Theorem dmopabss 4816

Description: Upper bound for the domain of a restricted class of ordered pairs. (Contributed by NM, 31-Jan-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmopabss	|- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } C_ A

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem dmopabss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmopab 4815	. 2 |- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = { x | E. y ( x e. A /\ ph ) }
2		19.42v 1894	. . . 4 |- ( E. y ( x e. A /\ ph ) <-> ( x e. A /\ E. y ph ) )
3	2	abbii 2282	. . 3 |- { x | E. y ( x e. A /\ ph ) } = { x | ( x e. A /\ E. y ph ) }
4		ssab2 3226	. . 3 |- { x | ( x e. A /\ E. y ph ) } C_ A
5	3, 4	eqsstri 3174	. 2 |- { x | E. y ( x e. A /\ ph ) } C_ A
6	1, 5	eqsstri 3174	1 |- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } C_ A

Syntax hints:   /\ wa 103   E.wex 1480   e. wcel 2136   {cab 2151   C_ wss 3116   {copab 4042   dom cdm 4604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-dm 4614

This theorem is referenced by:  opabex  5709