Theorem dmopabss 4841

Description: Upper bound for the domain of a restricted class of ordered pairs. (Contributed by NM, 31-Jan-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmopabss	|- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } C_ A

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem dmopabss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmopab 4840	. 2 |- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = { x | E. y ( x e. A /\ ph ) }
2		19.42v 1906	. . . 4 |- ( E. y ( x e. A /\ ph ) <-> ( x e. A /\ E. y ph ) )
3	2	abbii 2293	. . 3 |- { x | E. y ( x e. A /\ ph ) } = { x | ( x e. A /\ E. y ph ) }
4		ssab2 3241	. . 3 |- { x | ( x e. A /\ E. y ph ) } C_ A
5	3, 4	eqsstri 3189	. 2 |- { x | E. y ( x e. A /\ ph ) } C_ A
6	1, 5	eqsstri 3189	1 |- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } C_ A

Syntax hints:   /\ wa 104   E.wex 1492   e. wcel 2148   {cab 2163   C_ wss 3131   {copab 4065   dom cdm 4628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-dm 4638

This theorem is referenced by:  opabex  5742