Theorem uncld 14787

Description: The union of two closed sets is closed. Equivalent to Theorem 6.1(3) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
uncld	|- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A u. B ) e. ( Clsd ` J ) )

Proof of Theorem uncld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difundi 3456	. . 3 |- ( U. J \ ( A u. B ) ) = ( ( U. J \ A ) i^i ( U. J \ B ) )
2		cldrcl 14776	. . . . 5 |- ( A e. ( Clsd ` J ) -> J e. Top )
3	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> J e. Top )
4		eqid 2229	. . . . . 6 |- U. J = U. J
5	4	cldopn 14781	. . . . 5 |- ( A e. ( Clsd ` J ) -> ( U. J \ A ) e. J )
6	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J \ A ) e. J )
7	4	cldopn 14781	. . . . 5 |- ( B e. ( Clsd ` J ) -> ( U. J \ B ) e. J )
8	7	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J \ B ) e. J )
9		inopn 14677	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ ( U. J \ A ) e. J /\ ( U. J \ B ) e. J ) -> ( ( U. J \ A ) i^i ( U. J \ B ) ) e. J )
10	3, 6, 8, 9	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( U. J \ A ) i^i ( U. J \ B ) ) e. J )
11	1, 10	eqeltrid 2316	. 2 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J \ ( A u. B ) ) e. J )
12	4	cldss 14779	. . . . 5 |- ( A e. ( Clsd ` J ) -> A C_ U. J )
13	4	cldss 14779	. . . . 5 |- ( B e. ( Clsd ` J ) -> B C_ U. J )
14	12, 13	anim12i 338	. . . 4 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A C_ U. J /\ B C_ U. J ) )
15		unss 3378	. . . 4 |- ( ( A C_ U. J /\ B C_ U. J ) <-> ( A u. B ) C_ U. J )
16	14, 15	sylib 122	. . 3 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A u. B ) C_ U. J )
17	4	iscld2 14778	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ ( A u. B ) C_ U. J ) -> ( ( A u. B ) e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ ( A u. B ) ) e. J ) )
18	3, 16, 17	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( A u. B ) e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ ( A u. B ) ) e. J ) )
19	11, 18	mpbird 167	1 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A u. B ) e. ( Clsd ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   \ cdif 3194   u. cun 3195   i^i cin 3196   C_ wss 3197   U.cuni 3888   ` cfv 5318   Topctop 14671   Clsdccld 14766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-top 14672  df-cld 14769

This theorem is referenced by:  iuncld  14789