Theorem op1stb 4604

Description: Extract the first member of an ordered pair. Theorem 73 of [Suppes] p. 42. (Contributed by NM, 25-Nov-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1stb.1	|- A e. _V
op1stb.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op1stb	|- |^| |^| <. A , B >. = A

Proof of Theorem op1stb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1stb.1	. . . . . 6 |- A e. _V
2		op1stb.2	. . . . . 6 |- B e. _V
3	1, 2	dfop 3887	. . . . 5 |- <. A , B >. = { { A } , { A , B } }
4	3	inteqi 3958	. . . 4 |- |^| <. A , B >. = |^| { { A } , { A , B } }
5	1	snex 4303	. . . . . 6 |- { A } e. _V
6		prexg 4330	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
7	1, 2, 6	mp2an 426	. . . . . 6 |- { A , B } e. _V
8	5, 7	intpr 3986	. . . . 5 |- |^| { { A } , { A , B } } = ( { A } i^i { A , B } )
9		snsspr1 3847	. . . . . 6 |- { A } C_ { A , B }
10		df-ss 3227	. . . . . 6 |- ( { A } C_ { A , B } <-> ( { A } i^i { A , B } ) = { A } )
11	9, 10	mpbi 145	. . . . 5 |- ( { A } i^i { A , B } ) = { A }
12	8, 11	eqtri 2255	. . . 4 |- |^| { { A } , { A , B } } = { A }
13	4, 12	eqtri 2255	. . 3 |- |^| <. A , B >. = { A }
14	13	inteqi 3958	. 2 |- |^| |^| <. A , B >. = |^| { A }
15	1	intsn 3989	. 2 |- |^| { A } = A
16	14, 15	eqtri 2255	1 |- |^| |^| <. A , B >. = A

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   i^i cin 3213   C_ wss 3214   {csn 3694   {cpr 3695   <.cop 3697   |^|cint 3954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-int 3955

This theorem is referenced by:  elreldm  4988  op2ndb  5251  1stval2  6362  fundmen  7060  xpsnen  7085