Theorem op1stb 4622

Description: Extract the first member of an ordered pair. Theorem 73 of [Suppes] p. 42. (Contributed by NM, 25-Nov-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1stb.1	|- A e. _V
op1stb.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op1stb	|- |^| |^| <. A , B >. = A

Proof of Theorem op1stb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1stb.1	. . . . . 6 |- A e. _V
2		op1stb.2	. . . . . 6 |- B e. _V
3	1, 2	dfop 3901	. . . . 5 |- <. A , B >. = { { A } , { A , B } }
4	3	inteqi 3972	. . . 4 |- |^| <. A , B >. = |^| { { A } , { A , B } }
5	1	snex 4320	. . . . . 6 |- { A } e. _V
6		prexg 4347	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
7	1, 2, 6	mp2an 430	. . . . . 6 |- { A , B } e. _V
8	5, 7	intpr 4000	. . . . 5 |- |^| { { A } , { A , B } } = ( { A } i^i { A , B } )
9		snsspr1 3861	. . . . . 6 |- { A } C_ { A , B }
10		df-ss 3233	. . . . . 6 |- ( { A } C_ { A , B } <-> ( { A } i^i { A , B } ) = { A } )
11	9, 10	mpbi 145	. . . . 5 |- ( { A } i^i { A , B } ) = { A }
12	8, 11	eqtri 2259	. . . 4 |- |^| { { A } , { A , B } } = { A }
13	4, 12	eqtri 2259	. . 3 |- |^| <. A , B >. = { A }
14	13	inteqi 3972	. 2 |- |^| |^| <. A , B >. = |^| { A }
15	1	intsn 4003	. 2 |- |^| { A } = A
16	14, 15	eqtri 2259	1 |- |^| |^| <. A , B >. = A

Syntax hints:   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   i^i cin 3219   C_ wss 3220   {csn 3708   {cpr 3709   <.cop 3711   |^|cint 3968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-int 3969

This theorem is referenced by:  elreldm  5006  op2ndb  5269  1stval2  6382  fundmen  7087  xpsnen  7112