Theorem dfss4st 3368

Description: Subclass defined in terms of class difference. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dfss4st	|- ( A. xSTAB x e. A -> ( A C_ B <-> ( B \ ( B \ A ) ) = A ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem dfss4st

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1w 2238	. . . 4 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
2	1	stbid 832	. . 3 |- ( x = y -> (STAB x e. A <-> STAB y e. A ) )
3	2	cbvalv 1917	. 2 |- ( A. xSTAB x e. A <-> A. ySTAB y e. A )
4		sseqin2 3354	. . 3 |- ( A C_ B <-> ( B i^i A ) = A )
5		nfa1 1541	. . . . 5 |- F/ y A. ySTAB y e. A
6		nfcv 2319	. . . . 5 |- F/_ y ( B \ ( B \ A ) )
7		nfcv 2319	. . . . 5 |- F/_ y ( B i^i A )
8		eldif 3138	. . . . . . 7 |- ( y e. ( B \ ( B \ A ) ) <-> ( y e. B /\ -. y e. ( B \ A ) ) )
9		eldif 3138	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( B \ A ) <-> ( y e. B /\ -. y e. A ) )
10	9	notbii 668	. . . . . . . . 9 |- ( -. y e. ( B \ A ) <-> -. ( y e. B /\ -. y e. A ) )
11	10	anbi2i 457	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. B /\ -. y e. ( B \ A ) ) <-> ( y e. B /\ -. ( y e. B /\ -. y e. A ) ) )
12		elin 3318	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( B i^i A ) <-> ( y e. B /\ y e. A ) )
13		abai 560	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. B /\ y e. A ) <-> ( y e. B /\ ( y e. B -> y e. A ) ) )
14	12, 13	bitri 184	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( B i^i A ) <-> ( y e. B /\ ( y e. B -> y e. A ) ) )
15		imanst 888	. . . . . . . . . 10 |- (STAB y e. A -> ( ( y e. B -> y e. A ) <-> -. ( y e. B /\ -. y e. A ) ) )
16	15	anbi2d 464	. . . . . . . . 9 |- (STAB y e. A -> ( ( y e. B /\ ( y e. B -> y e. A ) ) <-> ( y e. B /\ -. ( y e. B /\ -. y e. A ) ) ) )
17	14, 16	bitrid 192	. . . . . . . 8 |- (STAB y e. A -> ( y e. ( B i^i A ) <-> ( y e. B /\ -. ( y e. B /\ -. y e. A ) ) ) )
18	11, 17	bitr4id 199	. . . . . . 7 |- (STAB y e. A -> ( ( y e. B /\ -. y e. ( B \ A ) ) <-> y e. ( B i^i A ) ) )
19	8, 18	bitrid 192	. . . . . 6 |- (STAB y e. A -> ( y e. ( B \ ( B \ A ) ) <-> y e. ( B i^i A ) ) )
20	19	sps 1537	. . . . 5 |- ( A. ySTAB y e. A -> ( y e. ( B \ ( B \ A ) ) <-> y e. ( B i^i A ) ) )
21	5, 6, 7, 20	eqrd 3173	. . . 4 |- ( A. ySTAB y e. A -> ( B \ ( B \ A ) ) = ( B i^i A ) )
22	21	eqeq1d 2186	. . 3 |- ( A. ySTAB y e. A -> ( ( B \ ( B \ A ) ) = A <-> ( B i^i A ) = A ) )
23	4, 22	bitr4id 199	. 2 |- ( A. ySTAB y e. A -> ( A C_ B <-> ( B \ ( B \ A ) ) = A ) )
24	3, 23	sylbi 121	1 |- ( A. xSTAB x e. A -> ( A C_ B <-> ( B \ ( B \ A ) ) = A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  STAB wstab 830   A.wal 1351   = wceq 1353   e. wcel 2148   \ cdif 3126   i^i cin 3128   C_ wss 3129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-dif 3131  df-in 3135  df-ss 3142

This theorem is referenced by:  sbthlemi3  6954