ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmopab Unicode version

Theorem dmopab 4800
Description: The domain of a class of ordered pairs. (Contributed by NM, 16-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
dmopab  |-  dom  { <. x ,  y >.  |  ph }  =  {
x  |  E. y ph }
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem dmopab
StepHypRef Expression
1 nfopab1 4036 . . 3  |-  F/_ x { <. x ,  y
>.  |  ph }
2 nfopab2 4037 . . 3  |-  F/_ y { <. x ,  y
>.  |  ph }
31, 2dfdmf 4782 . 2  |-  dom  { <. x ,  y >.  |  ph }  =  {
x  |  E. y  x { <. x ,  y
>.  |  ph } y }
4 df-br 3968 . . . . 5  |-  ( x { <. x ,  y
>.  |  ph } y  <->  <. x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  ph } )
5 opabid 4220 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  ph }  <->  ph )
64, 5bitri 183 . . . 4  |-  ( x { <. x ,  y
>.  |  ph } y  <->  ph )
76exbii 1585 . . 3  |-  ( E. y  x { <. x ,  y >.  |  ph } y  <->  E. y ph )
87abbii 2273 . 2  |-  { x  |  E. y  x { <. x ,  y >.  |  ph } y }  =  { x  |  E. y ph }
93, 8eqtri 2178 1  |-  dom  { <. x ,  y >.  |  ph }  =  {
x  |  E. y ph }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1335   E.wex 1472    e. wcel 2128   {cab 2143   <.cop 3564   class class class wbr 3967   {copab 4027   dom cdm 4589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-br 3968  df-opab 4029  df-dm 4599
This theorem is referenced by:  dmopabss  4801  dmopab3  4802  fndmin  5577  dmoprab  5905  shftdm  10734
  Copyright terms: Public domain W3C validator