Theorem undifdc 7184

Description: Union of complementary parts into whole. This is a case where we can strengthen undifss 3590 from subset to equality. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
undifdc	|- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> A = ( B u. ( A \ B ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   y, B

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem undifdc

Dummy variables v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 |- ( w = (/) -> w = (/) )
2		difeq2 3331	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( A \ w ) = ( A \ (/) ) )
3	1, 2	uneq12d 3374	. . 3 |- ( w = (/) -> ( w u. ( A \ w ) ) = ( (/) u. ( A \ (/) ) ) )
4	3	eqeq2d 2244	. 2 |- ( w = (/) -> ( A = ( w u. ( A \ w ) ) <-> A = ( (/) u. ( A \ (/) ) ) ) )
5		id 19	. . . 4 |- ( w = v -> w = v )
6		difeq2 3331	. . . 4 |- ( w = v -> ( A \ w ) = ( A \ v ) )
7	5, 6	uneq12d 3374	. . 3 |- ( w = v -> ( w u. ( A \ w ) ) = ( v u. ( A \ v ) ) )
8	7	eqeq2d 2244	. 2 |- ( w = v -> ( A = ( w u. ( A \ w ) ) <-> A = ( v u. ( A \ v ) ) ) )
9		id 19	. . . 4 |- ( w = ( v u. { z } ) -> w = ( v u. { z } ) )
10		difeq2 3331	. . . 4 |- ( w = ( v u. { z } ) -> ( A \ w ) = ( A \ ( v u. { z } ) ) )
11	9, 10	uneq12d 3374	. . 3 |- ( w = ( v u. { z } ) -> ( w u. ( A \ w ) ) = ( ( v u. { z } ) u. ( A \ ( v u. { z } ) ) ) )
12	11	eqeq2d 2244	. 2 |- ( w = ( v u. { z } ) -> ( A = ( w u. ( A \ w ) ) <-> A = ( ( v u. { z } ) u. ( A \ ( v u. { z } ) ) ) ) )
13		id 19	. . . 4 |- ( w = B -> w = B )
14		difeq2 3331	. . . 4 |- ( w = B -> ( A \ w ) = ( A \ B ) )
15	13, 14	uneq12d 3374	. . 3 |- ( w = B -> ( w u. ( A \ w ) ) = ( B u. ( A \ B ) ) )
16	15	eqeq2d 2244	. 2 |- ( w = B -> ( A = ( w u. ( A \ w ) ) <-> A = ( B u. ( A \ B ) ) ) )
17		un0 3542	. . . 4 |- ( ( A \ (/) ) u. (/) ) = ( A \ (/) )
18		uncom 3363	. . . 4 |- ( ( A \ (/) ) u. (/) ) = ( (/) u. ( A \ (/) ) )
19		dif0 3579	. . . 4 |- ( A \ (/) ) = A
20	17, 18, 19	3eqtr3ri 2262	. . 3 |- A = ( (/) u. ( A \ (/) ) )
21	20	a1i 9	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> A = ( (/) u. ( A \ (/) ) ) )
22		difundi 3473	. . . . . . 7 |- ( A \ ( v u. { z } ) ) = ( ( A \ v ) i^i ( A \ { z } ) )
23	22	uneq2i 3370	. . . . . 6 |- ( ( v u. { z } ) u. ( A \ ( v u. { z } ) ) ) = ( ( v u. { z } ) u. ( ( A \ v ) i^i ( A \ { z } ) ) )
24		undi 3469	. . . . . 6 |- ( ( v u. { z } ) u. ( ( A \ v ) i^i ( A \ { z } ) ) ) = ( ( ( v u. { z } ) u. ( A \ v ) ) i^i ( ( v u. { z } ) u. ( A \ { z } ) ) )
25	23, 24	eqtri 2253	. . . . 5 |- ( ( v u. { z } ) u. ( A \ ( v u. { z } ) ) ) = ( ( ( v u. { z } ) u. ( A \ v ) ) i^i ( ( v u. { z } ) u. ( A \ { z } ) ) )
26		uncom 3363	. . . . . . . . 9 |- ( v u. { z } ) = ( { z } u. v )
27	26	uneq1i 3369	. . . . . . . 8 |- ( ( v u. { z } ) u. ( A \ v ) ) = ( ( { z } u. v ) u. ( A \ v ) )
28		unass 3376	. . . . . . . 8 |- ( ( { z } u. v ) u. ( A \ v ) ) = ( { z } u. ( v u. ( A \ v ) ) )
29	27, 28	eqtri 2253	. . . . . . 7 |- ( ( v u. { z } ) u. ( A \ v ) ) = ( { z } u. ( v u. ( A \ v ) ) )
30		simp3 1026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> B C_ A )
31	30	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> B C_ A )
32		simplrr 538	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> z e. ( B \ v ) )
