Theorem difundi 3483

Description: Distributive law for class difference. Theorem 39 of [Suppes] p. 29. (Contributed by NM, 17-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
difundi	|- ( A \ ( B u. C ) ) = ( ( A \ B ) i^i ( A \ C ) )

Proof of Theorem difundi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3229	. . . 4 |- ( x e. ( A \ B ) <-> ( x e. A /\ -. x e. B ) )
2		eldif 3229	. . . 4 |- ( x e. ( A \ C ) <-> ( x e. A /\ -. x e. C ) )
3	1, 2	anbi12i 464	. . 3 |- ( ( x e. ( A \ B ) /\ x e. ( A \ C ) ) <-> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ ( x e. A /\ -. x e. C ) ) )
4		elin 3412	. . 3 |- ( x e. ( ( A \ B ) i^i ( A \ C ) ) <-> ( x e. ( A \ B ) /\ x e. ( A \ C ) ) )
5		eldif 3229	. . . . . 6 |- ( x e. ( A \ ( B u. C ) ) <-> ( x e. A /\ -. x e. ( B u. C ) ) )
6		elun 3370	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( B u. C ) <-> ( x e. B \/ x e. C ) )
7	6	notbii 678	. . . . . . 7 |- ( -. x e. ( B u. C ) <-> -. ( x e. B \/ x e. C ) )
8	7	anbi2i 461	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ -. x e. ( B u. C ) ) <-> ( x e. A /\ -. ( x e. B \/ x e. C ) ) )
9	5, 8	bitri 184	. . . . 5 |- ( x e. ( A \ ( B u. C ) ) <-> ( x e. A /\ -. ( x e. B \/ x e. C ) ) )
10		ioran 764	. . . . . 6 |- ( -. ( x e. B \/ x e. C ) <-> ( -. x e. B /\ -. x e. C ) )
11	10	anbi2i 461	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ -. ( x e. B \/ x e. C ) ) <-> ( x e. A /\ ( -. x e. B /\ -. x e. C ) ) )
12	9, 11	bitri 184	. . . 4 |- ( x e. ( A \ ( B u. C ) ) <-> ( x e. A /\ ( -. x e. B /\ -. x e. C ) ) )
13		anandi 598	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ ( -. x e. B /\ -. x e. C ) ) <-> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ ( x e. A /\ -. x e. C ) ) )
14	12, 13	bitri 184	. . 3 |- ( x e. ( A \ ( B u. C ) ) <-> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ ( x e. A /\ -. x e. C ) ) )
15	3, 4, 14	3bitr4ri 213	. 2 |- ( x e. ( A \ ( B u. C ) ) <-> x e. ( ( A \ B ) i^i ( A \ C ) ) )
16	15	eqriv 2235	1 |- ( A \ ( B u. C ) ) = ( ( A \ B ) i^i ( A \ C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   \ cdif 3217   u. cun 3218   i^i cin 3219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226

This theorem is referenced by:  undm  3489  undifdc  7221  uncld  15137