Theorem opabex 5690

Description: Existence of a function expressed as class of ordered pairs. (Contributed by NM, 21-Jul-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
opabex.1	|- A e. _V
opabex.2	|- ( x e. A -> E* y ph )

Assertion

Ref	Expression
opabex	|- { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem opabex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funopab 5204	. . 3 |- ( Fun { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } <-> A. x E* y ( x e. A /\ ph ) )
2		opabex.2	. . . 4 |- ( x e. A -> E* y ph )
3		moanimv 2081	. . . 4 |- ( E* y ( x e. A /\ ph ) <-> ( x e. A -> E* y ph ) )
4	2, 3	mpbir 145	. . 3 |- E* y ( x e. A /\ ph )
5	1, 4	mpgbir 1433	. 2 |- Fun { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) }
6		opabex.1	. . 3 |- A e. _V
7		dmopabss 4797	. . 3 |- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } C_ A
8	6, 7	ssexi 4102	. 2 |- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V
9		funex 5689	. 2 |- ( ( Fun { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } /\ dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V )
10	5, 8, 9	mp2an 423	1 |- { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   E*wmo 2007   e. wcel 2128   _Vcvv 2712   {copab 4024   dom cdm 4585   Fun wfun 5163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177

This theorem is referenced by: (None)