Theorem brun 4033

Description: The union of two binary relations. (Contributed by NM, 21-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
brun	|- ( A ( R u. S ) B <-> ( A R B \/ A S B ) )

Proof of Theorem brun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 3263	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( R u. S ) <-> ( <. A , B >. e. R \/ <. A , B >. e. S ) )
2		df-br 3983	. 2 |- ( A ( R u. S ) B <-> <. A , B >. e. ( R u. S ) )
3		df-br 3983	. . 3 |- ( A R B <-> <. A , B >. e. R )
4		df-br 3983	. . 3 |- ( A S B <-> <. A , B >. e. S )
5	3, 4	orbi12i 754	. 2 |- ( ( A R B \/ A S B ) <-> ( <. A , B >. e. R \/ <. A , B >. e. S ) )
6	1, 2, 5	3bitr4i 211	1 |- ( A ( R u. S ) B <-> ( A R B \/ A S B ) )

Syntax hints:   <-> wb 104   \/ wo 698   e. wcel 2136   u. cun 3114   <.cop 3579   class class class wbr 3982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-un 3120  df-br 3983

This theorem is referenced by:  dmun  4811  qfto  4993  poleloe  5003  cnvun  5009  coundi  5105  coundir  5106  brdifun  6528  ltxrlt  7964  ltxr  9711