Theorem difundi 3294

Description: Distributive law for class difference. Theorem 39 of [Suppes] p. 29. (Contributed by NM, 17-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
difundi	|- ( A \ ( B u. C ) ) = ( ( A \ B ) i^i ( A \ C ) )

Proof of Theorem difundi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3046	. . . 4 |- ( x e. ( A \ B ) <-> ( x e. A /\ -. x e. B ) )
2		eldif 3046	. . . 4 |- ( x e. ( A \ C ) <-> ( x e. A /\ -. x e. C ) )
3	1, 2	anbi12i 453	. . 3 |- ( ( x e. ( A \ B ) /\ x e. ( A \ C ) ) <-> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ ( x e. A /\ -. x e. C ) ) )
4		elin 3225	. . 3 |- ( x e. ( ( A \ B ) i^i ( A \ C ) ) <-> ( x e. ( A \ B ) /\ x e. ( A \ C ) ) )
5		eldif 3046	. . . . . 6 |- ( x e. ( A \ ( B u. C ) ) <-> ( x e. A /\ -. x e. ( B u. C ) ) )
6		elun 3183	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( B u. C ) <-> ( x e. B \/ x e. C ) )
7	6	notbii 640	. . . . . . 7 |- ( -. x e. ( B u. C ) <-> -. ( x e. B \/ x e. C ) )
8	7	anbi2i 450	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ -. x e. ( B u. C ) ) <-> ( x e. A /\ -. ( x e. B \/ x e. C ) ) )
9	5, 8	bitri 183	. . . . 5 |- ( x e. ( A \ ( B u. C ) ) <-> ( x e. A /\ -. ( x e. B \/ x e. C ) ) )
10		ioran 724	. . . . . 6 |- ( -. ( x e. B \/ x e. C ) <-> ( -. x e. B /\ -. x e. C ) )
11	10	anbi2i 450	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ -. ( x e. B \/ x e. C ) ) <-> ( x e. A /\ ( -. x e. B /\ -. x e. C ) ) )
12	9, 11	bitri 183	. . . 4 |- ( x e. ( A \ ( B u. C ) ) <-> ( x e. A /\ ( -. x e. B /\ -. x e. C ) ) )
13		anandi 562	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ ( -. x e. B /\ -. x e. C ) ) <-> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ ( x e. A /\ -. x e. C ) ) )
14	12, 13	bitri 183	. . 3 |- ( x e. ( A \ ( B u. C ) ) <-> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ ( x e. A /\ -. x e. C ) ) )
15	3, 4, 14	3bitr4ri 212	. 2 |- ( x e. ( A \ ( B u. C ) ) <-> x e. ( ( A \ B ) i^i ( A \ C ) ) )
16	15	eqriv 2112	1 |- ( A \ ( B u. C ) ) = ( ( A \ B ) i^i ( A \ C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   \/ wo 680   = wceq 1314   e. wcel 1463   \ cdif 3034   u. cun 3035   i^i cin 3036

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043

This theorem is referenced by:  undm  3300  undifdc  6765  uncld  12125