Theorem csbdmg 4823

Description: Distribute proper substitution through the domain of a class. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
csbdmg	|- ( A e. V -> [_ A / x ]_ dom B = dom [_ A / x ]_ B )

Proof of Theorem csbdmg

Dummy variables w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbabg 3120	. . 3 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ { y | E. w <. y , w >. e. B } = { y | [. A / x ]. E. w <. y , w >. e. B } )
2		sbcex2 3018	. . . . 5 |- ( [. A / x ]. E. w <. y , w >. e. B <-> E. w [. A / x ]. <. y , w >. e. B )
3		sbcel2g 3080	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. <. y , w >. e. B <-> <. y , w >. e. [_ A / x ]_ B ) )
4	3	exbidv 1825	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( E. w [. A / x ]. <. y , w >. e. B <-> E. w <. y , w >. e. [_ A / x ]_ B ) )
5	2, 4	bitrid 192	. . . 4 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. E. w <. y , w >. e. B <-> E. w <. y , w >. e. [_ A / x ]_ B ) )
6	5	abbidv 2295	. . 3 |- ( A e. V -> { y | [. A / x ]. E. w <. y , w >. e. B } = { y | E. w <. y , w >. e. [_ A / x ]_ B } )
7	1, 6	eqtrd 2210	. 2 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ { y | E. w <. y , w >. e. B } = { y | E. w <. y , w >. e. [_ A / x ]_ B } )
8		dfdm3 4816	. . 3 |- dom B = { y | E. w <. y , w >. e. B }
9	8	csbeq2i 3086	. 2 |- [_ A / x ]_ dom B = [_ A / x ]_ { y | E. w <. y , w >. e. B }
10		dfdm3 4816	. 2 |- dom [_ A / x ]_ B = { y | E. w <. y , w >. e. [_ A / x ]_ B }
11	7, 9, 10	3eqtr4g 2235	1 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ dom B = dom [_ A / x ]_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   {cab 2163   [.wsbc 2964   [_csb 3059   <.cop 3597   dom cdm 4628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-br 4006  df-dm 4638

This theorem is referenced by:  sbcfng  5365