Theorem dfopg 3739

Description: Value of the ordered pair when the arguments are sets. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfopg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. A , B >. = { { A } , { A , B } } )

Proof of Theorem dfopg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2723	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		elex 2723	. 2 |- ( B e. W -> B e. _V )
3		df-3an 965	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) <-> ( ( A e. _V /\ B e. _V ) /\ x e. { { A } , { A , B } } ) )
4	3	baibr 906	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( x e. { { A } , { A , B } } <-> ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) ) )
5	4	abbidv 2275	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { x | x e. { { A } , { A , B } } } = { x | ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) } )
6		abid2 2278	. . . 4 |- { x | x e. { { A } , { A , B } } } = { { A } , { A , B } }
7		df-op 3569	. . . . 5 |- <. A , B >. = { x | ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) }
8	7	eqcomi 2161	. . . 4 |- { x | ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) } = <. A , B >.
9	5, 6, 8	3eqtr3g 2213	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { { A } , { A , B } } = <. A , B >. )
10	9	eqcomd 2163	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. = { { A } , { A , B } } )
11	1, 2, 10	syl2an 287	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. A , B >. = { { A } , { A , B } } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 963   = wceq 1335   e. wcel 2128   {cab 2143   _Vcvv 2712   {csn 3560   {cpr 3561   <.cop 3563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-11 1486  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-v 2714  df-op 3569

This theorem is referenced by:  dfop  3740  opexg  4188  opth1  4196  opth  4197  0nelop  4208  op1stbg  4439