Theorem undifdc 7021

Description: Union of complementary parts into whole. This is a case where we can strengthen undifss 3541 from subset to equality. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
undifdc	|- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> A = ( B u. ( A \ B ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   y, B

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem undifdc

Dummy variables v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 |- ( w = (/) -> w = (/) )
2		difeq2 3285	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( A \ w ) = ( A \ (/) ) )
3	1, 2	uneq12d 3328	. . 3 |- ( w = (/) -> ( w u. ( A \ w ) ) = ( (/) u. ( A \ (/) ) ) )
4	3	eqeq2d 2217	. 2 |- ( w = (/) -> ( A = ( w u. ( A \ w ) ) <-> A = ( (/) u. ( A \ (/) ) ) ) )
5		id 19	. . . 4 |- ( w = v -> w = v )
6		difeq2 3285	. . . 4 |- ( w = v -> ( A \ w ) = ( A \ v ) )
7	5, 6	uneq12d 3328	. . 3 |- ( w = v -> ( w u. ( A \ w ) ) = ( v u. ( A \ v ) ) )
8	7	eqeq2d 2217	. 2 |- ( w = v -> ( A = ( w u. ( A \ w ) ) <-> A = ( v u. ( A \ v ) ) ) )
9		id 19	. . . 4 |- ( w = ( v u. { z } ) -> w = ( v u. { z } ) )
10		difeq2 3285	. . . 4 |- ( w = ( v u. { z } ) -> ( A \ w ) = ( A \ ( v u. { z } ) ) )
11	9, 10	uneq12d 3328	. . 3 |- ( w = ( v u. { z } ) -> ( w u. ( A \ w ) ) = ( ( v u. { z } ) u. ( A \ ( v u. { z } ) ) ) )
12	11	eqeq2d 2217	. 2 |- ( w = ( v u. { z } ) -> ( A = ( w u. ( A \ w ) ) <-> A = ( ( v u. { z } ) u. ( A \ ( v u. { z } ) ) ) ) )
13		id 19	. . . 4 |- ( w = B -> w = B )
14		difeq2 3285	. . . 4 |- ( w = B -> ( A \ w ) = ( A \ B ) )
15	13, 14	uneq12d 3328	. . 3 |- ( w = B -> ( w u. ( A \ w ) ) = ( B u. ( A \ B ) ) )
16	15	eqeq2d 2217	. 2 |- ( w = B -> ( A = ( w u. ( A \ w ) ) <-> A = ( B u. ( A \ B ) ) ) )
17		un0 3494	. . . 4 |- ( ( A \ (/) ) u. (/) ) = ( A \ (/) )
18		uncom 3317	. . . 4 |- ( ( A \ (/) ) u. (/) ) = ( (/) u. ( A \ (/) ) )
19		dif0 3531	. . . 4 |- ( A \ (/) ) = A
20	17, 18, 19	3eqtr3ri 2235	. . 3 |- A = ( (/) u. ( A \ (/) ) )
21	20	a1i 9	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> A = ( (/) u. ( A \ (/) ) ) )
22		difundi 3425	. . . . . . 7 |- ( A \ ( v u. { z } ) ) = ( ( A \ v ) i^i ( A \ { z } ) )
23	22	uneq2i 3324	. . . . . 6 |- ( ( v u. { z } ) u. ( A \ ( v u. { z } ) ) ) = ( ( v u. { z } ) u. ( ( A \ v ) i^i ( A \ { z } ) ) )
24		undi 3421	. . . . . 6 |- ( ( v u. { z } ) u. ( ( A \ v ) i^i ( A \ { z } ) ) ) = ( ( ( v u. { z } ) u. ( A \ v ) ) i^i ( ( v u. { z } ) u. ( A \ { z } ) ) )
25	23, 24	eqtri 2226	. . . . 5 |- ( ( v u. { z } ) u. ( A \ ( v u. { z } ) ) ) = ( ( ( v u. { z } ) u. ( A \ v ) ) i^i ( ( v u. { z } ) u. ( A \ { z } ) ) )
26		uncom 3317	. . . . . . . . 9 |- ( v u. { z } ) = ( { z } u. v )
27	26	uneq1i 3323	. . . . . . . 8 |- ( ( v u. { z } ) u. ( A \ v ) ) = ( ( { z } u. v ) u. ( A \ v ) )
28		unass 3330	. . . . . . . 8 |- ( ( { z } u. v ) u. ( A \ v ) ) = ( { z } u. ( v u. ( A \ v ) ) )
29	27, 28	eqtri 2226	. . . . . . 7 |- ( ( v u. { z } ) u. ( A \ v ) ) = ( { z } u. ( v u. ( A \ v ) ) )
30		simp3 1002	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> B C_ A )
31	30	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> B C_ A )
32		simplrr 536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> z e. ( B \ v ) )
33	32	eldifad 3177	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> z e. B )
