ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  op1stb Unicode version

Theorem op1stb 4403
Description: Extract the first member of an ordered pair. Theorem 73 of [Suppes] p. 42. (Contributed by NM, 25-Nov-2003.)
Hypotheses
Ref Expression
op1stb.1  |-  A  e. 
_V
op1stb.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
op1stb  |-  |^| |^| <. A ,  B >.  =  A

Proof of Theorem op1stb
StepHypRef Expression
1 op1stb.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
2 op1stb.2 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
31, 2dfop 3708 . . . . 5  |-  <. A ,  B >.  =  { { A } ,  { A ,  B } }
43inteqi 3779 . . . 4  |-  |^| <. A ,  B >.  =  |^| { { A } ,  { A ,  B } }
51snex 4113 . . . . . 6  |-  { A }  e.  _V
6 prexg 4137 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  { A ,  B }  e.  _V )
71, 2, 6mp2an 423 . . . . . 6  |-  { A ,  B }  e.  _V
85, 7intpr 3807 . . . . 5  |-  |^| { { A } ,  { A ,  B } }  =  ( { A }  i^i  { A ,  B }
)
9 snsspr1 3672 . . . . . 6  |-  { A }  C_  { A ,  B }
10 df-ss 3085 . . . . . 6  |-  ( { A }  C_  { A ,  B }  <->  ( { A }  i^i  { A ,  B } )  =  { A } )
119, 10mpbi 144 . . . . 5  |-  ( { A }  i^i  { A ,  B }
)  =  { A }
128, 11eqtri 2161 . . . 4  |-  |^| { { A } ,  { A ,  B } }  =  { A }
134, 12eqtri 2161 . . 3  |-  |^| <. A ,  B >.  =  { A }
1413inteqi 3779 . 2  |-  |^| |^| <. A ,  B >.  =  |^| { A }
151intsn 3810 . 2  |-  |^| { A }  =  A
1614, 15eqtri 2161 1  |-  |^| |^| <. A ,  B >.  =  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1332    e. wcel 1481   _Vcvv 2687    i^i cin 3071    C_ wss 3072   {csn 3528   {cpr 3529   <.cop 3531   |^|cint 3775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-v 2689  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-int 3776
This theorem is referenced by:  elreldm  4769  op2ndb  5026  1stval2  6057  fundmen  6704  xpsnen  6719
  Copyright terms: Public domain W3C validator