Theorem uncld 12271

Description: The union of two closed sets is closed. Equivalent to Theorem 6.1(3) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
uncld	|- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A u. B ) e. ( Clsd ` J ) )

Proof of Theorem uncld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difundi 3323	. . 3 |- ( U. J \ ( A u. B ) ) = ( ( U. J \ A ) i^i ( U. J \ B ) )
2		cldrcl 12260	. . . . 5 |- ( A e. ( Clsd ` J ) -> J e. Top )
3	2	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> J e. Top )
4		eqid 2137	. . . . . 6 |- U. J = U. J
5	4	cldopn 12265	. . . . 5 |- ( A e. ( Clsd ` J ) -> ( U. J \ A ) e. J )
6	5	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J \ A ) e. J )
7	4	cldopn 12265	. . . . 5 |- ( B e. ( Clsd ` J ) -> ( U. J \ B ) e. J )
8	7	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J \ B ) e. J )
9		inopn 12159	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ ( U. J \ A ) e. J /\ ( U. J \ B ) e. J ) -> ( ( U. J \ A ) i^i ( U. J \ B ) ) e. J )
10	3, 6, 8, 9	syl3anc 1216	. . 3 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( U. J \ A ) i^i ( U. J \ B ) ) e. J )
11	1, 10	eqeltrid 2224	. 2 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J \ ( A u. B ) ) e. J )
12	4	cldss 12263	. . . . 5 |- ( A e. ( Clsd ` J ) -> A C_ U. J )
13	4	cldss 12263	. . . . 5 |- ( B e. ( Clsd ` J ) -> B C_ U. J )
14	12, 13	anim12i 336	. . . 4 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A C_ U. J /\ B C_ U. J ) )
15		unss 3245	. . . 4 |- ( ( A C_ U. J /\ B C_ U. J ) <-> ( A u. B ) C_ U. J )
16	14, 15	sylib 121	. . 3 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A u. B ) C_ U. J )
17	4	iscld2 12262	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ ( A u. B ) C_ U. J ) -> ( ( A u. B ) e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ ( A u. B ) ) e. J ) )
18	3, 16, 17	syl2anc 408	. 2 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( A u. B ) e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ ( A u. B ) ) e. J ) )
19	11, 18	mpbird 166	1 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A u. B ) e. ( Clsd ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   \ cdif 3063   u. cun 3064   i^i cin 3065   C_ wss 3066   U.cuni 3731   ` cfv 5118   Topctop 12153   Clsdccld 12250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-fv 5126  df-top 12154  df-cld 12253

This theorem is referenced by:  iuncld  12273