Theorem undifdc 6901

Description: Union of complementary parts into whole. This is a case where we can strengthen undifss 3495 from subset to equality. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
undifdc	|- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> A = ( B u. ( A \ B ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   y, B

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem undifdc

Dummy variables v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 |- ( w = (/) -> w = (/) )
2		difeq2 3239	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( A \ w ) = ( A \ (/) ) )
3	1, 2	uneq12d 3282	. . 3 |- ( w = (/) -> ( w u. ( A \ w ) ) = ( (/) u. ( A \ (/) ) ) )
4	3	eqeq2d 2182	. 2 |- ( w = (/) -> ( A = ( w u. ( A \ w ) ) <-> A = ( (/) u. ( A \ (/) ) ) ) )
5		id 19	. . . 4 |- ( w = v -> w = v )
6		difeq2 3239	. . . 4 |- ( w = v -> ( A \ w ) = ( A \ v ) )
7	5, 6	uneq12d 3282	. . 3 |- ( w = v -> ( w u. ( A \ w ) ) = ( v u. ( A \ v ) ) )
8	7	eqeq2d 2182	. 2 |- ( w = v -> ( A = ( w u. ( A \ w ) ) <-> A = ( v u. ( A \ v ) ) ) )
9		id 19	. . . 4 |- ( w = ( v u. { z } ) -> w = ( v u. { z } ) )
10		difeq2 3239	. . . 4 |- ( w = ( v u. { z } ) -> ( A \ w ) = ( A \ ( v u. { z } ) ) )
11	9, 10	uneq12d 3282	. . 3 |- ( w = ( v u. { z } ) -> ( w u. ( A \ w ) ) = ( ( v u. { z } ) u. ( A \ ( v u. { z } ) ) ) )
12	11	eqeq2d 2182	. 2 |- ( w = ( v u. { z } ) -> ( A = ( w u. ( A \ w ) ) <-> A = ( ( v u. { z } ) u. ( A \ ( v u. { z } ) ) ) ) )
13		id 19	. . . 4 |- ( w = B -> w = B )
14		difeq2 3239	. . . 4 |- ( w = B -> ( A \ w ) = ( A \ B ) )
15	13, 14	uneq12d 3282	. . 3 |- ( w = B -> ( w u. ( A \ w ) ) = ( B u. ( A \ B ) ) )
16	15	eqeq2d 2182	. 2 |- ( w = B -> ( A = ( w u. ( A \ w ) ) <-> A = ( B u. ( A \ B ) ) ) )
17		un0 3448	. . . 4 |- ( ( A \ (/) ) u. (/) ) = ( A \ (/) )
18		uncom 3271	. . . 4 |- ( ( A \ (/) ) u. (/) ) = ( (/) u. ( A \ (/) ) )
19		dif0 3485	. . . 4 |- ( A \ (/) ) = A
20	17, 18, 19	3eqtr3ri 2200	. . 3 |- A = ( (/) u. ( A \ (/) ) )
21	20	a1i 9	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> A = ( (/) u. ( A \ (/) ) ) )
22		difundi 3379	. . . . . . 7 |- ( A \ ( v u. { z } ) ) = ( ( A \ v ) i^i ( A \ { z } ) )
23	22	uneq2i 3278	. . . . . 6 |- ( ( v u. { z } ) u. ( A \ ( v u. { z } ) ) ) = ( ( v u. { z } ) u. ( ( A \ v ) i^i ( A \ { z } ) ) )
24		undi 3375	. . . . . 6 |- ( ( v u. { z } ) u. ( ( A \ v ) i^i ( A \ { z } ) ) ) = ( ( ( v u. { z } ) u. ( A \ v ) ) i^i ( ( v u. { z } ) u. ( A \ { z } ) ) )
25	23, 24	eqtri 2191	. . . . 5 |- ( ( v u. { z } ) u. ( A \ ( v u. { z } ) ) ) = ( ( ( v u. { z } ) u. ( A \ v ) ) i^i ( ( v u. { z } ) u. ( A \ { z } ) ) )
26		uncom 3271	. . . . . . . . 9 |- ( v u. { z } ) = ( { z } u. v )
27	26	uneq1i 3277	. . . . . . . 8 |- ( ( v u. { z } ) u. ( A \ v ) ) = ( ( { z } u. v ) u. ( A \ v ) )
28		unass 3284	. . . . . . . 8 |- ( ( { z } u. v ) u. ( A \ v ) ) = ( { z } u. ( v u. ( A \ v ) ) )
29	27, 28	eqtri 2191	. . . . . . 7 |- ( ( v u. { z } ) u. ( A \ v ) ) = ( { z } u. ( v u. ( A \ v ) ) )
30		simp3 994	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> B C_ A )
31	30	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> B C_ A )
32		simplrr 531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> z e. ( B \ v ) )
33	32	eldifad 3132	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> z e. B )
