Theorem opabex 5789

Description: Existence of a function expressed as class of ordered pairs. (Contributed by NM, 21-Jul-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
opabex.1	|- A e. _V
opabex.2	|- ( x e. A -> E* y ph )

Assertion

Ref	Expression
opabex	|- { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem opabex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funopab 5294	. . 3 |- ( Fun { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } <-> A. x E* y ( x e. A /\ ph ) )
2		opabex.2	. . . 4 |- ( x e. A -> E* y ph )
3		moanimv 2120	. . . 4 |- ( E* y ( x e. A /\ ph ) <-> ( x e. A -> E* y ph ) )
4	2, 3	mpbir 146	. . 3 |- E* y ( x e. A /\ ph )
5	1, 4	mpgbir 1467	. 2 |- Fun { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) }
6		opabex.1	. . 3 |- A e. _V
7		dmopabss 4879	. . 3 |- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } C_ A
8	6, 7	ssexi 4172	. 2 |- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V
9		funex 5788	. 2 |- ( ( Fun { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } /\ dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V )
10	5, 8, 9	mp2an 426	1 |- { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E*wmo 2046   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   {copab 4094   dom cdm 4664   Fun wfun 5253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267

This theorem is referenced by: (None)