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Theorem undifdc 6953
Description: Union of complementary parts into whole. This is a case where we can strengthen undifss 3518 from subset to equality. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
undifdc  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e. 
Fin  /\  B  C_  A
)  ->  A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y   
y, B
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem undifdc
Dummy variables  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  w  =  (/) )
2 difeq2 3262 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A 
\  w )  =  ( A  \  (/) ) )
31, 2uneq12d 3305 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w  u.  ( A  \  w ) )  =  ( (/)  u.  ( A  \  (/) ) ) )
43eqeq2d 2201 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A  =  ( w  u.  ( A  \  w
) )  <->  A  =  ( (/)  u.  ( A 
\  (/) ) ) ) )
5 id 19 . . . 4  |-  ( w  =  v  ->  w  =  v )
6 difeq2 3262 . . . 4  |-  ( w  =  v  ->  ( A  \  w )  =  ( A  \  v
) )
75, 6uneq12d 3305 . . 3  |-  ( w  =  v  ->  (
w  u.  ( A 
\  w ) )  =  ( v  u.  ( A  \  v
) ) )
87eqeq2d 2201 . 2  |-  ( w  =  v  ->  ( A  =  ( w  u.  ( A  \  w
) )  <->  A  =  ( v  u.  ( A  \  v ) ) ) )
9 id 19 . . . 4  |-  ( w  =  ( v  u. 
{ z } )  ->  w  =  ( v  u.  { z } ) )
10 difeq2 3262 . . . 4  |-  ( w  =  ( v  u. 
{ z } )  ->  ( A  \  w )  =  ( A  \  ( v  u.  { z } ) ) )
119, 10uneq12d 3305 . . 3  |-  ( w  =  ( v  u. 
{ z } )  ->  ( w  u.  ( A  \  w
) )  =  ( ( v  u.  {
z } )  u.  ( A  \  (
v  u.  { z } ) ) ) )
1211eqeq2d 2201 . 2  |-  ( w  =  ( v  u. 
{ z } )  ->  ( A  =  ( w  u.  ( A  \  w ) )  <-> 
A  =  ( ( v  u.  { z } )  u.  ( A  \  ( v  u. 
{ z } ) ) ) ) )
13 id 19 . . . 4  |-  ( w  =  B  ->  w  =  B )
14 difeq2 3262 . . . 4  |-  ( w  =  B  ->  ( A  \  w )  =  ( A  \  B
) )
1513, 14uneq12d 3305 . . 3  |-  ( w  =  B  ->  (
w  u.  ( A 
\  w ) )  =  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
1615eqeq2d 2201 . 2  |-  ( w  =  B  ->  ( A  =  ( w  u.  ( A  \  w
) )  <->  A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) ) ) )
17 un0 3471 . . . 4  |-  ( ( A  \  (/) )  u.  (/) )  =  ( A  \  (/) )
18 uncom 3294 . . . 4  |-  ( ( A  \  (/) )  u.  (/) )  =  ( (/) 
u.  ( A  \  (/) ) )
19 dif0 3508 . . . 4  |-  ( A 
\  (/) )  =  A
2017, 18, 193eqtr3ri 2219 . . 3  |-  A  =  ( (/)  u.  ( A  \  (/) ) )
2120a1i 9 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e. 
Fin  /\  B  C_  A
)  ->  A  =  ( (/)  u.  ( A 
\  (/) ) ) )
22 difundi 3402 . . . . . . 7  |-  ( A 
\  ( v  u. 
{ z } ) )  =  ( ( A  \  v )  i^i  ( A  \  { z } ) )
2322uneq2i 3301 . . . . . 6  |-  ( ( v  u.  { z } )  u.  ( A  \  ( v  u. 
{ z } ) ) )  =  ( ( v  u.  {
z } )  u.  ( ( A  \ 
v )  i^i  ( A  \  { z } ) ) )
24 undi 3398 . . . . . 6  |-  ( ( v  u.  { z } )  u.  (
( A  \  v
)  i^i  ( A  \  { z } ) ) )  =  ( ( ( v  u. 
{ z } )  u.  ( A  \ 
v ) )  i^i  ( ( v  u. 
