Theorem dmopab 4987

Description: The domain of a class of ordered pairs. (Contributed by NM, 16-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dmopab	|- dom { <. x , y >. | ph } = { x | E. y ph }

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem dmopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfopab1 4195	. . 3 |- F/_ x { <. x , y >. | ph }
2		nfopab2 4196	. . 3 |- F/_ y { <. x , y >. | ph }
3	1, 2	dfdmf 4969	. 2 |- dom { <. x , y >. | ph } = { x | E. y x { <. x , y >. | ph } y }
4		df-br 4126	. . . . 5 |- ( x { <. x , y >. | ph } y <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } )
5		opabid 4393	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ph )
6	4, 5	bitri 184	. . . 4 |- ( x { <. x , y >. | ph } y <-> ph )
7	6	exbii 1658	. . 3 |- ( E. y x { <. x , y >. | ph } y <-> E. y ph )
8	7	abbii 2354	. 2 |- { x | E. y x { <. x , y >. | ph } y } = { x | E. y ph }
9	3, 8	eqtri 2259	1 |- dom { <. x , y >. | ph } = { x | E. y ph }

Syntax hints:   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   {cab 2224   <.cop 3708   class class class wbr 4125   {copab 4186   dom cdm 4769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-opab 4188  df-dm 4779

This theorem is referenced by:  dmopabss  4988  dmopab3  4989  fndmin  5807  dmoprab  6159  shftdm  11565