34	31, 33	sseldd 3194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> z e. A )
35	34	snssd 3778	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> { z } C_ A )
36		ssequn1 3343	. . . . . . . . 9 |- ( { z } C_ A <-> ( { z } u. A ) = A )
37	35, 36	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( { z } u. A ) = A )
38		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> A = ( v u. ( A \ v ) ) )
39	38	uneq2d 3327	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( { z } u. A ) = ( { z } u. ( v u. ( A \ v ) ) ) )
40	37, 39	eqtr3d 2240	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> A = ( { z } u. ( v u. ( A \ v ) ) ) )
41	29, 40	eqtr4id 2257	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( ( v u. { z } ) u. ( A \ v ) ) = A )
42		unass 3330	. . . . . . . 8 |- ( ( v u. { z } ) u. ( A \ { z } ) ) = ( v u. ( { z } u. ( A \ { z } ) ) )
43		uncom 3317	. . . . . . . . . 10 |- ( { z } u. ( A \ { z } ) ) = ( ( A \ { z } ) u. { z } )
44		simp1 1000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
45	44	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
46		dcdifsnid 6590	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ z e. A ) -> ( ( A \ { z } ) u. { z } ) = A )
47	45, 34, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( ( A \ { z } ) u. { z } ) = A )
48	43, 47	eqtrid 2250	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( { z } u. ( A \ { z } ) ) = A )
49	48	uneq2d 3327	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( v u. ( { z } u. ( A \ { z } ) ) ) = ( v u. A ) )
50	42, 49	eqtrid 2250	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( ( v u. { z } ) u. ( A \ { z } ) ) = ( v u. A ) )
51		simplrl 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> v C_ B )
52	51, 31	sstrd 3203	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> v C_ A )
53		ssequn1 3343	. . . . . . . 8 |- ( v C_ A <-> ( v u. A ) = A )
54	52, 53	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( v u. A ) = A )
55	50, 54	eqtrd 2238	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( ( v u. { z } ) u. ( A \ { z } ) ) = A )
56	41, 55	ineq12d 3375	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( ( ( v u. { z } ) u. ( A \ v ) ) i^i ( ( v u. { z } ) u. ( A \ { z } ) ) ) = ( A i^i A ) )
57	25, 56	eqtrid 2250	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( ( v u. { z } ) u. ( A \ ( v u. { z } ) ) ) = ( A i^i A ) )
58		inidm 3382	. . . 4 |- ( A i^i A ) = A
59	57, 58	eqtr2di 2255	. . 3 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> A = ( ( v u. { z } ) u. ( A \ ( v u. { z } ) ) ) )
60	59	ex 115	. 2 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) -> ( A = ( v u. ( A \ v ) ) -> A = ( ( v u. { z } ) u. ( A \ ( v u. { z } ) ) ) ) )
61		simp2 1001	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> B e. Fin )
62	4, 8, 12, 16, 21, 60, 61	findcard2sd 6989	1 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> A = ( B u. ( A \ B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 836   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   \ cdif 3163   u. cun 3164   i^i cin 3165   C_ wss 3166   (/)c0 3460   {csn 3633   Fincfn 6827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-er 6620  df-en 6828  df-fin 6830

This theorem is referenced by:  undiffi  7022