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Theorem dvelimfv 1984
Description: Like dvelimf 1988 but with a distinct variable constraint on  x and  z. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
dvelimfv.1  |-  ( ph  ->  A. x ph )
dvelimfv.2  |-  ( ps 
->  A. z ps )
dvelimfv.3  |-  ( z  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
dvelimfv  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( ps  ->  A. x ps )
)
Distinct variable group:    x, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    ps( x, y, z)

Proof of Theorem dvelimfv
StepHypRef Expression
1 nfnae 1700 . . . 4  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  y
2 ax-i12 1485 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  x  =  z  \/  ( A. x  x  =  y  \/  A. x ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )
) )
3 orcom 717 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  x  =  y  \/  A. x
( z  =  y  ->  A. x  z  =  y ) )  <->  ( A. x ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )  \/  A. x  x  =  y ) )
43orbi2i 751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  x  =  z  \/  ( A. x  x  =  y  \/  A. x ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )
) )  <->  ( A. x  x  =  z  \/  ( A. x ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )  \/  A. x  x  =  y
) ) )
52, 4mpbi 144 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  x  =  z  \/  ( A. x ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )  \/  A. x  x  =  y
) )
6 orass 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x  x  =  z  \/  A. x ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )
)  \/  A. x  x  =  y )  <->  ( A. x  x  =  z  \/  ( A. x ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )  \/  A. x  x  =  y ) ) )
75, 6mpbir 145 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  x  =  z  \/  A. x
( z  =  y  ->  A. x  z  =  y ) )  \/ 
A. x  x  =  y )
8 nfae 1697 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x A. x  x  =  z
9 ax16ALT 1831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y ) )
108, 9nfd 1503 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  x  =  z  ->  F/ x  z  =  y )
11 dvelimfv.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x ph )
1211nfi 1438 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x ph
1312a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  x  =  z  ->  F/ x ph )
1410, 13nfimd 1564 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  x  =  z  ->  F/ x ( z  =  y  ->  ph )
)
15 df-nf 1437 . . . . . . . . . 10  |-  ( F/ x  z  =  y  <->  A. x ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )
)
16 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F/ x  z  =  y  ->  F/ x  z  =  y )
1712a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F/ x  z  =  y  ->  F/ x ph )
1816, 17nfimd 1564 . . . . . . . . . 10  |-  ( F/ x  z  =  y  ->  F/ x ( z  =  y  ->  ph ) )
1915, 18sylbir 134 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )  ->  F/ x ( z  =  y  ->  ph )
)
2014, 19jaoi 705 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  x  =  z  \/  A. x
( z  =  y  ->  A. x  z  =  y ) )  ->  F/ x ( z  =  y  ->  ph ) )
2120orim1i 749 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x  x  =  z  \/  A. x ( z  =  y  ->  A. x  z  =  y )
)  \/  A. x  x  =  y )  ->  ( F/ x ( z  =  y  ->  ph )  \/  A. x  x  =  y )
)
227, 21ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( F/ x ( z  =  y  ->  ph )  \/ 
A. x  x  =  y )
23 orcom 717 . . . . . 6  |-  ( ( F/ x ( z  =  y  ->  ph )  \/  A. x  x  =  y )  <->  ( A. x  x  =  y  \/  F/ x ( z  =  y  ->  ph )
) )
2422, 23mpbi 144 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  y  \/  F/ x ( z  =  y  ->  ph )
)
2524ori 712 . . . 4  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ x
( z  =  y  ->  ph ) )
261, 25nfald 1733 . . 3  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ x A. z ( z  =  y  ->  ph ) )
27 dvelimfv.2 . . . . 5  |-  ( ps 
->  A. z ps )
28 dvelimfv.3 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
2927, 28equsalh 1704 . . . 4  |-  ( A. z ( z  =  y  ->  ph )  <->  ps )
3029nfbii 1449 . . 3  |-  ( F/ x A. z ( z  =  y  ->  ph )  <->  F/ x ps )
3126, 30sylib 121 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ x ps )
3231nfrd 1500 1  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( ps  ->  A. x ps )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 104    \/ wo 697   A.wal 1329   F/wnf 1436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736
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