Theorem op1stb 4513

Description: Extract the first member of an ordered pair. Theorem 73 of [Suppes] p. 42. (Contributed by NM, 25-Nov-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1stb.1	|- A e. _V
op1stb.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op1stb	|- |^| |^| <. A , B >. = A

Proof of Theorem op1stb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1stb.1	. . . . . 6 |- A e. _V
2		op1stb.2	. . . . . 6 |- B e. _V
3	1, 2	dfop 3807	. . . . 5 |- <. A , B >. = { { A } , { A , B } }
4	3	inteqi 3878	. . . 4 |- |^| <. A , B >. = |^| { { A } , { A , B } }
5	1	snex 4218	. . . . . 6 |- { A } e. _V
6		prexg 4244	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
7	1, 2, 6	mp2an 426	. . . . . 6 |- { A , B } e. _V
8	5, 7	intpr 3906	. . . . 5 |- |^| { { A } , { A , B } } = ( { A } i^i { A , B } )
9		snsspr1 3770	. . . . . 6 |- { A } C_ { A , B }
10		df-ss 3170	. . . . . 6 |- ( { A } C_ { A , B } <-> ( { A } i^i { A , B } ) = { A } )
11	9, 10	mpbi 145	. . . . 5 |- ( { A } i^i { A , B } ) = { A }
12	8, 11	eqtri 2217	. . . 4 |- |^| { { A } , { A , B } } = { A }
13	4, 12	eqtri 2217	. . 3 |- |^| <. A , B >. = { A }
14	13	inteqi 3878	. 2 |- |^| |^| <. A , B >. = |^| { A }
15	1	intsn 3909	. 2 |- |^| { A } = A
16	14, 15	eqtri 2217	1 |- |^| |^| <. A , B >. = A

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   i^i cin 3156   C_ wss 3157   {csn 3622   {cpr 3623   <.cop 3625   |^|cint 3874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-int 3875

This theorem is referenced by:  elreldm  4892  op2ndb  5153  1stval2  6213  fundmen  6865  xpsnen  6880