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Theorem dfss4st 3314
Description: Subclass defined in terms of class difference. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
dfss4st |- ( A. xSTAB x e. A -> ( A C_ B <-> ( B \ ( B \ A ) ) = A ) )
Distinct variable group:   x, A
Allowed substitution hint:   B( x)
Proof of Theorem dfss4st
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1w 2201 . . . 4 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
21stbid 818 . . 3 |- ( x = y -> (STAB x e. A <-> STAB y e. A ) )
32cbvalv 1890 . 2 |- ( A. xSTAB x e. A <-> A. ySTAB y e. A )
4 sseqin2 3300 . . 3 |- ( A C_ B <-> ( B i^i A ) = A )
5 nfa1 1522 . . . . 5 |- F/ y A. ySTAB y e. A
6 nfcv 2282 . . . . 5 |- F/_ y ( B \ ( B \ A ) )
7 nfcv 2282 . . . . 5 |- F/_ y ( B i^i A )
8 eldif 3085 . . . . . . 7 |- ( y e. ( B \ ( B \ A ) ) <-> ( y e. B /\ -. y e. ( B \ A ) ) )
9 eldif 3085 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( B \ A ) <-> ( y e. B /\ -. y e. A ) )
109notbii 658 . . . . . . . . 9 |- ( -. y e. ( B \ A ) <-> -. ( y e. B /\ -. y e. A ) )
1110anbi2i 453 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. B /\ -. y e. ( B \ A ) ) <-> ( y e. B /\ -. ( y e. B /\ -. y e. A ) ) )
12 elin 3264 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( B i^i A ) <-> ( y e. B /\ y e. A ) )
13 abai 550 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. B /\ y e. A ) <-> ( y e. B /\ ( y e. B -> y e. A ) ) )
1412, 13bitri 183 . . . . . . . . 9 |- ( y e. ( B i^i A ) <-> ( y e. B /\ ( y e. B -> y e. A ) ) )
15 imanst 874 . . . . . . . . . 10 |- (STAB y e. A -> ( ( y e. B -> y e. A ) <-> -. ( y e. B /\ -. y e. A ) ) )
1615anbi2d 460 . . . . . . . . 9 |- (STAB y e. A -> ( ( y e. B /\ ( y e. B -> y e. A ) ) <-> ( y e. B /\ -. ( y e. B /\ -. y e. A ) ) ) )
1714, 16syl5bb 191 . . . . . . . 8 |- (STAB y e. A -> ( y e. ( B i^i A ) <-> ( y e. B /\ -. ( y e. B /\ -. y e. A ) ) ) )
1811, 17bitr4id 198 . . . . . . 7 |- (STAB y e. A -> ( ( y e. B /\ -. y e. ( B \ A ) ) <-> y e. ( B i^i A ) ) )
198, 18syl5bb 191 . . . . . 6 |- (STAB y e. A -> ( y e. ( B \ ( B \ A ) ) <-> y e. ( B i^i A ) ) )
2019sps 1518 . . . . 5 |- ( A. ySTAB y e. A -> ( y e. ( B \ ( B \ A ) ) <-> y e. ( B i^i A ) ) )
215, 6, 7, 20eqrd 3120 . . . 4 |- ( A. ySTAB y e. A -> ( B \ ( B \ A ) ) = ( B i^i A ) )
2221eqeq1d 2149 . . 3 |- ( A. ySTAB y e. A -> ( ( B \ ( B \ A ) ) = A <-> ( B i^i A ) = A ) )
234, 22bitr4id 198 . 2 |- ( A. ySTAB y e. A -> ( A C_ B <-> ( B \ ( B \ A ) ) = A ) )
243, 23sylbi 120 1 |- ( A. xSTAB x e. A -> ( A C_ B <-> ( B \ ( B \ A ) ) = A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  STAB wstab 816   A.wal 1330   = wceq 1332   e. wcel 1481   \ cdif 3073   i^i cin 3075   C_ wss 3076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-dif 3078  df-in 3082  df-ss 3089
This theorem is referenced by:  sbthlemi3  6855
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