Theorem eleq1w 2290

Description: Weaker version of eleq1 2292 (but more general than elequ1 2204) not depending on ax-ext 2211 nor df-cleq 2222. (Contributed by BJ, 24-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eleq1w	|- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )

Proof of Theorem eleq1w

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		equequ2 1759	. . . 4 |- ( x = y -> ( z = x <-> z = y ) )
2	1	anbi1d 465	. . 3 |- ( x = y -> ( ( z = x /\ z e. A ) <-> ( z = y /\ z e. A ) ) )
3	2	exbidv 1871	. 2 |- ( x = y -> ( E. z ( z = x /\ z e. A ) <-> E. z ( z = y /\ z e. A ) ) )
4		df-clel 2225	. 2 |- ( x e. A <-> E. z ( z = x /\ z e. A ) )
5		df-clel 2225	. 2 |- ( y e. A <-> E. z ( z = y /\ z e. A ) )
6	3, 4, 5	3bitr4g 223	1 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1538   e. wcel 2200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-clel 2225

This theorem is referenced by:  clelsb1f  2376  cbvrmow  2714  cbvralfw  2754  cbvrexfw  2755  cbvralvw  2769  cbvrexvw  2770  cbvreuvw  2771  dfdif3  3314  dfss4st  3437  abn0m  3517  r19.2m  3578  cbvmptf  4178  iinexgm  4238  xpiindim  4859  reldmm  4942  cnviinm  5270  iotam  5310  elfvm  5662  cbvriotavw  5971  uchoice  6289  iinerm  6762  ixpiinm  6879  ixpsnf1o  6891  mapsnen  6972  pw2f1odclem  7003  enumctlemm  7292  nnnninfeq  7306  exmidomni  7320  fodjum  7324  finacn  7397  exmidontriimlem4  7417  exmidontriim  7418  cc2  7464  suplocexprlemmu  7916  suplocsr  8007  axpre-suploc  8100  suprzubdc  10468  nninfdcex  10469  zsupssdc  10470  iseqf1olemqk  10741  seq3f1olemqsum  10747  reuccatpfxs1  11295  summodclem2  11909  summodc  11910  zsumdc  11911  fsum3  11914  isumz  11916  isumss  11918  fisumss  11919  isumss2  11920  fsum3cvg2  11921  fsumsersdc  11922  fsum3ser  11924  fsumsplit  11934  fsumsplitf  11935  isumlessdc  12023  prodfdivap  12074  cbvprod  12085  prodrbdclem  12098  prodmodclem2  12104  prodmodc  12105  zproddc  12106  fprodseq  12110  fprodntrivap  12111  prod1dc  12113  prodssdc  12116  fprodsplitdc  12123  fprod2dlemstep  12149  fproddivapf  12158  fprodsplitf  12159  nnmindc  12571  nnminle  12572  nninfctlemfo  12577  pcmptdvds  12884  nninfdclemp1  13037  ismnd  13468  sgrpidmndm  13469  dfgrp3me  13649  issubg2m  13742  subrgintm  14223  islssm  14337  islidlm  14459  neipsm  14844  dedekindeulemub  15308  dedekindeulemloc  15309  dedekindeulemlub  15310  suplociccex  15315  dedekindicclemub  15317  dedekindicclemloc  15318  dedekindicclemlub  15319  limcimo  15355  dvmptfsum  15415  elply2  15425  lgsval  15699  lgsdir  15730  lgsdilem2  15731  lgsdi  15732  lgsne0  15733  lgsquadlem3  15774  lgsquad  15775  2sqlem8  15818  bj-charfunbi  16257