Theorem eldifpw 4603

Description: Membership in a power class difference. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldifpw.1	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
eldifpw	|- ( ( A e. ~P B /\ -. C C_ B ) -> ( A u. C ) e. ( ~P ( B u. C ) \ ~P B ) )

Proof of Theorem eldifpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 3683	. . . 4 |- ( A e. ~P B -> A C_ B )
2		unss1 3392	. . . . 5 |- ( A C_ B -> ( A u. C ) C_ ( B u. C ) )
3		eldifpw.1	. . . . . . 7 |- C e. _V
4		unexg 4569	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ~P B /\ C e. _V ) -> ( A u. C ) e. _V )
5	3, 4	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( A e. ~P B -> ( A u. C ) e. _V )
6		elpwg 3682	. . . . . 6 |- ( ( A u. C ) e. _V -> ( ( A u. C ) e. ~P ( B u. C ) <-> ( A u. C ) C_ ( B u. C ) ) )
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. ~P B -> ( ( A u. C ) e. ~P ( B u. C ) <-> ( A u. C ) C_ ( B u. C ) ) )
8	2, 7	imbitrrid 156	. . . 4 |- ( A e. ~P B -> ( A C_ B -> ( A u. C ) e. ~P ( B u. C ) ) )
9	1, 8	mpd 13	. . 3 |- ( A e. ~P B -> ( A u. C ) e. ~P ( B u. C ) )
10		elpwi 3683	. . . . 5 |- ( ( A u. C ) e. ~P B -> ( A u. C ) C_ B )
11	10	unssbd 3401	. . . 4 |- ( ( A u. C ) e. ~P B -> C C_ B )
12	11	con3i 637	. . 3 |- ( -. C C_ B -> -. ( A u. C ) e. ~P B )
13	9, 12	anim12i 338	. 2 |- ( ( A e. ~P B /\ -. C C_ B ) -> ( ( A u. C ) e. ~P ( B u. C ) /\ -. ( A u. C ) e. ~P B ) )
14		eldif 3223	. 2 |- ( ( A u. C ) e. ( ~P ( B u. C ) \ ~P B ) <-> ( ( A u. C ) e. ~P ( B u. C ) /\ -. ( A u. C ) e. ~P B ) )
15	13, 14	sylibr 134	1 |- ( ( A e. ~P B /\ -. C C_ B ) -> ( A u. C ) e. ( ~P ( B u. C ) \ ~P B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   \ cdif 3211   u. cun 3212   C_ wss 3214   ~Pcpw 3674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-uni 3920

This theorem is referenced by: (None)