Theorem uncld 14700

Description: The union of two closed sets is closed. Equivalent to Theorem 6.1(3) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
uncld	|- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A u. B ) e. ( Clsd ` J ) )

Proof of Theorem uncld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difundi 3433	. . 3 |- ( U. J \ ( A u. B ) ) = ( ( U. J \ A ) i^i ( U. J \ B ) )
2		cldrcl 14689	. . . . 5 |- ( A e. ( Clsd ` J ) -> J e. Top )
3	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> J e. Top )
4		eqid 2207	. . . . . 6 |- U. J = U. J
5	4	cldopn 14694	. . . . 5 |- ( A e. ( Clsd ` J ) -> ( U. J \ A ) e. J )
6	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J \ A ) e. J )
7	4	cldopn 14694	. . . . 5 |- ( B e. ( Clsd ` J ) -> ( U. J \ B ) e. J )
8	7	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J \ B ) e. J )
9		inopn 14590	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ ( U. J \ A ) e. J /\ ( U. J \ B ) e. J ) -> ( ( U. J \ A ) i^i ( U. J \ B ) ) e. J )
10	3, 6, 8, 9	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( U. J \ A ) i^i ( U. J \ B ) ) e. J )
11	1, 10	eqeltrid 2294	. 2 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J \ ( A u. B ) ) e. J )
12	4	cldss 14692	. . . . 5 |- ( A e. ( Clsd ` J ) -> A C_ U. J )
13	4	cldss 14692	. . . . 5 |- ( B e. ( Clsd ` J ) -> B C_ U. J )
14	12, 13	anim12i 338	. . . 4 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A C_ U. J /\ B C_ U. J ) )
15		unss 3355	. . . 4 |- ( ( A C_ U. J /\ B C_ U. J ) <-> ( A u. B ) C_ U. J )
16	14, 15	sylib 122	. . 3 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A u. B ) C_ U. J )
17	4	iscld2 14691	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ ( A u. B ) C_ U. J ) -> ( ( A u. B ) e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ ( A u. B ) ) e. J ) )
18	3, 16, 17	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( A u. B ) e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ ( A u. B ) ) e. J ) )
19	11, 18	mpbird 167	1 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A u. B ) e. ( Clsd ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2178   \ cdif 3171   u. cun 3172   i^i cin 3173   C_ wss 3174   U.cuni 3864   ` cfv 5290   Topctop 14584   Clsdccld 14679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298  df-top 14585  df-cld 14682

This theorem is referenced by:  iuncld  14702