Theorem dmopab 4948

Description: The domain of a class of ordered pairs. (Contributed by NM, 16-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dmopab	|- dom { <. x , y >. | ph } = { x | E. y ph }

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem dmopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfopab1 4163	. . 3 |- F/_ x { <. x , y >. | ph }
2		nfopab2 4164	. . 3 |- F/_ y { <. x , y >. | ph }
3	1, 2	dfdmf 4930	. 2 |- dom { <. x , y >. | ph } = { x | E. y x { <. x , y >. | ph } y }
4		df-br 4094	. . . . 5 |- ( x { <. x , y >. | ph } y <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } )
5		opabid 4356	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ph )
6	4, 5	bitri 184	. . . 4 |- ( x { <. x , y >. | ph } y <-> ph )
7	6	exbii 1654	. . 3 |- ( E. y x { <. x , y >. | ph } y <-> E. y ph )
8	7	abbii 2347	. 2 |- { x | E. y x { <. x , y >. | ph } y } = { x | E. y ph }
9	3, 8	eqtri 2252	1 |- dom { <. x , y >. | ph } = { x | E. y ph }

Syntax hints:   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   {cab 2217   <.cop 3676   class class class wbr 4093   {copab 4154   dom cdm 4731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-dm 4741

This theorem is referenced by:  dmopabss  4949  dmopab3  4950  fndmin  5763  dmoprab  6112  shftdm  11445