Theorem elco 4705

Description: Elements of a composed relation. (Contributed by BJ, 10-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elco	|- ( A e. ( R o. S ) <-> E. x E. y E. z ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )

Distinct variable groups:   x, R, y, z   x, S, y, z   x, A, y, z

Proof of Theorem elco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-co 4548	. . 3 |- ( R o. S ) = { <. x , z >. | E. y ( x S y /\ y R z ) }
2	1	eleq2i 2206	. 2 |- ( A e. ( R o. S ) <-> A e. { <. x , z >. | E. y ( x S y /\ y R z ) } )
3		elopab 4180	. . 3 |- ( A e. { <. x , z >. | E. y ( x S y /\ y R z ) } <-> E. x E. z ( A = <. x , z >. /\ E. y ( x S y /\ y R z ) ) )
4		19.42v 1878	. . . . . . 7 |- ( E. y ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) <-> ( A = <. x , z >. /\ E. y ( x S y /\ y R z ) ) )
5	4	bicomi 131	. . . . . 6 |- ( ( A = <. x , z >. /\ E. y ( x S y /\ y R z ) ) <-> E. y ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )
6	5	exbii 1584	. . . . 5 |- ( E. z ( A = <. x , z >. /\ E. y ( x S y /\ y R z ) ) <-> E. z E. y ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )
7		excom 1642	. . . . 5 |- ( E. z E. y ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) <-> E. y E. z ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )
8	6, 7	bitri 183	. . . 4 |- ( E. z ( A = <. x , z >. /\ E. y ( x S y /\ y R z ) ) <-> E. y E. z ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )
9	8	exbii 1584	. . 3 |- ( E. x E. z ( A = <. x , z >. /\ E. y ( x S y /\ y R z ) ) <-> E. x E. y E. z ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )
10	3, 9	bitri 183	. 2 |- ( A e. { <. x , z >. | E. y ( x S y /\ y R z ) } <-> E. x E. y E. z ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )
11	2, 10	bitri 183	1 |- ( A e. ( R o. S ) <-> E. x E. y E. z ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   <.cop 3530   class class class wbr 3929   {copab 3988   o. ccom 4543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-opab 3990  df-co 4548

This theorem is referenced by: (None)