Theorem undifdc 6820

Description: Union of complementary parts into whole. This is a case where we can strengthen undifss 3448 from subset to equality. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
undifdc	|- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> A = ( B u. ( A \ B ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   y, B

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem undifdc

Dummy variables v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 |- ( w = (/) -> w = (/) )
2		difeq2 3193	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( A \ w ) = ( A \ (/) ) )
3	1, 2	uneq12d 3236	. . 3 |- ( w = (/) -> ( w u. ( A \ w ) ) = ( (/) u. ( A \ (/) ) ) )
4	3	eqeq2d 2152	. 2 |- ( w = (/) -> ( A = ( w u. ( A \ w ) ) <-> A = ( (/) u. ( A \ (/) ) ) ) )
5		id 19	. . . 4 |- ( w = v -> w = v )
6		difeq2 3193	. . . 4 |- ( w = v -> ( A \ w ) = ( A \ v ) )
7	5, 6	uneq12d 3236	. . 3 |- ( w = v -> ( w u. ( A \ w ) ) = ( v u. ( A \ v ) ) )
8	7	eqeq2d 2152	. 2 |- ( w = v -> ( A = ( w u. ( A \ w ) ) <-> A = ( v u. ( A \ v ) ) ) )
9		id 19	. . . 4 |- ( w = ( v u. { z } ) -> w = ( v u. { z } ) )
10		difeq2 3193	. . . 4 |- ( w = ( v u. { z } ) -> ( A \ w ) = ( A \ ( v u. { z } ) ) )
11	9, 10	uneq12d 3236	. . 3 |- ( w = ( v u. { z } ) -> ( w u. ( A \ w ) ) = ( ( v u. { z } ) u. ( A \ ( v u. { z } ) ) ) )
12	11	eqeq2d 2152	. 2 |- ( w = ( v u. { z } ) -> ( A = ( w u. ( A \ w ) ) <-> A = ( ( v u. { z } ) u. ( A \ ( v u. { z } ) ) ) ) )
13		id 19	. . . 4 |- ( w = B -> w = B )
14		difeq2 3193	. . . 4 |- ( w = B -> ( A \ w ) = ( A \ B ) )
15	13, 14	uneq12d 3236	. . 3 |- ( w = B -> ( w u. ( A \ w ) ) = ( B u. ( A \ B ) ) )
16	15	eqeq2d 2152	. 2 |- ( w = B -> ( A = ( w u. ( A \ w ) ) <-> A = ( B u. ( A \ B ) ) ) )
17		un0 3401	. . . 4 |- ( ( A \ (/) ) u. (/) ) = ( A \ (/) )
18		uncom 3225	. . . 4 |- ( ( A \ (/) ) u. (/) ) = ( (/) u. ( A \ (/) ) )
19		dif0 3438	. . . 4 |- ( A \ (/) ) = A
20	17, 18, 19	3eqtr3ri 2170	. . 3 |- A = ( (/) u. ( A \ (/) ) )
21	20	a1i 9	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> A = ( (/) u. ( A \ (/) ) ) )
22		difundi 3333	. . . . . . 7 |- ( A \ ( v u. { z } ) ) = ( ( A \ v ) i^i ( A \ { z } ) )
23	22	uneq2i 3232	. . . . . 6 |- ( ( v u. { z } ) u. ( A \ ( v u. { z } ) ) ) = ( ( v u. { z } ) u. ( ( A \ v ) i^i ( A \ { z } ) ) )
24		undi 3329	. . . . . 6 |- ( ( v u. { z } ) u. ( ( A \ v ) i^i ( A \ { z } ) ) ) = ( ( ( v u. { z } ) u. ( A \ v ) ) i^i ( ( v u. { z } ) u. ( A \ { z } ) ) )
25	23, 24	eqtri 2161	. . . . 5 |- ( ( v u. { z } ) u. ( A \ ( v u. { z } ) ) ) = ( ( ( v u. { z } ) u. ( A \ v ) ) i^i ( ( v u. { z } ) u. ( A \ { z } ) ) )
26		uncom 3225	. . . . . . . . 9 |- ( v u. { z } ) = ( { z } u. v )
27	26	uneq1i 3231	. . . . . . . 8 |- ( ( v u. { z } ) u. ( A \ v ) ) = ( ( { z } u. v ) u. ( A \ v ) )
28		unass 3238	. . . . . . . 8 |- ( ( { z } u. v ) u. ( A \ v ) ) = ( { z } u. ( v u. ( A \ v ) ) )
29	27, 28	eqtri 2161	. . . . . . 7 |- ( ( v u. { z } ) u. ( A \ v ) ) = ( { z } u. ( v u. ( A \ v ) ) )
30		simp3 984	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> B C_ A )
31	30	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> B C_ A )
32		simplrr 526	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> z e. ( B \ v ) )
33	32	eldifad 3087	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> z e. B )
