Theorem op1stb 4526

Description: Extract the first member of an ordered pair. Theorem 73 of [Suppes] p. 42. (Contributed by NM, 25-Nov-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1stb.1	|- A e. _V
op1stb.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op1stb	|- |^| |^| <. A , B >. = A

Proof of Theorem op1stb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1stb.1	. . . . . 6 |- A e. _V
2		op1stb.2	. . . . . 6 |- B e. _V
3	1, 2	dfop 3818	. . . . 5 |- <. A , B >. = { { A } , { A , B } }
4	3	inteqi 3889	. . . 4 |- |^| <. A , B >. = |^| { { A } , { A , B } }
5	1	snex 4230	. . . . . 6 |- { A } e. _V
6		prexg 4256	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
7	1, 2, 6	mp2an 426	. . . . . 6 |- { A , B } e. _V
8	5, 7	intpr 3917	. . . . 5 |- |^| { { A } , { A , B } } = ( { A } i^i { A , B } )
9		snsspr1 3781	. . . . . 6 |- { A } C_ { A , B }
10		df-ss 3179	. . . . . 6 |- ( { A } C_ { A , B } <-> ( { A } i^i { A , B } ) = { A } )
11	9, 10	mpbi 145	. . . . 5 |- ( { A } i^i { A , B } ) = { A }
12	8, 11	eqtri 2226	. . . 4 |- |^| { { A } , { A , B } } = { A }
13	4, 12	eqtri 2226	. . 3 |- |^| <. A , B >. = { A }
14	13	inteqi 3889	. 2 |- |^| |^| <. A , B >. = |^| { A }
15	1	intsn 3920	. 2 |- |^| { A } = A
16	14, 15	eqtri 2226	1 |- |^| |^| <. A , B >. = A

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   i^i cin 3165   C_ wss 3166   {csn 3633   {cpr 3634   <.cop 3636   |^|cint 3885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-int 3886

This theorem is referenced by:  elreldm  4905  op2ndb  5167  1stval2  6243  fundmen  6900  xpsnen  6918