Theorem uncld 14978

Description: The union of two closed sets is closed. Equivalent to Theorem 6.1(3) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
uncld	|- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A u. B ) e. ( Clsd ` J ) )

Proof of Theorem uncld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difundi 3473	. . 3 |- ( U. J \ ( A u. B ) ) = ( ( U. J \ A ) i^i ( U. J \ B ) )
2		cldrcl 14967	. . . . 5 |- ( A e. ( Clsd ` J ) -> J e. Top )
3	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> J e. Top )
4		eqid 2232	. . . . . 6 |- U. J = U. J
5	4	cldopn 14972	. . . . 5 |- ( A e. ( Clsd ` J ) -> ( U. J \ A ) e. J )
6	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J \ A ) e. J )
7	4	cldopn 14972	. . . . 5 |- ( B e. ( Clsd ` J ) -> ( U. J \ B ) e. J )
8	7	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J \ B ) e. J )
9		inopn 14868	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ ( U. J \ A ) e. J /\ ( U. J \ B ) e. J ) -> ( ( U. J \ A ) i^i ( U. J \ B ) ) e. J )
10	3, 6, 8, 9	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( U. J \ A ) i^i ( U. J \ B ) ) e. J )
11	1, 10	eqeltrid 2319	. 2 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J \ ( A u. B ) ) e. J )
12	4	cldss 14970	. . . . 5 |- ( A e. ( Clsd ` J ) -> A C_ U. J )
13	4	cldss 14970	. . . . 5 |- ( B e. ( Clsd ` J ) -> B C_ U. J )
14	12, 13	anim12i 338	. . . 4 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A C_ U. J /\ B C_ U. J ) )
15		unss 3393	. . . 4 |- ( ( A C_ U. J /\ B C_ U. J ) <-> ( A u. B ) C_ U. J )
16	14, 15	sylib 122	. . 3 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A u. B ) C_ U. J )
17	4	iscld2 14969	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ ( A u. B ) C_ U. J ) -> ( ( A u. B ) e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ ( A u. B ) ) e. J ) )
18	3, 16, 17	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( A u. B ) e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ ( A u. B ) ) e. J ) )
19	11, 18	mpbird 167	1 |- ( ( A e. ( Clsd ` J ) /\ B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A u. B ) e. ( Clsd ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2203   \ cdif 3208   u. cun 3209   i^i cin 3210   C_ wss 3211   U.cuni 3914   ` cfv 5352   Topctop 14862   Clsdccld 14957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-fv 5360  df-top 14863  df-cld 14960

This theorem is referenced by:  iuncld  14980