Theorem dmopab 4800

Description: The domain of a class of ordered pairs. (Contributed by NM, 16-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dmopab	|- dom { <. x , y >. | ph } = { x | E. y ph }

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem dmopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfopab1 4036	. . 3 |- F/_ x { <. x , y >. | ph }
2		nfopab2 4037	. . 3 |- F/_ y { <. x , y >. | ph }
3	1, 2	dfdmf 4782	. 2 |- dom { <. x , y >. | ph } = { x | E. y x { <. x , y >. | ph } y }
4		df-br 3968	. . . . 5 |- ( x { <. x , y >. | ph } y <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } )
5		opabid 4220	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ph )
6	4, 5	bitri 183	. . . 4 |- ( x { <. x , y >. | ph } y <-> ph )
7	6	exbii 1585	. . 3 |- ( E. y x { <. x , y >. | ph } y <-> E. y ph )
8	7	abbii 2273	. 2 |- { x | E. y x { <. x , y >. | ph } y } = { x | E. y ph }
9	3, 8	eqtri 2178	1 |- dom { <. x , y >. | ph } = { x | E. y ph }

Syntax hints:   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   {cab 2143   <.cop 3564   class class class wbr 3967   {copab 4027   dom cdm 4589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-br 3968  df-opab 4029  df-dm 4599

This theorem is referenced by:  dmopabss  4801  dmopab3  4802  fndmin  5577  dmoprab  5905  shftdm  10734