Theorem difundi 3456

Description: Distributive law for class difference. Theorem 39 of [Suppes] p. 29. (Contributed by NM, 17-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
difundi	|- ( A \ ( B u. C ) ) = ( ( A \ B ) i^i ( A \ C ) )

Proof of Theorem difundi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3206	. . . 4 |- ( x e. ( A \ B ) <-> ( x e. A /\ -. x e. B ) )
2		eldif 3206	. . . 4 |- ( x e. ( A \ C ) <-> ( x e. A /\ -. x e. C ) )
3	1, 2	anbi12i 460	. . 3 |- ( ( x e. ( A \ B ) /\ x e. ( A \ C ) ) <-> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ ( x e. A /\ -. x e. C ) ) )
4		elin 3387	. . 3 |- ( x e. ( ( A \ B ) i^i ( A \ C ) ) <-> ( x e. ( A \ B ) /\ x e. ( A \ C ) ) )
5		eldif 3206	. . . . . 6 |- ( x e. ( A \ ( B u. C ) ) <-> ( x e. A /\ -. x e. ( B u. C ) ) )
6		elun 3345	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( B u. C ) <-> ( x e. B \/ x e. C ) )
7	6	notbii 672	. . . . . . 7 |- ( -. x e. ( B u. C ) <-> -. ( x e. B \/ x e. C ) )
8	7	anbi2i 457	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ -. x e. ( B u. C ) ) <-> ( x e. A /\ -. ( x e. B \/ x e. C ) ) )
9	5, 8	bitri 184	. . . . 5 |- ( x e. ( A \ ( B u. C ) ) <-> ( x e. A /\ -. ( x e. B \/ x e. C ) ) )
10		ioran 757	. . . . . 6 |- ( -. ( x e. B \/ x e. C ) <-> ( -. x e. B /\ -. x e. C ) )
11	10	anbi2i 457	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ -. ( x e. B \/ x e. C ) ) <-> ( x e. A /\ ( -. x e. B /\ -. x e. C ) ) )
12	9, 11	bitri 184	. . . 4 |- ( x e. ( A \ ( B u. C ) ) <-> ( x e. A /\ ( -. x e. B /\ -. x e. C ) ) )
13		anandi 592	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ ( -. x e. B /\ -. x e. C ) ) <-> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ ( x e. A /\ -. x e. C ) ) )
14	12, 13	bitri 184	. . 3 |- ( x e. ( A \ ( B u. C ) ) <-> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ ( x e. A /\ -. x e. C ) ) )
15	3, 4, 14	3bitr4ri 213	. 2 |- ( x e. ( A \ ( B u. C ) ) <-> x e. ( ( A \ B ) i^i ( A \ C ) ) )
16	15	eqriv 2226	1 |- ( A \ ( B u. C ) ) = ( ( A \ B ) i^i ( A \ C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   \ cdif 3194   u. cun 3195   i^i cin 3196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203

This theorem is referenced by:  undm  3462  undifdc  7086  uncld  14787