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Theorem elco 4590
Description: Elements of a composed relation. (Contributed by BJ, 10-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
elco  |-  ( A  e.  ( R  o.  S )  <->  E. x E. y E. z ( A  =  <. x ,  z >.  /\  (
x S y  /\  y R z ) ) )
Distinct variable groups:    x, R, y, z    x, S, y, z    x, A, y, z

Proof of Theorem elco
StepHypRef Expression
1 df-co 4437 . . 3  |-  ( R  o.  S )  =  { <. x ,  z
>.  |  E. y
( x S y  /\  y R z ) }
21eleq2i 2154 . 2  |-  ( A  e.  ( R  o.  S )  <->  A  e.  {
<. x ,  z >.  |  E. y ( x S y  /\  y R z ) } )
3 elopab 4076 . . 3  |-  ( A  e.  { <. x ,  z >.  |  E. y ( x S y  /\  y R z ) }  <->  E. x E. z ( A  = 
<. x ,  z >.  /\  E. y ( x S y  /\  y R z ) ) )
4 19.42v 1834 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( A  = 
<. x ,  z >.  /\  ( x S y  /\  y R z ) )  <->  ( A  =  <. x ,  z
>.  /\  E. y ( x S y  /\  y R z ) ) )
54bicomi 130 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  <. x ,  z >.  /\  E. y ( x S y  /\  y R z ) )  <->  E. y
( A  =  <. x ,  z >.  /\  (
x S y  /\  y R z ) ) )
65exbii 1541 . . . . 5  |-  ( E. z ( A  = 
<. x ,  z >.  /\  E. y ( x S y  /\  y R z ) )  <->  E. z E. y ( A  =  <. x ,  z >.  /\  (
x S y  /\  y R z ) ) )
7 excom 1599 . . . . 5  |-  ( E. z E. y ( A  =  <. x ,  z >.  /\  (
x S y  /\  y R z ) )  <->  E. y E. z ( A  =  <. x ,  z >.  /\  (
x S y  /\  y R z ) ) )
86, 7bitri 182 . . . 4  |-  ( E. z ( A  = 
<. x ,  z >.  /\  E. y ( x S y  /\  y R z ) )  <->  E. y E. z ( A  =  <. x ,  z >.  /\  (
x S y  /\  y R z ) ) )
98exbii 1541 . . 3  |-  ( E. x E. z ( A  =  <. x ,  z >.  /\  E. y ( x S y  /\  y R z ) )  <->  E. x E. y E. z ( A  =  <. x ,  z >.  /\  (
x S y  /\  y R z ) ) )
103, 9bitri 182 . 2  |-  ( A  e.  { <. x ,  z >.  |  E. y ( x S y  /\  y R z ) }  <->  E. x E. y E. z ( A  =  <. x ,  z >.  /\  (
x S y  /\  y R z ) ) )
112, 10bitri 182 1  |-  ( A  e.  ( R  o.  S )  <->  E. x E. y E. z ( A  =  <. x ,  z >.  /\  (
x S y  /\  y R z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   <.cop 3444   class class class wbr 3837   {copab 3890    o. ccom 4432
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-opab 3892  df-co 4437
This theorem is referenced by: (None)
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