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Theorem eldifpw 4289
Description: Membership in a power class difference. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
eldifpw.1  |-  C  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
eldifpw  |-  ( ( A  e.  ~P B  /\  -.  C  C_  B
)  ->  ( A  u.  C )  e.  ( ~P ( B  u.  C )  \  ~P B ) )

Proof of Theorem eldifpw
StepHypRef Expression
1 elpwi 3434 . . . 4  |-  ( A  e.  ~P B  ->  A  C_  B )
2 unss1 3167 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A  u.  C )  C_  ( B  u.  C
) )
3 eldifpw.1 . . . . . . 7  |-  C  e. 
_V
4 unexg 4259 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ~P B  /\  C  e.  _V )  ->  ( A  u.  C )  e.  _V )
53, 4mpan2 416 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~P B  -> 
( A  u.  C
)  e.  _V )
6 elpwg 3433 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  C )  e.  _V  ->  (
( A  u.  C
)  e.  ~P ( B  u.  C )  <->  ( A  u.  C ) 
C_  ( B  u.  C ) ) )
75, 6syl 14 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~P B  -> 
( ( A  u.  C )  e.  ~P ( B  u.  C
)  <->  ( A  u.  C )  C_  ( B  u.  C )
) )
82, 7syl5ibr 154 . . . 4  |-  ( A  e.  ~P B  -> 
( A  C_  B  ->  ( A  u.  C
)  e.  ~P ( B  u.  C )
) )
91, 8mpd 13 . . 3  |-  ( A  e.  ~P B  -> 
( A  u.  C
)  e.  ~P ( B  u.  C )
)
10 elpwi 3434 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  C )  e.  ~P B  -> 
( A  u.  C
)  C_  B )
1110unssbd 3176 . . . 4  |-  ( ( A  u.  C )  e.  ~P B  ->  C  C_  B )
1211con3i 597 . . 3  |-  ( -.  C  C_  B  ->  -.  ( A  u.  C
)  e.  ~P B
)
139, 12anim12i 331 . 2  |-  ( ( A  e.  ~P B  /\  -.  C  C_  B
)  ->  ( ( A  u.  C )  e.  ~P ( B  u.  C )  /\  -.  ( A  u.  C
)  e.  ~P B
) )
14 eldif 3006 . 2  |-  ( ( A  u.  C )  e.  ( ~P ( B  u.  C )  \  ~P B )  <->  ( ( A  u.  C )  e.  ~P ( B  u.  C )  /\  -.  ( A  u.  C
)  e.  ~P B
) )
1513, 14sylibr 132 1  |-  ( ( A  e.  ~P B  /\  -.  C  C_  B
)  ->  ( A  u.  C )  e.  ( ~P ( B  u.  C )  \  ~P B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1438   _Vcvv 2619    \ cdif 2994    u. cun 2995    C_ wss 2997   ~Pcpw 3425
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pr 4027  ax-un 4251
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-uni 3649
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