Theorem uncld 15104

Description: The union of two closed sets is closed. Equivalent to Theorem 6.1(3) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
uncld	|- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A u. B ) e. ( Clsd ` J ) )

Proof of Theorem uncld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difundi 3477	. . 3 |- ( U. J \ ( A u. B ) ) = ( ( U. J \ A ) i^i ( U. J \ B ) )
2		cldrcl 15093	. . . . 5 |- ( A e. ( Clsd ` J ) -> J e. Top )
3	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> J e. Top )
4		eqid 2234	. . . . . 6 |- U. J = U. J
5	4	cldopn 15098	. . . . 5 |- ( A e. ( Clsd ` J ) -> ( U. J \ A ) e. J )
6	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J \ A ) e. J )
7	4	cldopn 15098	. . . . 5 |- ( B e. ( Clsd ` J ) -> ( U. J \ B ) e. J )
8	7	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J \ B ) e. J )
9		inopn 14994	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ ( U. J \ A ) e. J /\ ( U. J \ B ) e. J ) -> ( ( U. J \ A ) i^i ( U. J \ B ) ) e. J )
10	3, 6, 8, 9	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( U. J \ A ) i^i ( U. J \ B ) ) e. J )
11	1, 10	eqeltrid 2321	. 2 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J \ ( A u. B ) ) e. J )
12	4	cldss 15096	. . . . 5 |- ( A e. ( Clsd ` J ) -> A C_ U. J )
13	4	cldss 15096	. . . . 5 |- ( B e. ( Clsd ` J ) -> B C_ U. J )
14	12, 13	anim12i 338	. . . 4 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A C_ U. J /\ B C_ U. J ) )
15		unss 3397	. . . 4 |- ( ( A C_ U. J /\ B C_ U. J ) <-> ( A u. B ) C_ U. J )
16	14, 15	sylib 122	. . 3 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A u. B ) C_ U. J )
17	4	iscld2 15095	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ ( A u. B ) C_ U. J ) -> ( ( A u. B ) e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ ( A u. B ) ) e. J ) )
18	3, 16, 17	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( A u. B ) e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ ( A u. B ) ) e. J ) )
19	11, 18	mpbird 167	1 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A u. B ) e. ( Clsd ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2205   \ cdif 3211   u. cun 3212   i^i cin 3213   C_ wss 3214   U.cuni 3919   ` cfv 5357   Topctop 14988   Clsdccld 15083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-top 14989  df-cld 15086

This theorem is referenced by:  iuncld  15106