Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  undifdc Unicode version

Theorem undifdc 6861
 Description: Union of complementary parts into whole. This is a case where we can strengthen undifss 3474 from subset to equality. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
undifdc DECID
Distinct variable groups:   ,,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem undifdc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . 4
2 difeq2 3219 . . . 4
31, 2uneq12d 3262 . . 3
43eqeq2d 2169 . 2
5 id 19 . . . 4
6 difeq2 3219 . . . 4
75, 6uneq12d 3262 . . 3
87eqeq2d 2169 . 2
9 id 19 . . . 4
10 difeq2 3219 . . . 4
119, 10uneq12d 3262 . . 3
1211eqeq2d 2169 . 2
13 id 19 . . . 4
14 difeq2 3219 . . . 4
1513, 14uneq12d 3262 . . 3
1615eqeq2d 2169 . 2
17 un0 3427 . . . 4
18 uncom 3251 . . . 4
19 dif0 3464 . . . 4
2017, 18, 193eqtr3ri 2187 . . 3
2120a1i 9 . 2 DECID
22 difundi 3359 . . . . . . 7
2322uneq2i 3258 . . . . . 6
24 undi 3355 . . . . . 6
2523, 24eqtri 2178 . . . . 5
26 uncom 3251 . . . . . . . . 9
2726uneq1i 3257 . . . . . . . 8
28 unass 3264 . . . . . . . 8
2927, 28eqtri 2178 . . . . . . 7
30 simp3 984 . . . . . . . . . . . 12 DECID
3130ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . 11 DECID
32 simplrr 526 . . . . . . . . . . . 12 DECID
3332eldifad 3113 . . . . . . . . . . 11 DECID
3431, 33sseldd 3129 . . . . . . . . . 10 DECID
3534snssd 3701 . . . . . . . . 9 DECID
36 ssequn1 3277 . . . . . . . . 9
3735, 36sylib 121 . . . . . . . 8 DECID
38 simpr 109 . . . . . . . . 9 DECID
3938uneq2d 3261 . . . . . . . 8 DECID
4037, 39eqtr3d 2192 . . . . . . 7 DECID
4129, 40eqtr4id 2209 . . . . . 6 DECID
42 unass 3264 . . . . . . . 8
43 uncom 3251 . . . . . . . . . 10
44 simp1 982 . . . . . . . . . . . 12 DECID DECID
4544ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . 11 DECID DECID
46 dcdifsnid 6444 . . . . . . . . . . 11 DECID
4745, 34, 46syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 DECID
4843, 47syl5eq 2202 . . . . . . . . 9 DECID
4948uneq2d 3261 . . . . . . . 8 DECID
5042, 49syl5eq 2202 . . . . . . 7 DECID
51 simplrl 525 . . . . . . . . 9 DECID
5251, 31sstrd 3138 . . . . . . . 8 DECID
53 ssequn1 3277 . . . . . . . 8
5452, 53sylib 121 . . . . . . 7 DECID
5550, 54eqtrd 2190 . . . . . 6 DECID
5641, 55ineq12d 3309 . . . . 5 DECID
5725, 56syl5eq 2202 . . . 4 DECID
58 inidm 3316 . . . 4
5957, 58eqtr2di 2207 . . 3 DECID
6059ex 114 . 2 DECID
61 simp2 983 . 2 DECID
624, 8, 12, 16, 21, 60, 61findcard2sd 6830 1 DECID
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103  DECID wdc 820   w3a 963   wceq 1335   wcel 2128  wral 2435   cdif 3099   cun 3100   cin 3101   wss 3102  c0 3394  csn 3560  cfn 6678 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-iord 4325  df-on 4327  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-er 6473  df-en 6679  df-fin 6681 This theorem is referenced by:  undiffi  6862
 Copyright terms: Public domain W3C validator