Theorem dmopab3 4891

Description: The domain of a restricted class of ordered pairs. (Contributed by NM, 31-Jan-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmopab3	|- ( A. x e. A E. y ph <-> dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = A )

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem dmopab3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2489	. 2 |- ( A. x e. A E. y ph <-> A. x ( x e. A -> E. y ph ) )
2		pm4.71 389	. . 3 |- ( ( x e. A -> E. y ph ) <-> ( x e. A <-> ( x e. A /\ E. y ph ) ) )
3	2	albii 1493	. 2 |- ( A. x ( x e. A -> E. y ph ) <-> A. x ( x e. A <-> ( x e. A /\ E. y ph ) ) )
4		dmopab 4889	. . . . 5 |- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = { x | E. y ( x e. A /\ ph ) }
5		19.42v 1930	. . . . . 6 |- ( E. y ( x e. A /\ ph ) <-> ( x e. A /\ E. y ph ) )
6	5	abbii 2321	. . . . 5 |- { x | E. y ( x e. A /\ ph ) } = { x | ( x e. A /\ E. y ph ) }
7	4, 6	eqtri 2226	. . . 4 |- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = { x | ( x e. A /\ E. y ph ) }
8	7	eqeq1i 2213	. . 3 |- ( dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = A <-> { x | ( x e. A /\ E. y ph ) } = A )
9		eqcom 2207	. . 3 |- ( A = { x | ( x e. A /\ E. y ph ) } <-> { x | ( x e. A /\ E. y ph ) } = A )
10		abeq2 2314	. . 3 |- ( A = { x | ( x e. A /\ E. y ph ) } <-> A. x ( x e. A <-> ( x e. A /\ E. y ph ) ) )
11	8, 9, 10	3bitr2ri 209	. 2 |- ( A. x ( x e. A <-> ( x e. A /\ E. y ph ) ) <-> dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = A )
12	1, 3, 11	3bitri 206	1 |- ( A. x e. A E. y ph <-> dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   {cab 2191   A.wral 2484   {copab 4104   dom cdm 4675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-opab 4106  df-dm 4685

This theorem is referenced by:  dmxpm  4898  dmxpid  4899  fnopabg  5399  acfun  7319  ccfunen  7376