Theorem opabex 5742

Description: Existence of a function expressed as class of ordered pairs. (Contributed by NM, 21-Jul-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
opabex.1	|- A e. _V
opabex.2	|- ( x e. A -> E* y ph )

Assertion

Ref	Expression
opabex	|- { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem opabex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funopab 5253	. . 3 |- ( Fun { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } <-> A. x E* y ( x e. A /\ ph ) )
2		opabex.2	. . . 4 |- ( x e. A -> E* y ph )
3		moanimv 2101	. . . 4 |- ( E* y ( x e. A /\ ph ) <-> ( x e. A -> E* y ph ) )
4	2, 3	mpbir 146	. . 3 |- E* y ( x e. A /\ ph )
5	1, 4	mpgbir 1453	. 2 |- Fun { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) }
6		opabex.1	. . 3 |- A e. _V
7		dmopabss 4841	. . 3 |- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } C_ A
8	6, 7	ssexi 4143	. 2 |- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V
9		funex 5741	. 2 |- ( ( Fun { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } /\ dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V )
10	5, 8, 9	mp2an 426	1 |- { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E*wmo 2027   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   {copab 4065   dom cdm 4628   Fun wfun 5212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226

This theorem is referenced by: (None)