Theorem opth1 4298

Description: Equality of the first members of equal ordered pairs. (Contributed by NM, 28-May-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opth1.1	|- A e. _V
opth1.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
opth1	|- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> A = C )

Proof of Theorem opth1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opth1.1	. . . 4 |- A e. _V
2	1	sneqr 3814	. . 3 |- ( { A } = { C } -> A = C )
3	2	a1i 9	. 2 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> ( { A } = { C } -> A = C ) )
4		opth1.2	. . . . . . . . 9 |- B e. _V
5	1, 4	opi1 4294	. . . . . . . 8 |- { A } e. <. A , B >.
6		id 19	. . . . . . . 8 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> <. A , B >. = <. C , D >. )
7	5, 6	eleqtrid 2296	. . . . . . 7 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> { A } e. <. C , D >. )
8		oprcl 3857	. . . . . . 7 |- ( { A } e. <. C , D >. -> ( C e. _V /\ D e. _V ) )
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> ( C e. _V /\ D e. _V ) )
10	9	simpld 112	. . . . 5 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> C e. _V )
11		prid1g 3747	. . . . 5 |- ( C e. _V -> C e. { C , D } )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> C e. { C , D } )
13		eleq2 2271	. . . 4 |- ( { A } = { C , D } -> ( C e. { A } <-> C e. { C , D } ) )
14	12, 13	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> ( { A } = { C , D } -> C e. { A } ) )
15		elsni 3661	. . . 4 |- ( C e. { A } -> C = A )
16	15	eqcomd 2213	. . 3 |- ( C e. { A } -> A = C )
17	14, 16	syl6 33	. 2 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> ( { A } = { C , D } -> A = C ) )
18		dfopg 3831	. . . . 5 |- ( ( C e. _V /\ D e. _V ) -> <. C , D >. = { { C } , { C , D } } )
19	7, 8, 18	3syl 17	. . . 4 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> <. C , D >. = { { C } , { C , D } } )
20	7, 19	eleqtrd 2286	. . 3 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> { A } e. { { C } , { C , D } } )
21		elpri 3666	. . 3 |- ( { A } e. { { C } , { C , D } } -> ( { A } = { C } \/ { A } = { C , D } ) )
22	20, 21	syl 14	. 2 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> ( { A } = { C } \/ { A } = { C , D } ) )
23	3, 17, 22	mpjaod 720	1 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> A = C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   {csn 3643   {cpr 3644   <.cop 3646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652

This theorem is referenced by:  opth  4299  dmsnopg  5173  funcnvsn  5338  oprabid  5999  fnpr2ob  13287  pwle2  16137