Theorem op1stb 4463

Description: Extract the first member of an ordered pair. Theorem 73 of [Suppes] p. 42. (Contributed by NM, 25-Nov-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1stb.1	|- A e. _V
op1stb.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op1stb	|- |^| |^| <. A , B >. = A

Proof of Theorem op1stb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1stb.1	. . . . . 6 |- A e. _V
2		op1stb.2	. . . . . 6 |- B e. _V
3	1, 2	dfop 3764	. . . . 5 |- <. A , B >. = { { A } , { A , B } }
4	3	inteqi 3835	. . . 4 |- |^| <. A , B >. = |^| { { A } , { A , B } }
5	1	snex 4171	. . . . . 6 |- { A } e. _V
6		prexg 4196	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
7	1, 2, 6	mp2an 424	. . . . . 6 |- { A , B } e. _V
8	5, 7	intpr 3863	. . . . 5 |- |^| { { A } , { A , B } } = ( { A } i^i { A , B } )
9		snsspr1 3728	. . . . . 6 |- { A } C_ { A , B }
10		df-ss 3134	. . . . . 6 |- ( { A } C_ { A , B } <-> ( { A } i^i { A , B } ) = { A } )
11	9, 10	mpbi 144	. . . . 5 |- ( { A } i^i { A , B } ) = { A }
12	8, 11	eqtri 2191	. . . 4 |- |^| { { A } , { A , B } } = { A }
13	4, 12	eqtri 2191	. . 3 |- |^| <. A , B >. = { A }
14	13	inteqi 3835	. 2 |- |^| |^| <. A , B >. = |^| { A }
15	1	intsn 3866	. 2 |- |^| { A } = A
16	14, 15	eqtri 2191	1 |- |^| |^| <. A , B >. = A

Syntax hints:   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   i^i cin 3120   C_ wss 3121   {csn 3583   {cpr 3584   <.cop 3586   |^|cint 3831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-int 3832

This theorem is referenced by:  elreldm  4837  op2ndb  5094  1stval2  6134  fundmen  6784  xpsnen  6799