{ z } )  u.  ( A  \  { z } ) ) )
2523, 24eqtri 2210 . . . . 5  |-  ( ( v  u.  { z } )  u.  ( A  \  ( v  u. 
{ z } ) ) )  =  ( ( ( v  u. 
{ z } )  u.  ( A  \ 
v ) )  i^i  ( ( v  u. 
{ z } )  u.  ( A  \  { z } ) ) )
26 uncom 3294 . . . . . . . . 9  |-  ( v  u.  { z } )  =  ( { z }  u.  v
)
2726uneq1i 3300 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  u.  { z } )  u.  ( A  \  v ) )  =  ( ( { z }  u.  v
)  u.  ( A 
\  v ) )
28 unass 3307 . . . . . . . 8  |-  ( ( { z }  u.  v )  u.  ( A  \  v ) )  =  ( { z }  u.  ( v  u.  ( A  \ 
v ) ) )
2927, 28eqtri 2210 . . . . . . 7  |-  ( ( v  u.  { z } )  u.  ( A  \  v ) )  =  ( { z }  u.  ( v  u.  ( A  \ 
v ) ) )
30 simp3 1001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e. 
Fin  /\  B  C_  A
)  ->  B  C_  A
)
3130ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  /\  v  e.  Fin )  /\  ( v  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  v ) ) )  /\  A  =  ( v  u.  ( A  \  v
) ) )  ->  B  C_  A )
32 simplrr 536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  /\  v  e.  Fin )  /\  ( v  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  v ) ) )  /\  A  =  ( v  u.  ( A  \  v
) ) )  -> 
z  e.  ( B 
\  v ) )
3332eldifad 3155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  /\  v  e.  Fin )  /\  ( v  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  v ) ) )  /\  A  =  ( v  u.  ( A  \  v
) ) )  -> 
z  e.  B )
3431, 33sseldd 3171 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  /\  v  e.  Fin )  /\  ( v  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  v ) ) )  /\  A  =  ( v  u.  ( A  \  v
) ) )  -> 
z  e.  A )
3534snssd 3752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  /\  v  e.  Fin )  /\  ( v  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  v ) ) )  /\  A  =  ( v  u.  ( A  \  v
) ) )  ->  { z }  C_  A )
36 ssequn1 3320 . . . . . . . . 9  |-  ( { z }  C_  A  <->  ( { z }  u.  A )  =  A )
3735, 36sylib 122 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  /\  v  e.  Fin )  /\  ( v  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  v ) ) )  /\  A  =  ( v  u.  ( A  \  v
) ) )  -> 
( { z }  u.  A )  =  A )
38 simpr 110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  /\  v  e.  Fin )  /\  ( v  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  v ) ) )  /\  A  =  ( v  u.  ( A  \  v
) ) )  ->  A  =  ( v  u.  ( A  \  v
) ) )
3938uneq2d 3304 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  /\  v  e.  Fin )  /\  ( v  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  v ) ) )  /\  A  =  ( v  u.  ( A  \  v
) ) )  -> 
( { z }  u.  A )  =  ( { z }  u.  ( v  u.  ( A  \  v
) ) ) )
4037, 39eqtr3d 2224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  /\  v  e.  Fin )  /\  ( v  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  v ) ) )  /\  A  =  ( v  u.  ( A  \  v
) ) )  ->  A  =  ( {
z }  u.  (
v  u.  ( A 
\  v ) ) ) )
4129, 40eqtr4id 2241 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  /\  v  e.  Fin )  /\  ( v  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  v ) ) )  /\  A  =  ( v  u.  ( A  \  v
) ) )  -> 
( ( v  u. 
{ z } )  u.  ( A  \ 
v ) )  =  A )
42 unass 3307 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  u.  { z } )  u.  ( A  \  { z } ) )  =  ( v  u.  ( { z }  u.  ( A  \  { z } ) ) )
43 uncom 3294 . . . . . . . . . 10  |-  ( { z }  u.  ( A  \  { z } ) )  =  ( ( A  \  {
z } )  u. 
{ z } )
44 simp1 999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e. 
Fin  /\  B  C_  A
)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
4544ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  /\  v  e.  Fin )  /\  ( v  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  v ) ) )  /\  A  =  ( v  u.  ( A  \  v
) ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
46 dcdifsnid 6530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  z  e.  A )  ->  (
( A  \  {
z } )  u. 
