Theorem op1stbg 4527

Description: Extract the first member of an ordered pair. Theorem 73 of [Suppes] p. 42. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
op1stbg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> |^| |^| <. A , B >. = A )

Proof of Theorem op1stbg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfopg 3817	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. A , B >. = { { A } , { A , B } } )
2	1	inteqd 3890	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> |^| <. A , B >. = |^| { { A } , { A , B } } )
3		snexg 4229	. . . . . 6 |- ( A e. V -> { A } e. _V )
4		prexg 4256	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { A , B } e. _V )
5		intprg 3918	. . . . . 6 |- ( ( { A } e. _V /\ { A , B } e. _V ) -> |^| { { A } , { A , B } } = ( { A } i^i { A , B } ) )
6	3, 4, 5	syl2an2r 595	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> |^| { { A } , { A , B } } = ( { A } i^i { A , B } ) )
7		snsspr1 3781	. . . . . 6 |- { A } C_ { A , B }
8		df-ss 3179	. . . . . 6 |- ( { A } C_ { A , B } <-> ( { A } i^i { A , B } ) = { A } )
9	7, 8	mpbi 145	. . . . 5 |- ( { A } i^i { A , B } ) = { A }
10	6, 9	eqtrdi 2254	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> |^| { { A } , { A , B } } = { A } )
11	2, 10	eqtrd 2238	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> |^| <. A , B >. = { A } )
12	11	inteqd 3890	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> |^| |^| <. A , B >. = |^| { A } )
13		intsng 3919	. . 3 |- ( A e. V -> |^| { A } = A )
14	13	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> |^| { A } = A )
15	12, 14	eqtrd 2238	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> |^| |^| <. A , B >. = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   i^i cin 3165   C_ wss 3166   {csn 3633   {cpr 3634   <.cop 3636   |^|cint 3885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-int 3886

This theorem is referenced by:  elxp5  5172  fundmen  6900