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Theorem dfss4st 3230
Description: Subclass defined in terms of class difference. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
dfss4st  |-  ( A. xSTAB  x  e.  A  ->  ( A  C_  B  <->  ( B  \  ( B  \  A
) )  =  A ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem dfss4st
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1w 2148 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
21stbid 777 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (STAB  x  e.  A  <-> STAB  y  e.  A )
)
32cbvalv 1842 . 2  |-  ( A. xSTAB  x  e.  A  <->  A. ySTAB  y  e.  A )
4 nfa1 1479 . . . . 5  |-  F/ y A. ySTAB  y  e.  A
5 nfcv 2228 . . . . 5  |-  F/_ y
( B  \  ( B  \  A ) )
6 nfcv 2228 . . . . 5  |-  F/_ y
( B  i^i  A
)
7 eldif 3006 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( B  \ 
( B  \  A
) )  <->  ( y  e.  B  /\  -.  y  e.  ( B  \  A
) ) )
8 elin 3181 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( B  i^i  A )  <->  ( y  e.  B  /\  y  e.  A ) )
9 abai 527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  B  /\  y  e.  A )  <->  ( y  e.  B  /\  ( y  e.  B  ->  y  e.  A ) ) )
108, 9bitri 182 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( B  i^i  A )  <->  ( y  e.  B  /\  ( y  e.  B  ->  y  e.  A ) ) )
11 imanst 779 . . . . . . . . . 10  |-  (STAB  y  e.  A  ->  ( (
y  e.  B  -> 
y  e.  A )  <->  -.  ( y  e.  B  /\  -.  y  e.  A
) ) )
1211anbi2d 452 . . . . . . . . 9  |-  (STAB  y  e.  A  ->  ( (
y  e.  B  /\  ( y  e.  B  ->  y  e.  A ) )  <->  ( y  e.  B  /\  -.  (
y  e.  B  /\  -.  y  e.  A
) ) ) )
1310, 12syl5bb 190 . . . . . . . 8  |-  (STAB  y  e.  A  ->  ( y  e.  ( B  i^i  A
)  <->  ( y  e.  B  /\  -.  (
y  e.  B  /\  -.  y  e.  A
) ) ) )
14 eldif 3006 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( B  \  A )  <->  ( y  e.  B  /\  -.  y  e.  A ) )
1514notbii 629 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y  e.  ( B 
\  A )  <->  -.  (
y  e.  B  /\  -.  y  e.  A
) )
1615anbi2i 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  B  /\  -.  y  e.  ( B  \  A ) )  <-> 
( y  e.  B  /\  -.  ( y  e.  B  /\  -.  y  e.  A ) ) )
1713, 16syl6rbbr 197 . . . . . . 7  |-  (STAB  y  e.  A  ->  ( (
y  e.  B  /\  -.  y  e.  ( B  \  A ) )  <-> 
y  e.  ( B  i^i  A ) ) )
187, 17syl5bb 190 . . . . . 6  |-  (STAB  y  e.  A  ->  ( y  e.  ( B  \  ( B  \  A ) )  <-> 
y  e.  ( B  i^i  A ) ) )
1918sps 1475 . . . . 5  |-  ( A. ySTAB  y  e.  A  ->  ( y  e.  ( B 
\  ( B  \  A ) )  <->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) )
204, 5, 6, 19eqrd 3041 . . . 4  |-  ( A. ySTAB  y  e.  A  ->  ( B  \  ( B 
\  A ) )  =  ( B  i^i  A ) )
2120eqeq1d 2096 . . 3  |-  ( A. ySTAB  y  e.  A  ->  ( ( B  \  ( B  \  A ) )  =  A  <->  ( B  i^i  A )  =  A ) )
22 sseqin2 3217 . . 3  |-  ( A 
C_  B  <->  ( B  i^i  A )  =  A )
2321, 22syl6rbbr 197 . 2  |-  ( A. ySTAB  y  e.  A  ->  ( A  C_  B  <->  ( B  \  ( B  \  A
) )  =  A ) )
243, 23sylbi 119 1  |-  ( A. xSTAB  x  e.  A  ->  ( A  C_  B  <->  ( B  \  ( B  \  A
) )  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103  STAB wstab 775   A.wal 1287    = wceq 1289    e. wcel 1438    \ cdif 2994    i^i cin 2996    C_ wss 2997
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-stab 776  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-v 2621  df-dif 2999  df-in 3003  df-ss 3010
This theorem is referenced by:  sbthlemi3  6647
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