { z  |  ( E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  \/  E. x E. y ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ps ) ) }  =  { z  |  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ph  \/  ps ) ) }
101, 9eqtri 2108 . 2  |-  ( { z  |  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) }  u.  { z  |  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ps ) } )  =  { z  |  E. x E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ( ph  \/  ps ) ) }
11 df-opab 3892 . . 3  |-  { <. x ,  y >.  |  ph }  =  { z  |  E. x E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) }
12 df-opab 3892 . . 3  |-  { <. x ,  y >.  |  ps }  =  { z  |  E. x E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ps ) }
1311, 12uneq12i 3150 . 2  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  u.  { <. x ,  y >.  |  ps } )  =  ( { z  |  E. x E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) }  u.  { z  |  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ps ) } )
14 df-opab 3892 . 2  |-  { <. x ,  y >.  |  (
ph  \/  ps ) }  =  { z  |  E. x E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ( ph  \/  ps ) ) }
1510, 13, 143eqtr4i 2118 1  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  u.  { <. x ,  y >.  |  ps } )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( ph  \/  ps ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    \/ wo 664    = wceq 1289   E.wex 1426   {cab 2074    u. cun 2995   <.cop 3444   {copab 3890
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-v 2621  df-un 3001  df-opab 3892
This theorem is referenced by:  xpundi  4482  xpundir  4483  cnvun  4824  coundi  4919  coundir  4920  mptun  5130
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