Theorem elco 4844

Description: Elements of a composed relation. (Contributed by BJ, 10-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elco	|- ( A e. ( R o. S ) <-> E. x E. y E. z ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )

Distinct variable groups:   x, R, y, z   x, S, y, z   x, A, y, z

Proof of Theorem elco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-co 4684	. . 3 |- ( R o. S ) = { <. x , z >. | E. y ( x S y /\ y R z ) }
2	1	eleq2i 2272	. 2 |- ( A e. ( R o. S ) <-> A e. { <. x , z >. | E. y ( x S y /\ y R z ) } )
3		elopab 4304	. . 3 |- ( A e. { <. x , z >. | E. y ( x S y /\ y R z ) } <-> E. x E. z ( A = <. x , z >. /\ E. y ( x S y /\ y R z ) ) )
4		19.42v 1930	. . . . . . 7 |- ( E. y ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) <-> ( A = <. x , z >. /\ E. y ( x S y /\ y R z ) ) )
5	4	bicomi 132	. . . . . 6 |- ( ( A = <. x , z >. /\ E. y ( x S y /\ y R z ) ) <-> E. y ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )
6	5	exbii 1628	. . . . 5 |- ( E. z ( A = <. x , z >. /\ E. y ( x S y /\ y R z ) ) <-> E. z E. y ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )
7		excom 1687	. . . . 5 |- ( E. z E. y ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) <-> E. y E. z ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )
8	6, 7	bitri 184	. . . 4 |- ( E. z ( A = <. x , z >. /\ E. y ( x S y /\ y R z ) ) <-> E. y E. z ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )
9	8	exbii 1628	. . 3 |- ( E. x E. z ( A = <. x , z >. /\ E. y ( x S y /\ y R z ) ) <-> E. x E. y E. z ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )
10	3, 9	bitri 184	. 2 |- ( A e. { <. x , z >. | E. y ( x S y /\ y R z ) } <-> E. x E. y E. z ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )
11	2, 10	bitri 184	1 |- ( A e. ( R o. S ) <-> E. x E. y E. z ( A = <. x , z >. /\ ( x S y /\ y R z ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   <.cop 3636   class class class wbr 4044   {copab 4104   o. ccom 4679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-opab 4106  df-co 4684

This theorem is referenced by: (None)