Theorem csbdmg 4916

Description: Distribute proper substitution through the domain of a class. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
csbdmg	|- ( A e. V -> [_ A / x ]_ dom B = dom [_ A / x ]_ B )

Proof of Theorem csbdmg

Dummy variables w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbabg 3186	. . 3 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ { y | E. w <. y , w >. e. B } = { y | [. A / x ]. E. w <. y , w >. e. B } )
2		sbcex2 3082	. . . . 5 |- ( [. A / x ]. E. w <. y , w >. e. B <-> E. w [. A / x ]. <. y , w >. e. B )
3		sbcel2g 3145	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. <. y , w >. e. B <-> <. y , w >. e. [_ A / x ]_ B ) )
4	3	exbidv 1871	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( E. w [. A / x ]. <. y , w >. e. B <-> E. w <. y , w >. e. [_ A / x ]_ B ) )
5	2, 4	bitrid 192	. . . 4 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. E. w <. y , w >. e. B <-> E. w <. y , w >. e. [_ A / x ]_ B ) )
6	5	abbidv 2347	. . 3 |- ( A e. V -> { y | [. A / x ]. E. w <. y , w >. e. B } = { y | E. w <. y , w >. e. [_ A / x ]_ B } )
7	1, 6	eqtrd 2262	. 2 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ { y | E. w <. y , w >. e. B } = { y | E. w <. y , w >. e. [_ A / x ]_ B } )
8		dfdm3 4908	. . 3 |- dom B = { y | E. w <. y , w >. e. B }
9	8	csbeq2i 3151	. 2 |- [_ A / x ]_ dom B = [_ A / x ]_ { y | E. w <. y , w >. e. B }
10		dfdm3 4908	. 2 |- dom [_ A / x ]_ B = { y | E. w <. y , w >. e. [_ A / x ]_ B }
11	7, 9, 10	3eqtr4g 2287	1 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ dom B = dom [_ A / x ]_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   {cab 2215   [.wsbc 3028   [_csb 3124   <.cop 3669   dom cdm 4718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-br 4083  df-dm 4728

This theorem is referenced by:  sbcfng  5470