Theorem dmopabss 4888

Description: Upper bound for the domain of a restricted class of ordered pairs. (Contributed by NM, 31-Jan-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmopabss	|- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } C_ A

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem dmopabss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmopab 4887	. 2 |- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = { x | E. y ( x e. A /\ ph ) }
2		19.42v 1929	. . . 4 |- ( E. y ( x e. A /\ ph ) <-> ( x e. A /\ E. y ph ) )
3	2	abbii 2320	. . 3 |- { x | E. y ( x e. A /\ ph ) } = { x | ( x e. A /\ E. y ph ) }
4		ssab2 3276	. . 3 |- { x | ( x e. A /\ E. y ph ) } C_ A
5	3, 4	eqsstri 3224	. 2 |- { x | E. y ( x e. A /\ ph ) } C_ A
6	1, 5	eqsstri 3224	1 |- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } C_ A

Syntax hints:   /\ wa 104   E.wex 1514   e. wcel 2175   {cab 2190   C_ wss 3165   {copab 4103   dom cdm 4673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-br 4044  df-opab 4105  df-dm 4683

This theorem is referenced by:  opabex  5798