Theorem op1stb 4509

Description: Extract the first member of an ordered pair. Theorem 73 of [Suppes] p. 42. (Contributed by NM, 25-Nov-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1stb.1	|- A e. _V
op1stb.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op1stb	|- |^| |^| <. A , B >. = A

Proof of Theorem op1stb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1stb.1	. . . . . 6 |- A e. _V
2		op1stb.2	. . . . . 6 |- B e. _V
3	1, 2	dfop 3803	. . . . 5 |- <. A , B >. = { { A } , { A , B } }
4	3	inteqi 3874	. . . 4 |- |^| <. A , B >. = |^| { { A } , { A , B } }
5	1	snex 4214	. . . . . 6 |- { A } e. _V
6		prexg 4240	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
7	1, 2, 6	mp2an 426	. . . . . 6 |- { A , B } e. _V
8	5, 7	intpr 3902	. . . . 5 |- |^| { { A } , { A , B } } = ( { A } i^i { A , B } )
9		snsspr1 3766	. . . . . 6 |- { A } C_ { A , B }
10		df-ss 3166	. . . . . 6 |- ( { A } C_ { A , B } <-> ( { A } i^i { A , B } ) = { A } )
11	9, 10	mpbi 145	. . . . 5 |- ( { A } i^i { A , B } ) = { A }
12	8, 11	eqtri 2214	. . . 4 |- |^| { { A } , { A , B } } = { A }
13	4, 12	eqtri 2214	. . 3 |- |^| <. A , B >. = { A }
14	13	inteqi 3874	. 2 |- |^| |^| <. A , B >. = |^| { A }
15	1	intsn 3905	. 2 |- |^| { A } = A
16	14, 15	eqtri 2214	1 |- |^| |^| <. A , B >. = A

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   i^i cin 3152   C_ wss 3153   {csn 3618   {cpr 3619   <.cop 3621   |^|cint 3870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-int 3871

This theorem is referenced by:  elreldm  4888  op2ndb  5149  1stval2  6208  fundmen  6860  xpsnen  6875