Theorem eldifpw 4455

Description: Membership in a power class difference. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldifpw.1	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
eldifpw	|- ( ( A e. ~P B /\ -. C C_ B ) -> ( A u. C ) e. ( ~P ( B u. C ) \ ~P B ) )

Proof of Theorem eldifpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 3568	. . . 4 |- ( A e. ~P B -> A C_ B )
2		unss1 3291	. . . . 5 |- ( A C_ B -> ( A u. C ) C_ ( B u. C ) )
3		eldifpw.1	. . . . . . 7 |- C e. _V
4		unexg 4421	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ~P B /\ C e. _V ) -> ( A u. C ) e. _V )
5	3, 4	mpan2 422	. . . . . 6 |- ( A e. ~P B -> ( A u. C ) e. _V )
6		elpwg 3567	. . . . . 6 |- ( ( A u. C ) e. _V -> ( ( A u. C ) e. ~P ( B u. C ) <-> ( A u. C ) C_ ( B u. C ) ) )
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. ~P B -> ( ( A u. C ) e. ~P ( B u. C ) <-> ( A u. C ) C_ ( B u. C ) ) )
8	2, 7	syl5ibr 155	. . . 4 |- ( A e. ~P B -> ( A C_ B -> ( A u. C ) e. ~P ( B u. C ) ) )
9	1, 8	mpd 13	. . 3 |- ( A e. ~P B -> ( A u. C ) e. ~P ( B u. C ) )
10		elpwi 3568	. . . . 5 |- ( ( A u. C ) e. ~P B -> ( A u. C ) C_ B )
11	10	unssbd 3300	. . . 4 |- ( ( A u. C ) e. ~P B -> C C_ B )
12	11	con3i 622	. . 3 |- ( -. C C_ B -> -. ( A u. C ) e. ~P B )
13	9, 12	anim12i 336	. 2 |- ( ( A e. ~P B /\ -. C C_ B ) -> ( ( A u. C ) e. ~P ( B u. C ) /\ -. ( A u. C ) e. ~P B ) )
14		eldif 3125	. 2 |- ( ( A u. C ) e. ( ~P ( B u. C ) \ ~P B ) <-> ( ( A u. C ) e. ~P ( B u. C ) /\ -. ( A u. C ) e. ~P B ) )
15	13, 14	sylibr 133	1 |- ( ( A e. ~P B /\ -. C C_ B ) -> ( A u. C ) e. ( ~P ( B u. C ) \ ~P B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   \ cdif 3113   u. cun 3114   C_ wss 3116   ~Pcpw 3559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790

This theorem is referenced by: (None)