Theorem elco 4769

Description: Elements of a composed relation. (Contributed by BJ, 10-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elco	|- ( A e. ( R o. S ) <-> E. x E. y E. z ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )

Distinct variable groups:   x, R, y, z   x, S, y, z   x, A, y, z

Proof of Theorem elco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-co 4612	. . 3 |- ( R o. S ) = { <. x , z >. | E. y ( x S y /\ y R z ) }
2	1	eleq2i 2232	. 2 |- ( A e. ( R o. S ) <-> A e. { <. x , z >. | E. y ( x S y /\ y R z ) } )
3		elopab 4235	. . 3 |- ( A e. { <. x , z >. | E. y ( x S y /\ y R z ) } <-> E. x E. z ( A = <. x , z >. /\ E. y ( x S y /\ y R z ) ) )
4		19.42v 1894	. . . . . . 7 |- ( E. y ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) <-> ( A = <. x , z >. /\ E. y ( x S y /\ y R z ) ) )
5	4	bicomi 131	. . . . . 6 |- ( ( A = <. x , z >. /\ E. y ( x S y /\ y R z ) ) <-> E. y ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )
6	5	exbii 1593	. . . . 5 |- ( E. z ( A = <. x , z >. /\ E. y ( x S y /\ y R z ) ) <-> E. z E. y ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )
7		excom 1652	. . . . 5 |- ( E. z E. y ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) <-> E. y E. z ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )
8	6, 7	bitri 183	. . . 4 |- ( E. z ( A = <. x , z >. /\ E. y ( x S y /\ y R z ) ) <-> E. y E. z ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )
9	8	exbii 1593	. . 3 |- ( E. x E. z ( A = <. x , z >. /\ E. y ( x S y /\ y R z ) ) <-> E. x E. y E. z ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )
10	3, 9	bitri 183	. 2 |- ( A e. { <. x , z >. | E. y ( x S y /\ y R z ) } <-> E. x E. y E. z ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )
11	2, 10	bitri 183	1 |- ( A e. ( R o. S ) <-> E. x E. y E. z ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   <.cop 3578   class class class wbr 3981   {copab 4041   o. ccom 4607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-v 2727  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-opab 4043  df-co 4612

This theorem is referenced by: (None)