Theorem csbdmg 4860

Description: Distribute proper substitution through the domain of a class. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
csbdmg	|- ( A e. V -> [_ A / x ]_ dom B = dom [_ A / x ]_ B )

Proof of Theorem csbdmg

Dummy variables w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbabg 3146	. . 3 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ { y | E. w <. y , w >. e. B } = { y | [. A / x ]. E. w <. y , w >. e. B } )
2		sbcex2 3043	. . . . 5 |- ( [. A / x ]. E. w <. y , w >. e. B <-> E. w [. A / x ]. <. y , w >. e. B )
3		sbcel2g 3105	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. <. y , w >. e. B <-> <. y , w >. e. [_ A / x ]_ B ) )
4	3	exbidv 1839	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( E. w [. A / x ]. <. y , w >. e. B <-> E. w <. y , w >. e. [_ A / x ]_ B ) )
5	2, 4	bitrid 192	. . . 4 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. E. w <. y , w >. e. B <-> E. w <. y , w >. e. [_ A / x ]_ B ) )
6	5	abbidv 2314	. . 3 |- ( A e. V -> { y | [. A / x ]. E. w <. y , w >. e. B } = { y | E. w <. y , w >. e. [_ A / x ]_ B } )
7	1, 6	eqtrd 2229	. 2 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ { y | E. w <. y , w >. e. B } = { y | E. w <. y , w >. e. [_ A / x ]_ B } )
8		dfdm3 4853	. . 3 |- dom B = { y | E. w <. y , w >. e. B }
9	8	csbeq2i 3111	. 2 |- [_ A / x ]_ dom B = [_ A / x ]_ { y | E. w <. y , w >. e. B }
10		dfdm3 4853	. 2 |- dom [_ A / x ]_ B = { y | E. w <. y , w >. e. [_ A / x ]_ B }
11	7, 9, 10	3eqtr4g 2254	1 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ dom B = dom [_ A / x ]_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   {cab 2182   [.wsbc 2989   [_csb 3084   <.cop 3625   dom cdm 4663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-br 4034  df-dm 4673

This theorem is referenced by:  sbcfng  5405