Theorem eldifpw 4542

Description: Membership in a power class difference. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldifpw.1	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
eldifpw	|- ( ( A e. ~P B /\ -. C C_ B ) -> ( A u. C ) e. ( ~P ( B u. C ) \ ~P B ) )

Proof of Theorem eldifpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 3635	. . . 4 |- ( A e. ~P B -> A C_ B )
2		unss1 3350	. . . . 5 |- ( A C_ B -> ( A u. C ) C_ ( B u. C ) )
3		eldifpw.1	. . . . . . 7 |- C e. _V
4		unexg 4508	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ~P B /\ C e. _V ) -> ( A u. C ) e. _V )
5	3, 4	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( A e. ~P B -> ( A u. C ) e. _V )
6		elpwg 3634	. . . . . 6 |- ( ( A u. C ) e. _V -> ( ( A u. C ) e. ~P ( B u. C ) <-> ( A u. C ) C_ ( B u. C ) ) )
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. ~P B -> ( ( A u. C ) e. ~P ( B u. C ) <-> ( A u. C ) C_ ( B u. C ) ) )
8	2, 7	imbitrrid 156	. . . 4 |- ( A e. ~P B -> ( A C_ B -> ( A u. C ) e. ~P ( B u. C ) ) )
9	1, 8	mpd 13	. . 3 |- ( A e. ~P B -> ( A u. C ) e. ~P ( B u. C ) )
10		elpwi 3635	. . . . 5 |- ( ( A u. C ) e. ~P B -> ( A u. C ) C_ B )
11	10	unssbd 3359	. . . 4 |- ( ( A u. C ) e. ~P B -> C C_ B )
12	11	con3i 633	. . 3 |- ( -. C C_ B -> -. ( A u. C ) e. ~P B )
13	9, 12	anim12i 338	. 2 |- ( ( A e. ~P B /\ -. C C_ B ) -> ( ( A u. C ) e. ~P ( B u. C ) /\ -. ( A u. C ) e. ~P B ) )
14		eldif 3183	. 2 |- ( ( A u. C ) e. ( ~P ( B u. C ) \ ~P B ) <-> ( ( A u. C ) e. ~P ( B u. C ) /\ -. ( A u. C ) e. ~P B ) )
15	13, 14	sylibr 134	1 |- ( ( A e. ~P B /\ -. C C_ B ) -> ( A u. C ) e. ( ~P ( B u. C ) \ ~P B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   \ cdif 3171   u. cun 3172   C_ wss 3174   ~Pcpw 3626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-uni 3865

This theorem is referenced by: (None)