34	31, 33	sseldd 3103	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> z e. A )
35	34	snssd 3673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> { z } C_ A )
36		ssequn1 3251	. . . . . . . . 9 |- ( { z } C_ A <-> ( { z } u. A ) = A )
37	35, 36	sylib 121	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( { z } u. A ) = A )
38		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> A = ( v u. ( A \ v ) ) )
39	38	uneq2d 3235	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( { z } u. A ) = ( { z } u. ( v u. ( A \ v ) ) ) )
40	37, 39	eqtr3d 2175	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> A = ( { z } u. ( v u. ( A \ v ) ) ) )
41	29, 40	eqtr4id 2192	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( ( v u. { z } ) u. ( A \ v ) ) = A )
42		unass 3238	. . . . . . . 8 |- ( ( v u. { z } ) u. ( A \ { z } ) ) = ( v u. ( { z } u. ( A \ { z } ) ) )
43		uncom 3225	. . . . . . . . . 10 |- ( { z } u. ( A \ { z } ) ) = ( ( A \ { z } ) u. { z } )
44		simp1 982	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
45	44	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
46		dcdifsnid 6408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ z e. A ) -> ( ( A \ { z } ) u. { z } ) = A )
47	45, 34, 46	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( ( A \ { z } ) u. { z } ) = A )
48	43, 47	syl5eq 2185	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( { z } u. ( A \ { z } ) ) = A )
49	48	uneq2d 3235	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( v u. ( { z } u. ( A \ { z } ) ) ) = ( v u. A ) )
50	42, 49	syl5eq 2185	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( ( v u. { z } ) u. ( A \ { z } ) ) = ( v u. A ) )
51		simplrl 525	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> v C_ B )
52	51, 31	sstrd 3112	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> v C_ A )
53		ssequn1 3251	. . . . . . . 8 |- ( v C_ A <-> ( v u. A ) = A )
54	52, 53	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( v u. A ) = A )
55	50, 54	eqtrd 2173	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( ( v u. { z } ) u. ( A \ { z } ) ) = A )
56	41, 55	ineq12d 3283	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( ( ( v u. { z } ) u. ( A \ v ) ) i^i ( ( v u. { z } ) u. ( A \ { z } ) ) ) = ( A i^i A ) )
57	25, 56	syl5eq 2185	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( ( v u. { z } ) u. ( A \ ( v u. { z } ) ) ) = ( A i^i A ) )
58		inidm 3290	. . . 4 |- ( A i^i A ) = A
59	57, 58	eqtr2di 2190	. . 3 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> A = ( ( v u. { z } ) u. ( A \ ( v u. { z } ) ) ) )
60	59	ex 114	. 2 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) -> ( A = ( v u. ( A \ v ) ) -> A = ( ( v u. { z } ) u. ( A \ ( v u. { z } ) ) ) ) )
61		simp2 983	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> B e. Fin )
62	4, 8, 12, 16, 21, 60, 61	findcard2sd 6794	1 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> A = ( B u. ( A \ B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 820   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   \ cdif 3073   u. cun 3074   i^i cin 3075   C_ wss 3076   (/)c0 3368   {csn 3532   Fincfn 6642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-er 6437  df-en 6643  df-fin 6645

This theorem is referenced by:  undiffi  6821