Theorem dmopab 4823

Description: The domain of a class of ordered pairs. (Contributed by NM, 16-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dmopab	|- dom { <. x , y >. | ph } = { x | E. y ph }

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem dmopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfopab1 4059	. . 3 |- F/_ x { <. x , y >. | ph }
2		nfopab2 4060	. . 3 |- F/_ y { <. x , y >. | ph }
3	1, 2	dfdmf 4805	. 2 |- dom { <. x , y >. | ph } = { x | E. y x { <. x , y >. | ph } y }
4		df-br 3991	. . . . 5 |- ( x { <. x , y >. | ph } y <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } )
5		opabid 4243	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ph )
6	4, 5	bitri 183	. . . 4 |- ( x { <. x , y >. | ph } y <-> ph )
7	6	exbii 1599	. . 3 |- ( E. y x { <. x , y >. | ph } y <-> E. y ph )
8	7	abbii 2287	. 2 |- { x | E. y x { <. x , y >. | ph } y } = { x | E. y ph }
9	3, 8	eqtri 2192	1 |- dom { <. x , y >. | ph } = { x | E. y ph }

Syntax hints:   = wceq 1349   E.wex 1486   e. wcel 2142   {cab 2157   <.cop 3587   class class class wbr 3990   {copab 4050   dom cdm 4612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 976  df-tru 1352  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-v 2733  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-br 3991  df-opab 4052  df-dm 4622

This theorem is referenced by:  dmopabss  4824  dmopab3  4825  fndmin  5607  dmoprab  5938  shftdm  10790