Theorem dmopabss 4823

Description: Upper bound for the domain of a restricted class of ordered pairs. (Contributed by NM, 31-Jan-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmopabss	|- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } C_ A

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem dmopabss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmopab 4822	. 2 |- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = { x | E. y ( x e. A /\ ph ) }
2		19.42v 1899	. . . 4 |- ( E. y ( x e. A /\ ph ) <-> ( x e. A /\ E. y ph ) )
3	2	abbii 2286	. . 3 |- { x | E. y ( x e. A /\ ph ) } = { x | ( x e. A /\ E. y ph ) }
4		ssab2 3231	. . 3 |- { x | ( x e. A /\ E. y ph ) } C_ A
5	3, 4	eqsstri 3179	. 2 |- { x | E. y ( x e. A /\ ph ) } C_ A
6	1, 5	eqsstri 3179	1 |- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } C_ A

Syntax hints:   /\ wa 103   E.wex 1485   e. wcel 2141   {cab 2156   C_ wss 3121   {copab 4049   dom cdm 4611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-dm 4621

This theorem is referenced by:  opabex  5720