ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eldifpw GIF version

Theorem eldifpw 4262
Description: Membership in a power class difference. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
eldifpw.1 𝐶 ∈ V
Assertion
Ref Expression
eldifpw ((𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → (𝐴𝐶) ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∖ 𝒫 𝐵))

Proof of Theorem eldifpw
StepHypRef Expression
1 elpwi 3415 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵𝐴𝐵)
2 unss1 3153 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐶) ⊆ (𝐵𝐶))
3 eldifpw.1 . . . . . . 7 𝐶 ∈ V
4 unexg 4232 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝒫 𝐵𝐶 ∈ V) → (𝐴𝐶) ∈ V)
53, 4mpan2 416 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝐴𝐶) ∈ V)
6 elpwg 3414 . . . . . 6 ((𝐴𝐶) ∈ V → ((𝐴𝐶) ∈ 𝒫 (𝐵𝐶) ↔ (𝐴𝐶) ⊆ (𝐵𝐶)))
75, 6syl 14 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 → ((𝐴𝐶) ∈ 𝒫 (𝐵𝐶) ↔ (𝐴𝐶) ⊆ (𝐵𝐶)))
82, 7syl5ibr 154 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝐴𝐵 → (𝐴𝐶) ∈ 𝒫 (𝐵𝐶)))
91, 8mpd 13 . . 3 (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝐴𝐶) ∈ 𝒫 (𝐵𝐶))
10 elpwi 3415 . . . . 5 ((𝐴𝐶) ∈ 𝒫 𝐵 → (𝐴𝐶) ⊆ 𝐵)
1110unssbd 3162 . . . 4 ((𝐴𝐶) ∈ 𝒫 𝐵𝐶𝐵)
1211con3i 595 . . 3 𝐶𝐵 → ¬ (𝐴𝐶) ∈ 𝒫 𝐵)
139, 12anim12i 331 . 2 ((𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → ((𝐴𝐶) ∈ 𝒫 (𝐵𝐶) ∧ ¬ (𝐴𝐶) ∈ 𝒫 𝐵))
14 eldif 2993 . 2 ((𝐴𝐶) ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∖ 𝒫 𝐵) ↔ ((𝐴𝐶) ∈ 𝒫 (𝐵𝐶) ∧ ¬ (𝐴𝐶) ∈ 𝒫 𝐵))
1513, 14sylibr 132 1 ((𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → (𝐴𝐶) ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∖ 𝒫 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wcel 1434  Vcvv 2612  cdif 2981  cun 2982  wss 2984  𝒫 cpw 3406
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pr 4000  ax-un 4224
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-rex 2359  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-uni 3628
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator