Theorem dfss4st 3396

Description: Subclass defined in terms of class difference. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dfss4st	|- ( A. xSTAB x e. A -> ( A C_ B <-> ( B \ ( B \ A ) ) = A ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem dfss4st

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1w 2257	. . . 4 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
2	1	stbid 833	. . 3 |- ( x = y -> (STAB x e. A <-> STAB y e. A ) )
3	2	cbvalv 1932	. 2 |- ( A. xSTAB x e. A <-> A. ySTAB y e. A )
4		sseqin2 3382	. . 3 |- ( A C_ B <-> ( B i^i A ) = A )
5		nfa1 1555	. . . . 5 |- F/ y A. ySTAB y e. A
6		nfcv 2339	. . . . 5 |- F/_ y ( B \ ( B \ A ) )
7		nfcv 2339	. . . . 5 |- F/_ y ( B i^i A )
8		eldif 3166	. . . . . . 7 |- ( y e. ( B \ ( B \ A ) ) <-> ( y e. B /\ -. y e. ( B \ A ) ) )
9		eldif 3166	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( B \ A ) <-> ( y e. B /\ -. y e. A ) )
10	9	notbii 669	. . . . . . . . 9 |- ( -. y e. ( B \ A ) <-> -. ( y e. B /\ -. y e. A ) )
11	10	anbi2i 457	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. B /\ -. y e. ( B \ A ) ) <-> ( y e. B /\ -. ( y e. B /\ -. y e. A ) ) )
12		elin 3346	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( B i^i A ) <-> ( y e. B /\ y e. A ) )
13		abai 560	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. B /\ y e. A ) <-> ( y e. B /\ ( y e. B -> y e. A ) ) )
14	12, 13	bitri 184	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( B i^i A ) <-> ( y e. B /\ ( y e. B -> y e. A ) ) )
15		imanst 889	. . . . . . . . . 10 |- (STAB y e. A -> ( ( y e. B -> y e. A ) <-> -. ( y e. B /\ -. y e. A ) ) )
16	15	anbi2d 464	. . . . . . . . 9 |- (STAB y e. A -> ( ( y e. B /\ ( y e. B -> y e. A ) ) <-> ( y e. B /\ -. ( y e. B /\ -. y e. A ) ) ) )
17	14, 16	bitrid 192	. . . . . . . 8 |- (STAB y e. A -> ( y e. ( B i^i A ) <-> ( y e. B /\ -. ( y e. B /\ -. y e. A ) ) ) )
18	11, 17	bitr4id 199	. . . . . . 7 |- (STAB y e. A -> ( ( y e. B /\ -. y e. ( B \ A ) ) <-> y e. ( B i^i A ) ) )
19	8, 18	bitrid 192	. . . . . 6 |- (STAB y e. A -> ( y e. ( B \ ( B \ A ) ) <-> y e. ( B i^i A ) ) )
20	19	sps 1551	. . . . 5 |- ( A. ySTAB y e. A -> ( y e. ( B \ ( B \ A ) ) <-> y e. ( B i^i A ) ) )
21	5, 6, 7, 20	eqrd 3201	. . . 4 |- ( A. ySTAB y e. A -> ( B \ ( B \ A ) ) = ( B i^i A ) )
22	21	eqeq1d 2205	. . 3 |- ( A. ySTAB y e. A -> ( ( B \ ( B \ A ) ) = A <-> ( B i^i A ) = A ) )
23	4, 22	bitr4id 199	. 2 |- ( A. ySTAB y e. A -> ( A C_ B <-> ( B \ ( B \ A ) ) = A ) )
24	3, 23	sylbi 121	1 |- ( A. xSTAB x e. A -> ( A C_ B <-> ( B \ ( B \ A ) ) = A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  STAB wstab 831   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2167   \ cdif 3154   i^i cin 3156   C_ wss 3157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-dif 3159  df-in 3163  df-ss 3170

This theorem is referenced by:  sbthlemi3  7025