34	31, 33	sseldd 3148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> z e. A )
35	34	snssd 3725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> { z } C_ A )
36		ssequn1 3297	. . . . . . . . 9 |- ( { z } C_ A <-> ( { z } u. A ) = A )
37	35, 36	sylib 121	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( { z } u. A ) = A )
38		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> A = ( v u. ( A \ v ) ) )
39	38	uneq2d 3281	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( { z } u. A ) = ( { z } u. ( v u. ( A \ v ) ) ) )
40	37, 39	eqtr3d 2205	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> A = ( { z } u. ( v u. ( A \ v ) ) ) )
41	29, 40	eqtr4id 2222	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( ( v u. { z } ) u. ( A \ v ) ) = A )
42		unass 3284	. . . . . . . 8 |- ( ( v u. { z } ) u. ( A \ { z } ) ) = ( v u. ( { z } u. ( A \ { z } ) ) )
43		uncom 3271	. . . . . . . . . 10 |- ( { z } u. ( A \ { z } ) ) = ( ( A \ { z } ) u. { z } )
44		simp1 992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
45	44	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
46		dcdifsnid 6483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ z e. A ) -> ( ( A \ { z } ) u. { z } ) = A )
47	45, 34, 46	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( ( A \ { z } ) u. { z } ) = A )
48	43, 47	eqtrid 2215	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( { z } u. ( A \ { z } ) ) = A )
49	48	uneq2d 3281	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( v u. ( { z } u. ( A \ { z } ) ) ) = ( v u. A ) )
50	42, 49	eqtrid 2215	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( ( v u. { z } ) u. ( A \ { z } ) ) = ( v u. A ) )
51		simplrl 530	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> v C_ B )
52	51, 31	sstrd 3157	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> v C_ A )
53		ssequn1 3297	. . . . . . . 8 |- ( v C_ A <-> ( v u. A ) = A )
54	52, 53	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( v u. A ) = A )
55	50, 54	eqtrd 2203	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( ( v u. { z } ) u. ( A \ { z } ) ) = A )
56	41, 55	ineq12d 3329	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( ( ( v u. { z } ) u. ( A \ v ) ) i^i ( ( v u. { z } ) u. ( A \ { z } ) ) ) = ( A i^i A ) )
57	25, 56	eqtrid 2215	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> ( ( v u. { z } ) u. ( A \ ( v u. { z } ) ) ) = ( A i^i A ) )
58		inidm 3336	. . . 4 |- ( A i^i A ) = A
59	57, 58	eqtr2di 2220	. . 3 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) /\ A = ( v u. ( A \ v ) ) ) -> A = ( ( v u. { z } ) u. ( A \ ( v u. { z } ) ) ) )
60	59	ex 114	. 2 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) /\ v e. Fin ) /\ ( v C_ B /\ z e. ( B \ v ) ) ) -> ( A = ( v u. ( A \ v ) ) -> A = ( ( v u. { z } ) u. ( A \ ( v u. { z } ) ) ) ) )
61		simp2 993	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> B e. Fin )
62	4, 8, 12, 16, 21, 60, 61	findcard2sd 6870	1 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> A = ( B u. ( A \ B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 829   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   \ cdif 3118   u. cun 3119   i^i cin 3120   C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   Fincfn 6718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-er 6513  df-en 6719  df-fin 6721

This theorem is referenced by:  undiffi  6902