Theorem op1stbg 4544

Description: Extract the first member of an ordered pair. Theorem 73 of [Suppes] p. 42. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
op1stbg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> |^| |^| <. A , B >. = A )

Proof of Theorem op1stbg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfopg 3831	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. A , B >. = { { A } , { A , B } } )
2	1	inteqd 3904	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> |^| <. A , B >. = |^| { { A } , { A , B } } )
3		snexg 4244	. . . . . 6 |- ( A e. V -> { A } e. _V )
4		prexg 4271	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { A , B } e. _V )
5		intprg 3932	. . . . . 6 |- ( ( { A } e. _V /\ { A , B } e. _V ) -> |^| { { A } , { A , B } } = ( { A } i^i { A , B } ) )
6	3, 4, 5	syl2an2r 595	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> |^| { { A } , { A , B } } = ( { A } i^i { A , B } ) )
7		snsspr1 3792	. . . . . 6 |- { A } C_ { A , B }
8		df-ss 3187	. . . . . 6 |- ( { A } C_ { A , B } <-> ( { A } i^i { A , B } ) = { A } )
9	7, 8	mpbi 145	. . . . 5 |- ( { A } i^i { A , B } ) = { A }
10	6, 9	eqtrdi 2256	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> |^| { { A } , { A , B } } = { A } )
11	2, 10	eqtrd 2240	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> |^| <. A , B >. = { A } )
12	11	inteqd 3904	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> |^| |^| <. A , B >. = |^| { A } )
13		intsng 3933	. . 3 |- ( A e. V -> |^| { A } = A )
14	13	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> |^| { A } = A )
15	12, 14	eqtrd 2240	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> |^| |^| <. A , B >. = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   i^i cin 3173   C_ wss 3174   {csn 3643   {cpr 3644   <.cop 3646   |^|cint 3899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-int 3900

This theorem is referenced by:  elxp5  5190  fundmen  6922