Theorem elco 4862

Description: Elements of a composed relation. (Contributed by BJ, 10-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elco	|- ( A e. ( R o. S ) <-> E. x E. y E. z ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )

Distinct variable groups:   x, R, y, z   x, S, y, z   x, A, y, z

Proof of Theorem elco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-co 4702	. . 3 |- ( R o. S ) = { <. x , z >. | E. y ( x S y /\ y R z ) }
2	1	eleq2i 2274	. 2 |- ( A e. ( R o. S ) <-> A e. { <. x , z >. | E. y ( x S y /\ y R z ) } )
3		elopab 4322	. . 3 |- ( A e. { <. x , z >. | E. y ( x S y /\ y R z ) } <-> E. x E. z ( A = <. x , z >. /\ E. y ( x S y /\ y R z ) ) )
4		19.42v 1931	. . . . . . 7 |- ( E. y ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) <-> ( A = <. x , z >. /\ E. y ( x S y /\ y R z ) ) )
5	4	bicomi 132	. . . . . 6 |- ( ( A = <. x , z >. /\ E. y ( x S y /\ y R z ) ) <-> E. y ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )
6	5	exbii 1629	. . . . 5 |- ( E. z ( A = <. x , z >. /\ E. y ( x S y /\ y R z ) ) <-> E. z E. y ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )
7		excom 1688	. . . . 5 |- ( E. z E. y ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) <-> E. y E. z ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )
8	6, 7	bitri 184	. . . 4 |- ( E. z ( A = <. x , z >. /\ E. y ( x S y /\ y R z ) ) <-> E. y E. z ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )
9	8	exbii 1629	. . 3 |- ( E. x E. z ( A = <. x , z >. /\ E. y ( x S y /\ y R z ) ) <-> E. x E. y E. z ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )
10	3, 9	bitri 184	. 2 |- ( A e. { <. x , z >. | E. y ( x S y /\ y R z ) } <-> E. x E. y E. z ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )
11	2, 10	bitri 184	1 |- ( A e. ( R o. S ) <-> E. x E. y E. z ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   <.cop 3646   class class class wbr 4059   {copab 4120   o. ccom 4697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-opab 4122  df-co 4702

This theorem is referenced by: (None)