33	32	eldifad 3222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> z e. B )
34	31, 33	sseldd 3239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> z e. A )
35	34	snssd 3839	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> { z } C_ A )
36		ssequn1 3389	. . . . . . . . 9 |- ( { z } C_ A <-> ( { z } u. A ) = A )
37	35, 36	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( { z } u. A ) = A )
38		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> A = ( v u. ( A \ v ) ) )
39	38	uneq2d 3373	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( { z } u. A ) = ( { z } u. ( v u. ( A \ v ) ) ) )
40	37, 39	eqtr3d 2267	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> A = ( { z } u. ( v u. ( A \ v ) ) ) )
41	29, 40	eqtr4id 2284	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( ( v u. { z } ) u. ( A \ v ) ) = A )
42		unass 3376	. . . . . . . 8 |- ( ( v u. { z } ) u. ( A \ { z } ) ) = ( v u. ( { z } u. ( A \ { z } ) ) )
43		uncom 3363	. . . . . . . . . 10 |- ( { z } u. ( A \ { z } ) ) = ( ( A \ { z } ) u. { z } )
44		simp1 1024	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
45	44	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
46		dcdifsnid 6737	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ z e. A ) -> ( ( A \ { z } ) u. { z } ) = A )
47	45, 34, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( ( A \ { z } ) u. { z } ) = A )
48	43, 47	eqtrid 2277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( { z } u. ( A \ { z } ) ) = A )
49	48	uneq2d 3373	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( v u. ( { z } u. ( A \ { z } ) ) ) = ( v u. A ) )
50	42, 49	eqtrid 2277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( ( v u. { z } ) u. ( A \ { z } ) ) = ( v u. A ) )
51		simplrl 537	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> v C_ B )
52	51, 31	sstrd 3248	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> v C_ A )
53		ssequn1 3389	. . . . . . . 8 |- ( v C_ A <-> ( v u. A ) = A )
54	52, 53	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( v u. A ) = A )
55	50, 54	eqtrd 2265	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( ( v u. { z } ) u. ( A \ { z } ) ) = A )
56	41, 55	ineq12d 3423	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( ( ( v u. { z } ) u. ( A \ v ) ) i^i ( ( v u. { z } ) u. ( A \ { z } ) ) ) = ( A i^i A ) )
57	25, 56	eqtrid 2277	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( ( v u. { z } ) u. ( A \ ( v u. { z } ) ) ) = ( A i^i A ) )
58		inidm 3430	. . . 4 |- ( A i^i A ) = A
59	57, 58	eqtr2di 2282	. . 3 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> A = ( ( v u. { z } ) u. ( A \ ( v u. { z } ) ) ) )
60	59	ex 115	. 2 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) -> ( A = ( v u. ( A \ v ) ) -> A = ( ( v u. { z } ) u. ( A \ ( v u. { z } ) ) ) ) )
61		simp2 1025	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> B e. Fin )
62	4, 8, 12, 16, 21, 60, 61	findcard2sd 7149	1 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> A = ( B u. ( A \ B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   \ cdif 3208   u. cun 3209   i^i cin 3210   C_ wss 3211   (/)c0 3508   {csn 3689   Fincfn 6975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-er 6767  df-en 6976  df-fin 6978

This theorem is referenced by:  undiffi  7185