Theorem unopab 3967

Description: Union of two ordered pair class abstractions. (Contributed by NM, 30-Sep-2002.)

Assertion

Ref	Expression
unopab	|- ( { <. x , y >. | ph } u. { <. x , y >. | ps } ) = { <. x , y >. | ( ph \/ ps ) }

Proof of Theorem unopab

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unab 3309	. . 3 |- ( { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) } u. { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) } ) = { z | ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) }
2		19.43 1590	. . . . 5 |- ( E. x ( E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) <-> ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) )
3		andi 790	. . . . . . . 8 |- ( ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) <-> ( ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) )
4	3	exbii 1567	. . . . . . 7 |- ( E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) <-> E. y ( ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) )
5		19.43 1590	. . . . . . 7 |- ( E. y ( ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) <-> ( E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) )
6	4, 5	bitr2i 184	. . . . . 6 |- ( ( E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) <-> E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) )
7	6	exbii 1567	. . . . 5 |- ( E. x ( E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) )
8	2, 7	bitr3i 185	. . . 4 |- ( ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) )
9	8	abbii 2230	. . 3 |- { z | ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) }
10	1, 9	eqtri 2135	. 2 |- ( { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) } u. { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) } ) = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) }
11		df-opab 3950	. . 3 |- { <. x , y >. | ph } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) }
12		df-opab 3950	. . 3 |- { <. x , y >. | ps } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) }
13	11, 12	uneq12i 3194	. 2 |- ( { <. x , y >. | ph } u. { <. x , y >. | ps } ) = ( { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) } u. { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) } )
14		df-opab 3950	. 2 |- { <. x , y >. | ( ph \/ ps ) } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) }
15	10, 13, 14	3eqtr4i 2145	1 |- ( { <. x , y >. | ph } u. { <. x , y >. | ps } ) = { <. x , y >. | ( ph \/ ps ) }

Syntax hints:   /\ wa 103   \/ wo 680   = wceq 1314   E.wex 1451   {cab 2101   u. cun 3035   <.cop 3496   {copab 3948

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-v 2659  df-un 3041  df-opab 3950

This theorem is referenced by:  xpundi  4555  xpundir  4556  cnvun  4902  coundi  4998  coundir  4999  mptun  5212