Theorem dmopabss 4751

Description: Upper bound for the domain of a restricted class of ordered pairs. (Contributed by NM, 31-Jan-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmopabss	|- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } C_ A

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem dmopabss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmopab 4750	. 2 |- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = { x | E. y ( x e. A /\ ph ) }
2		19.42v 1878	. . . 4 |- ( E. y ( x e. A /\ ph ) <-> ( x e. A /\ E. y ph ) )
3	2	abbii 2255	. . 3 |- { x | E. y ( x e. A /\ ph ) } = { x | ( x e. A /\ E. y ph ) }
4		ssab2 3181	. . 3 |- { x | ( x e. A /\ E. y ph ) } C_ A
5	3, 4	eqsstri 3129	. 2 |- { x | E. y ( x e. A /\ ph ) } C_ A
6	1, 5	eqsstri 3129	1 |- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } C_ A

Syntax hints:   /\ wa 103   E.wex 1468   e. wcel 1480   {cab 2125   C_ wss 3071   {copab 3988   dom cdm 4539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-dm 4549

This theorem is referenced by:  opabex  5644