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Theorem uncld 13544
Description: The union of two closed sets is closed. Equivalent to Theorem 6.1(3) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
uncld  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  u.  B )  e.  ( Clsd `  J
) )

Proof of Theorem uncld
StepHypRef Expression
1 difundi 3387 . . 3  |-  ( U. J  \  ( A  u.  B ) )  =  ( ( U. J  \  A )  i^i  ( U. J  \  B ) )
2 cldrcl 13533 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
32adantr 276 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  J  e.  Top )
4 eqid 2177 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
54cldopn 13538 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  A )  e.  J )
65adantr 276 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  A )  e.  J )
74cldopn 13538 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  B )  e.  J )
87adantl 277 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  B )  e.  J )
9 inopn 13434 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( U. J  \  A
)  e.  J  /\  ( U. J  \  B
)  e.  J )  ->  ( ( U. J  \  A )  i^i  ( U. J  \  B ) )  e.  J )
103, 6, 8, 9syl3anc 1238 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( U. J  \  A )  i^i  ( U. J  \  B ) )  e.  J )
111, 10eqeltrid 2264 . 2  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  ( A  u.  B )
)  e.  J )
124cldss 13536 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  A  C_  U. J
)
134cldss 13536 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  B  C_  U. J
)
1412, 13anim12i 338 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  C_  U. J  /\  B  C_  U. J ) )
15 unss 3309 . . . 4  |-  ( ( A  C_  U. J  /\  B  C_  U. J )  <-> 
( A  u.  B
)  C_  U. J )
1614, 15sylib 122 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  u.  B )  C_ 
U. J )
174iscld2 13535 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A  u.  B
)  C_  U. J )  ->  ( ( A  u.  B )  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( U. J  \  ( A  u.  B
) )  e.  J
) )
183, 16, 17syl2anc 411 . 2  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( A  u.  B
)  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  ( A  u.  B ) )  e.  J ) )
1911, 18mpbird 167 1  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  u.  B )  e.  ( Clsd `  J
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    e. wcel 2148    \ cdif 3126    u. cun 3127    i^i cin 3128    C_ wss 3129   U.cuni 3809   ` cfv 5216   Topctop 13428   Clsdccld 13523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224  df-top 13429  df-cld 13526
This theorem is referenced by:  iuncld  13546
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