Theorem dmopab 4898

Description: The domain of a class of ordered pairs. (Contributed by NM, 16-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dmopab	|- dom { <. x , y >. | ph } = { x | E. y ph }

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem dmopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfopab1 4121	. . 3 |- F/_ x { <. x , y >. | ph }
2		nfopab2 4122	. . 3 |- F/_ y { <. x , y >. | ph }
3	1, 2	dfdmf 4880	. 2 |- dom { <. x , y >. | ph } = { x | E. y x { <. x , y >. | ph } y }
4		df-br 4052	. . . . 5 |- ( x { <. x , y >. | ph } y <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } )
5		opabid 4310	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ph )
6	4, 5	bitri 184	. . . 4 |- ( x { <. x , y >. | ph } y <-> ph )
7	6	exbii 1629	. . 3 |- ( E. y x { <. x , y >. | ph } y <-> E. y ph )
8	7	abbii 2322	. 2 |- { x | E. y x { <. x , y >. | ph } y } = { x | E. y ph }
9	3, 8	eqtri 2227	1 |- dom { <. x , y >. | ph } = { x | E. y ph }

Syntax hints:   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2177   {cab 2192   <.cop 3641   class class class wbr 4051   {copab 4112   dom cdm 4683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-br 4052  df-opab 4114  df-dm 4693

This theorem is referenced by:  dmopabss  4899  dmopab3  4900  fndmin  5700  dmoprab  6039  shftdm  11208