Theorem opth1 4116

Description: Equality of the first members of equal ordered pairs. (Contributed by NM, 28-May-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opth1.1	|- A e. _V
opth1.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
opth1	|- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> A = C )

Proof of Theorem opth1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opth1.1	. . . 4 |- A e. _V
2	1	sneqr 3651	. . 3 |- ( { A } = { C } -> A = C )
3	2	a1i 9	. 2 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> ( { A } = { C } -> A = C ) )
4		opth1.2	. . . . . . . . 9 |- B e. _V
5	1, 4	opi1 4112	. . . . . . . 8 |- { A } e. <. A , B >.
6		id 19	. . . . . . . 8 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> <. A , B >. = <. C , D >. )
7	5, 6	syl5eleq 2201	. . . . . . 7 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> { A } e. <. C , D >. )
8		oprcl 3693	. . . . . . 7 |- ( { A } e. <. C , D >. -> ( C e. _V /\ D e. _V ) )
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> ( C e. _V /\ D e. _V ) )
10	9	simpld 111	. . . . 5 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> C e. _V )
11		prid1g 3591	. . . . 5 |- ( C e. _V -> C e. { C , D } )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> C e. { C , D } )
13		eleq2 2176	. . . 4 |- ( { A } = { C , D } -> ( C e. { A } <-> C e. { C , D } ) )
14	12, 13	syl5ibrcom 156	. . 3 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> ( { A } = { C , D } -> C e. { A } ) )
15		elsni 3509	. . . 4 |- ( C e. { A } -> C = A )
16	15	eqcomd 2118	. . 3 |- ( C e. { A } -> A = C )
17	14, 16	syl6 33	. 2 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> ( { A } = { C , D } -> A = C ) )
18		dfopg 3667	. . . . 5 |- ( ( C e. _V /\ D e. _V ) -> <. C , D >. = { { C } , { C , D } } )
19	7, 8, 18	3syl 17	. . . 4 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> <. C , D >. = { { C } , { C , D } } )
20	7, 19	eleqtrd 2191	. . 3 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> { A } e. { { C } , { C , D } } )
21		elpri 3514	. . 3 |- ( { A } e. { { C } , { C , D } } -> ( { A } = { C } \/ { A } = { C , D } ) )
22	20, 21	syl 14	. 2 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> ( { A } = { C } \/ { A } = { C , D } ) )
23	3, 17, 22	mpjaod 690	1 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> A = C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 680   = wceq 1312   e. wcel 1461   _Vcvv 2655   {csn 3491   {cpr 3492   <.cop 3494

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-v 2657  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500

This theorem is referenced by:  opth  4117  dmsnopg  4966  funcnvsn  5124  oprabid  5755  pwle2  12872