Theorem op1stb 4456

Description: Extract the first member of an ordered pair. Theorem 73 of [Suppes] p. 42. (Contributed by NM, 25-Nov-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1stb.1	|- A e. _V
op1stb.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op1stb	|- |^| |^| <. A , B >. = A

Proof of Theorem op1stb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1stb.1	. . . . . 6 |- A e. _V
2		op1stb.2	. . . . . 6 |- B e. _V
3	1, 2	dfop 3757	. . . . 5 |- <. A , B >. = { { A } , { A , B } }
4	3	inteqi 3828	. . . 4 |- |^| <. A , B >. = |^| { { A } , { A , B } }
5	1	snex 4164	. . . . . 6 |- { A } e. _V
6		prexg 4189	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
7	1, 2, 6	mp2an 423	. . . . . 6 |- { A , B } e. _V
8	5, 7	intpr 3856	. . . . 5 |- |^| { { A } , { A , B } } = ( { A } i^i { A , B } )
9		snsspr1 3721	. . . . . 6 |- { A } C_ { A , B }
10		df-ss 3129	. . . . . 6 |- ( { A } C_ { A , B } <-> ( { A } i^i { A , B } ) = { A } )
11	9, 10	mpbi 144	. . . . 5 |- ( { A } i^i { A , B } ) = { A }
12	8, 11	eqtri 2186	. . . 4 |- |^| { { A } , { A , B } } = { A }
13	4, 12	eqtri 2186	. . 3 |- |^| <. A , B >. = { A }
14	13	inteqi 3828	. 2 |- |^| |^| <. A , B >. = |^| { A }
15	1	intsn 3859	. 2 |- |^| { A } = A
16	14, 15	eqtri 2186	1 |- |^| |^| <. A , B >. = A

Syntax hints:   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   i^i cin 3115   C_ wss 3116   {csn 3576   {cpr 3577   <.cop 3579   |^|cint 3824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-int 3825

This theorem is referenced by:  elreldm  4830  op2ndb  5087  1stval2  6123  fundmen  6772  xpsnen  6787