Theorem opabex 5684

Description: Existence of a function expressed as class of ordered pairs. (Contributed by NM, 21-Jul-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
opabex.1	|- A e. _V
opabex.2	|- ( x e. A -> E* y ph )

Assertion

Ref	Expression
opabex	|- { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem opabex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funopab 5198	. . 3 |- ( Fun { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } <-> A. x E* y ( x e. A /\ ph ) )
2		opabex.2	. . . 4 |- ( x e. A -> E* y ph )
3		moanimv 2078	. . . 4 |- ( E* y ( x e. A /\ ph ) <-> ( x e. A -> E* y ph ) )
4	2, 3	mpbir 145	. . 3 |- E* y ( x e. A /\ ph )
5	1, 4	mpgbir 1430	. 2 |- Fun { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) }
6		opabex.1	. . 3 |- A e. _V
7		dmopabss 4791	. . 3 |- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } C_ A
8	6, 7	ssexi 4098	. 2 |- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V
9		funex 5683	. 2 |- ( ( Fun { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } /\ dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V )
10	5, 8, 9	mp2an 423	1 |- { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   E*wmo 2004   e. wcel 2125   _Vcvv 2709   {copab 4020   dom cdm 4579   Fun wfun 5157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171

This theorem is referenced by: (None)