ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfss4st Unicode version
Theorem dfss4st 3304
Description: Subclass defined in terms of class difference. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
dfss4st |- ( A. xSTAB x e. A -> ( A C_ B <-> ( B \ ( B \ A ) ) = A ) )
Distinct variable group:   x, A
Allowed substitution hint:   B( x)
Proof of Theorem dfss4st
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1w 2198 . . . 4 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
21stbid 817 . . 3 |- ( x = y -> (STAB x e. A <-> STAB y e. A ) )
32cbvalv 1889 . 2 |- ( A. xSTAB x e. A <-> A. ySTAB y e. A )
4 nfa1 1521 . . . . 5 |- F/ y A. ySTAB y e. A
5 nfcv 2279 . . . . 5 |- F/_ y ( B \ ( B \ A ) )
6 nfcv 2279 . . . . 5 |- F/_ y ( B i^i A )
7 eldif 3075 . . . . . . 7 |- ( y e. ( B \ ( B \ A ) ) <-> ( y e. B /\ -. y e. ( B \ A ) ) )
8 elin 3254 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( B i^i A ) <-> ( y e. B /\ y e. A ) )
9 abai 549 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. B /\ y e. A ) <-> ( y e. B /\ ( y e. B -> y e. A ) ) )
108, 9bitri 183 . . . . . . . . 9 |- ( y e. ( B i^i A ) <-> ( y e. B /\ ( y e. B -> y e. A ) ) )
11 imanst 873 . . . . . . . . . 10 |- (STAB y e. A -> ( ( y e. B -> y e. A ) <-> -. ( y e. B /\ -. y e. A ) ) )
1211anbi2d 459 . . . . . . . . 9 |- (STAB y e. A -> ( ( y e. B /\ ( y e. B -> y e. A ) ) <-> ( y e. B /\ -. ( y e. B /\ -. y e. A ) ) ) )
1310, 12syl5bb 191 . . . . . . . 8 |- (STAB y e. A -> ( y e. ( B i^i A ) <-> ( y e. B /\ -. ( y e. B /\ -. y e. A ) ) ) )
14 eldif 3075 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( B \ A ) <-> ( y e. B /\ -. y e. A ) )
1514notbii 657 . . . . . . . . 9 |- ( -. y e. ( B \ A ) <-> -. ( y e. B /\ -. y e. A ) )
1615anbi2i 452 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. B /\ -. y e. ( B \ A ) ) <-> ( y e. B /\ -. ( y e. B /\ -. y e. A ) ) )
1713, 16syl6rbbr 198 . . . . . . 7 |- (STAB y e. A -> ( ( y e. B /\ -. y e. ( B \ A ) ) <-> y e. ( B i^i A ) ) )
187, 17syl5bb 191 . . . . . 6 |- (STAB y e. A -> ( y e. ( B \ ( B \ A ) ) <-> y e. ( B i^i A ) ) )
1918sps 1517 . . . . 5 |- ( A. ySTAB y e. A -> ( y e. ( B \ ( B \ A ) ) <-> y e. ( B i^i A ) ) )
204, 5, 6, 19eqrd 3110 . . . 4 |- ( A. ySTAB y e. A -> ( B \ ( B \ A ) ) = ( B i^i A ) )
2120eqeq1d 2146 . . 3 |- ( A. ySTAB y e. A -> ( ( B \ ( B \ A ) ) = A <-> ( B i^i A ) = A ) )
22 sseqin2 3290 . . 3 |- ( A C_ B <-> ( B i^i A ) = A )
2321, 22syl6rbbr 198 . 2 |- ( A. ySTAB y e. A -> ( A C_ B <-> ( B \ ( B \ A ) ) = A ) )
243, 23sylbi 120 1 |- ( A. xSTAB x e. A -> ( A C_ B <-> ( B \ ( B \ A ) ) = A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  STAB wstab 815   A.wal 1329   = wceq 1331   e. wcel 1480   \ cdif 3063   i^i cin 3065   C_ wss 3066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-dif 3068  df-in 3072  df-ss 3079
This theorem is referenced by:  sbthlemi3  6840
  Copyright terms: Public domain W3C validator