Theorem elco 4792

Description: Elements of a composed relation. (Contributed by BJ, 10-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elco	|- ( A e. ( R o. S ) <-> E. x E. y E. z ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )

Distinct variable groups:   x, R, y, z   x, S, y, z   x, A, y, z

Proof of Theorem elco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-co 4634	. . 3 |- ( R o. S ) = { <. x , z >. | E. y ( x S y /\ y R z ) }
2	1	eleq2i 2244	. 2 |- ( A e. ( R o. S ) <-> A e. { <. x , z >. | E. y ( x S y /\ y R z ) } )
3		elopab 4257	. . 3 |- ( A e. { <. x , z >. | E. y ( x S y /\ y R z ) } <-> E. x E. z ( A = <. x , z >. /\ E. y ( x S y /\ y R z ) ) )
4		19.42v 1906	. . . . . . 7 |- ( E. y ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) <-> ( A = <. x , z >. /\ E. y ( x S y /\ y R z ) ) )
5	4	bicomi 132	. . . . . 6 |- ( ( A = <. x , z >. /\ E. y ( x S y /\ y R z ) ) <-> E. y ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )
6	5	exbii 1605	. . . . 5 |- ( E. z ( A = <. x , z >. /\ E. y ( x S y /\ y R z ) ) <-> E. z E. y ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )
7		excom 1664	. . . . 5 |- ( E. z E. y ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) <-> E. y E. z ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )
8	6, 7	bitri 184	. . . 4 |- ( E. z ( A = <. x , z >. /\ E. y ( x S y /\ y R z ) ) <-> E. y E. z ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )
9	8	exbii 1605	. . 3 |- ( E. x E. z ( A = <. x , z >. /\ E. y ( x S y /\ y R z ) ) <-> E. x E. y E. z ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )
10	3, 9	bitri 184	. 2 |- ( A e. { <. x , z >. | E. y ( x S y /\ y R z ) } <-> E. x E. y E. z ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )
11	2, 10	bitri 184	1 |- ( A e. ( R o. S ) <-> E. x E. y E. z ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   <.cop 3595   class class class wbr 4002   {copab 4062   o. ccom 4629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-opab 4064  df-co 4634

This theorem is referenced by: (None)