Theorem op1stb 4575

Description: Extract the first member of an ordered pair. Theorem 73 of [Suppes] p. 42. (Contributed by NM, 25-Nov-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1stb.1	|- A e. _V
op1stb.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op1stb	|- |^| |^| <. A , B >. = A

Proof of Theorem op1stb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1stb.1	. . . . . 6 |- A e. _V
2		op1stb.2	. . . . . 6 |- B e. _V
3	1, 2	dfop 3861	. . . . 5 |- <. A , B >. = { { A } , { A , B } }
4	3	inteqi 3932	. . . 4 |- |^| <. A , B >. = |^| { { A } , { A , B } }
5	1	snex 4275	. . . . . 6 |- { A } e. _V
6		prexg 4301	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
7	1, 2, 6	mp2an 426	. . . . . 6 |- { A , B } e. _V
8	5, 7	intpr 3960	. . . . 5 |- |^| { { A } , { A , B } } = ( { A } i^i { A , B } )
9		snsspr1 3821	. . . . . 6 |- { A } C_ { A , B }
10		df-ss 3213	. . . . . 6 |- ( { A } C_ { A , B } <-> ( { A } i^i { A , B } ) = { A } )
11	9, 10	mpbi 145	. . . . 5 |- ( { A } i^i { A , B } ) = { A }
12	8, 11	eqtri 2252	. . . 4 |- |^| { { A } , { A , B } } = { A }
13	4, 12	eqtri 2252	. . 3 |- |^| <. A , B >. = { A }
14	13	inteqi 3932	. 2 |- |^| |^| <. A , B >. = |^| { A }
15	1	intsn 3963	. 2 |- |^| { A } = A
16	14, 15	eqtri 2252	1 |- |^| |^| <. A , B >. = A

Syntax hints:   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   i^i cin 3199   C_ wss 3200   {csn 3669   {cpr 3670   <.cop 3672   |^|cint 3928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-int 3929

This theorem is referenced by:  elreldm  4958  op2ndb  5220  1stval2  6318  fundmen  6981  xpsnen  7005