{ z } )  =  A )
4745, 34, 46syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  /\  v  e.  Fin )  /\  ( v  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  v ) ) )  /\  A  =  ( v  u.  ( A  \  v
) ) )  -> 
( ( A  \  { z } )  u.  { z } )  =  A )
4843, 47eqtrid 2234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  /\  v  e.  Fin )  /\  ( v  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  v ) ) )  /\  A  =  ( v  u.  ( A  \  v
) ) )  -> 
( { z }  u.  ( A  \  { z } ) )  =  A )
4948uneq2d 3304 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  /\  v  e.  Fin )  /\  ( v  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  v ) ) )  /\  A  =  ( v  u.  ( A  \  v
) ) )  -> 
( v  u.  ( { z }  u.  ( A  \  { z } ) ) )  =  ( v  u.  A ) )
5042, 49eqtrid 2234 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  /\  v  e.  Fin )  /\  ( v  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  v ) ) )  /\  A  =  ( v  u.  ( A  \  v
) ) )  -> 
( ( v  u. 
{ z } )  u.  ( A  \  { z } ) )  =  ( v  u.  A ) )
51 simplrl 535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  /\  v  e.  Fin )  /\  ( v  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  v ) ) )  /\  A  =  ( v  u.  ( A  \  v
) ) )  -> 
v  C_  B )
5251, 31sstrd 3180 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  /\  v  e.  Fin )  /\  ( v  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  v ) ) )  /\  A  =  ( v  u.  ( A  \  v
) ) )  -> 
v  C_  A )
53 ssequn1 3320 . . . . . . . 8  |-  ( v 
C_  A  <->  ( v  u.  A )  =  A )
5452, 53sylib 122 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  /\  v  e.  Fin )  /\  ( v  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  v ) ) )  /\  A  =  ( v  u.  ( A  \  v
) ) )  -> 
( v  u.  A
)  =  A )
5550, 54eqtrd 2222 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  /\  v  e.  Fin )  /\  ( v  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  v ) ) )  /\  A  =  ( v  u.  ( A  \  v
) ) )  -> 
( ( v  u. 
{ z } )  u.  ( A  \  { z } ) )  =  A )
5641, 55ineq12d 3352 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  /\  v  e.  Fin )  /\  ( v  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  v ) ) )  /\  A  =  ( v  u.  ( A  \  v
) ) )  -> 
( ( ( v  u.  { z } )  u.  ( A 
\  v ) )  i^i  ( ( v  u.  { z } )  u.  ( A 
\  { z } ) ) )  =  ( A  i^i  A
) )
5725, 56eqtrid 2234 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  /\  v  e.  Fin )  /\  ( v  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  v ) ) )  /\  A  =  ( v  u.  ( A  \  v
) ) )  -> 
( ( v  u. 
{ z } )  u.  ( A  \ 
( v  u.  {
z } ) ) )  =  ( A  i^i  A ) )
58 inidm 3359 . . . 4  |-  ( A  i^i  A )  =  A
5957, 58eqtr2di 2239 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  /\  v  e.  Fin )  /\  ( v  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  v ) ) )  /\  A  =  ( v  u.  ( A  \  v
) ) )  ->  A  =  ( (
v  u.  { z } )  u.  ( A  \  ( v  u. 
{ z } ) ) ) )
6059ex 115 . 2  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  /\  v  e.  Fin )  /\  ( v  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  v ) ) )  ->  ( A  =  ( v  u.  ( A  \  v
) )  ->  A  =  ( ( v  u.  { z } )  u.  ( A 
\  ( v  u. 
{ z } ) ) ) ) )
61 simp2 1000 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e. 
Fin  /\  B  C_  A
)  ->  B  e.  Fin )
624, 8, 12, 16, 21, 60, 61findcard2sd 6921 1  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e. 
Fin  /\  B  C_  A
)  ->  A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104  DECID wdc 835    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   A.wral 2468    \ cdif 3141    u. cun 3142    i^i cin 3143    C_ wss 3144   (/)c0 3437   {csn 3607   Fincfn 6767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-er 6560  df-en 6768  df-fin 6770
This theorem is referenced by:  undiffi  6954
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