Theorem dmopab3 4824

Description: The domain of a restricted class of ordered pairs. (Contributed by NM, 31-Jan-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmopab3	|- ( A. x e. A E. y ph <-> dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = A )

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem dmopab3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2453	. 2 |- ( A. x e. A E. y ph <-> A. x ( x e. A -> E. y ph ) )
2		pm4.71 387	. . 3 |- ( ( x e. A -> E. y ph ) <-> ( x e. A <-> ( x e. A /\ E. y ph ) ) )
3	2	albii 1463	. 2 |- ( A. x ( x e. A -> E. y ph ) <-> A. x ( x e. A <-> ( x e. A /\ E. y ph ) ) )
4		dmopab 4822	. . . . 5 |- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = { x | E. y ( x e. A /\ ph ) }
5		19.42v 1899	. . . . . 6 |- ( E. y ( x e. A /\ ph ) <-> ( x e. A /\ E. y ph ) )
6	5	abbii 2286	. . . . 5 |- { x | E. y ( x e. A /\ ph ) } = { x | ( x e. A /\ E. y ph ) }
7	4, 6	eqtri 2191	. . . 4 |- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = { x | ( x e. A /\ E. y ph ) }
8	7	eqeq1i 2178	. . 3 |- ( dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = A <-> { x | ( x e. A /\ E. y ph ) } = A )
9		eqcom 2172	. . 3 |- ( A = { x | ( x e. A /\ E. y ph ) } <-> { x | ( x e. A /\ E. y ph ) } = A )
10		abeq2 2279	. . 3 |- ( A = { x | ( x e. A /\ E. y ph ) } <-> A. x ( x e. A <-> ( x e. A /\ E. y ph ) ) )
11	8, 9, 10	3bitr2ri 208	. 2 |- ( A. x ( x e. A <-> ( x e. A /\ E. y ph ) ) <-> dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = A )
12	1, 3, 11	3bitri 205	1 |- ( A. x e. A E. y ph <-> dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1346   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   {copab 4049   dom cdm 4611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-dm 4621

This theorem is referenced by:  dmxpm  4831  dmxpid  4832  fnopabg  5321  acfun  7184  ccfunen  7226