Theorem eleq1w 2292

Description: Weaker version of eleq1 2294 (but more general than elequ1 2206) not depending on ax-ext 2213 nor df-cleq 2224. (Contributed by BJ, 24-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eleq1w	|- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )

Proof of Theorem eleq1w

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		equequ2 1761	. . . 4 |- ( x = y -> ( z = x <-> z = y ) )
2	1	anbi1d 465	. . 3 |- ( x = y -> ( ( z = x /\ z e. A ) <-> ( z = y /\ z e. A ) ) )
3	2	exbidv 1873	. 2 |- ( x = y -> ( E. z ( z = x /\ z e. A ) <-> E. z ( z = y /\ z e. A ) ) )
4		df-clel 2227	. 2 |- ( x e. A <-> E. z ( z = x /\ z e. A ) )
5		df-clel 2227	. 2 |- ( y e. A <-> E. z ( z = y /\ z e. A ) )
6	3, 4, 5	3bitr4g 223	1 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1540   e. wcel 2202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1495  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-clel 2227

This theorem is referenced by:  clelsb1f  2378  cbvrmow  2716  cbvralfw  2756  cbvrexfw  2757  cbvralvw  2771  cbvrexvw  2772  cbvreuvw  2773  dfdif3  3317  dfss4st  3440  abn0m  3520  r19.2m  3581  rabsnifsb  3737  cbvmptf  4183  iinexgm  4244  xpiindim  4867  reldmm  4950  cnviinm  5278  iotam  5318  elfvm  5672  cbvriotavw  5982  uchoice  6300  iinerm  6776  ixpiinm  6893  ixpsnf1o  6905  mapsnen  6986  pw2f1odclem  7020  enumctlemm  7313  nnnninfeq  7327  exmidomni  7341  fodjum  7345  finacn  7419  exmidontriimlem4  7439  exmidontriim  7440  cc2  7486  suplocexprlemmu  7938  suplocsr  8029  axpre-suploc  8122  suprzubdc  10497  nninfdcex  10498  zsupssdc  10499  iseqf1olemqk  10770  seq3f1olemqsum  10776  reuccatpfxs1  11332  summodclem2  11961  summodc  11962  zsumdc  11963  fsum3  11966  isumz  11968  isumss  11970  fisumss  11971  isumss2  11972  fsum3cvg2  11973  fsumsersdc  11974  fsum3ser  11976  fsumsplit  11986  fsumsplitf  11987  isumlessdc  12075  prodfdivap  12126  cbvprod  12137  prodrbdclem  12150  prodmodclem2  12156  prodmodc  12157  zproddc  12158  fprodseq  12162  fprodntrivap  12163  prod1dc  12165  prodssdc  12168  fprodsplitdc  12175  fprod2dlemstep  12201  fproddivapf  12210  fprodsplitf  12211  nnmindc  12623  nnminle  12624  nninfctlemfo  12629  pcmptdvds  12936  nninfdclemp1  13089  ismnd  13520  sgrpidmndm  13521  dfgrp3me  13701  issubg2m  13794  subrgintm  14276  islssm  14390  islidlm  14512  neipsm  14897  dedekindeulemub  15361  dedekindeulemloc  15362  dedekindeulemlub  15363  suplociccex  15368  dedekindicclemub  15370  dedekindicclemloc  15371  dedekindicclemlub  15372  limcimo  15408  dvmptfsum  15468  elply2  15478  lgsval  15752  lgsdir  15783  lgsdilem2  15784  lgsdi  15785  lgsne0  15786  lgsquadlem3  15827  lgsquad  15828  2sqlem8  15871  bj-charfunbi  16457