Theorem dmopab3 4905

Description: The domain of a restricted class of ordered pairs. (Contributed by NM, 31-Jan-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmopab3	|- ( A. x e. A E. y ph <-> dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = A )

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem dmopab3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2490	. 2 |- ( A. x e. A E. y ph <-> A. x ( x e. A -> E. y ph ) )
2		pm4.71 389	. . 3 |- ( ( x e. A -> E. y ph ) <-> ( x e. A <-> ( x e. A /\ E. y ph ) ) )
3	2	albii 1494	. 2 |- ( A. x ( x e. A -> E. y ph ) <-> A. x ( x e. A <-> ( x e. A /\ E. y ph ) ) )
4		dmopab 4903	. . . . 5 |- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = { x | E. y ( x e. A /\ ph ) }
5		19.42v 1931	. . . . . 6 |- ( E. y ( x e. A /\ ph ) <-> ( x e. A /\ E. y ph ) )
6	5	abbii 2322	. . . . 5 |- { x | E. y ( x e. A /\ ph ) } = { x | ( x e. A /\ E. y ph ) }
7	4, 6	eqtri 2227	. . . 4 |- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = { x | ( x e. A /\ E. y ph ) }
8	7	eqeq1i 2214	. . 3 |- ( dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = A <-> { x | ( x e. A /\ E. y ph ) } = A )
9		eqcom 2208	. . 3 |- ( A = { x | ( x e. A /\ E. y ph ) } <-> { x | ( x e. A /\ E. y ph ) } = A )
10		abeq2 2315	. . 3 |- ( A = { x | ( x e. A /\ E. y ph ) } <-> A. x ( x e. A <-> ( x e. A /\ E. y ph ) ) )
11	8, 9, 10	3bitr2ri 209	. 2 |- ( A. x ( x e. A <-> ( x e. A /\ E. y ph ) ) <-> dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = A )
12	1, 3, 11	3bitri 206	1 |- ( A. x e. A E. y ph <-> dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2177   {cab 2192   A.wral 2485   {copab 4115   dom cdm 4688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-br 4055  df-opab 4117  df-dm 4698

This theorem is referenced by:  dmxpm  4912  dmxpid  4913  fnopabg  5414  acfun  7345  ccfunen  7406