Theorem opth1 4153

Description: Equality of the first members of equal ordered pairs. (Contributed by NM, 28-May-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opth1.1	|- A e. _V
opth1.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
opth1	|- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> A = C )

Proof of Theorem opth1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opth1.1	. . . 4 |- A e. _V
2	1	sneqr 3682	. . 3 |- ( { A } = { C } -> A = C )
3	2	a1i 9	. 2 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> ( { A } = { C } -> A = C ) )
4		opth1.2	. . . . . . . . 9 |- B e. _V
5	1, 4	opi1 4149	. . . . . . . 8 |- { A } e. <. A , B >.
6		id 19	. . . . . . . 8 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> <. A , B >. = <. C , D >. )
7	5, 6	eleqtrid 2226	. . . . . . 7 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> { A } e. <. C , D >. )
8		oprcl 3724	. . . . . . 7 |- ( { A } e. <. C , D >. -> ( C e. _V /\ D e. _V ) )
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> ( C e. _V /\ D e. _V ) )
10	9	simpld 111	. . . . 5 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> C e. _V )
11		prid1g 3622	. . . . 5 |- ( C e. _V -> C e. { C , D } )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> C e. { C , D } )
13		eleq2 2201	. . . 4 |- ( { A } = { C , D } -> ( C e. { A } <-> C e. { C , D } ) )
14	12, 13	syl5ibrcom 156	. . 3 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> ( { A } = { C , D } -> C e. { A } ) )
15		elsni 3540	. . . 4 |- ( C e. { A } -> C = A )
16	15	eqcomd 2143	. . 3 |- ( C e. { A } -> A = C )
17	14, 16	syl6 33	. 2 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> ( { A } = { C , D } -> A = C ) )
18		dfopg 3698	. . . . 5 |- ( ( C e. _V /\ D e. _V ) -> <. C , D >. = { { C } , { C , D } } )
19	7, 8, 18	3syl 17	. . . 4 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> <. C , D >. = { { C } , { C , D } } )
20	7, 19	eleqtrd 2216	. . 3 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> { A } e. { { C } , { C , D } } )
21		elpri 3545	. . 3 |- ( { A } e. { { C } , { C , D } } -> ( { A } = { C } \/ { A } = { C , D } ) )
22	20, 21	syl 14	. 2 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> ( { A } = { C } \/ { A } = { C , D } ) )
23	3, 17, 22	mpjaod 707	1 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> A = C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   {csn 3522   {cpr 3523   <.cop 3525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531

This theorem is referenced by:  opth  4154  dmsnopg  5005  funcnvsn  5163  oprabid  5796  pwle2  13182