Theorem eqsstri 3174

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 16-Jul-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstr.1	|- A = B
eqsstr.2	|- B C_ C

Assertion

Ref	Expression
eqsstri	|- A C_ C

Proof of Theorem eqsstri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstr.2	. 2 |- B C_ C
2		eqsstr.1	. . 3 |- A = B
3	2	sseq1i 3168	. 2 |- ( A C_ C <-> B C_ C )
4	1, 3	mpbir 145	1 |- A C_ C

Syntax hints:   = wceq 1343   C_ wss 3116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-11 1494  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-in 3122  df-ss 3129

This theorem is referenced by:  eqsstrri  3175  ssrab2  3227  ssrab3  3228  rabssab  3230  difdifdirss  3493  ifssun  3534  opabss  4046  brab2ga  4679  relopabi  4730  dmopabss  4816  resss  4908  relres  4912  exse2  4978  rnin  5013  rnxpss  5035  cnvcnvss  5058  dmmptss  5100  cocnvss  5129  fnres  5304  resasplitss  5367  fabexg  5375  f0  5378  ffvresb  5648  isoini2  5787  dmoprabss  5924  elmpocl  6036  tposssxp  6217  dftpos4  6231  smores  6260  smores2  6262  iordsmo  6265  swoer  6529  swoord1  6530  swoord2  6531  ecss  6542  ecopovsym  6597  ecopovtrn  6598  ecopover  6599  ecopovsymg  6600  ecopovtrng  6601  ecopoverg  6602  sbthlem7  6928  caserel  7052  ctssdccl  7076  pw1on  7182  pinn  7250  niex  7253  ltrelpi  7265  dmaddpi  7266  dmmulpi  7267  enqex  7301  ltrelnq  7306  enq0ex  7380  ltrelpr  7446  enrex  7678  ltrelsr  7679  ltrelre  7774  axaddf  7809  axmulf  7810  ltrelxr  7959  lerelxr  7961  nn0ssre  9118  nn0ssz  9209  rpre  9596  fz1ssfz0  10052  cau3  11057  fsum3cvg3  11337  isumshft  11431  explecnv  11446  clim2prod  11480  ntrivcvgap  11489  dvdszrcl  11732  dvdsflip  11789  infssuzcldc  11884  phimullem  12157  eulerthlemfi  12160  eulerthlemrprm  12161  eulerthlema  12162  eulerthlemh  12163  eulerthlemth  12164  4sqlem1  12318  ctiunctlemuom  12369  structcnvcnv  12410  fvsetsid  12428  strleun  12484  dmtopon  12661  lmfval  12832  lmbrf  12855  cnconst2  12873  txuni2  12896  xmeter  13076  ivthinclemex  13260  dvrecap  13317  2sqlem7  13597