Theorem op1stb 4569

Description: Extract the first member of an ordered pair. Theorem 73 of [Suppes] p. 42. (Contributed by NM, 25-Nov-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1stb.1	|- A e. _V
op1stb.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op1stb	|- |^| |^| <. A , B >. = A

Proof of Theorem op1stb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1stb.1	. . . . . 6 |- A e. _V
2		op1stb.2	. . . . . 6 |- B e. _V
3	1, 2	dfop 3856	. . . . 5 |- <. A , B >. = { { A } , { A , B } }
4	3	inteqi 3927	. . . 4 |- |^| <. A , B >. = |^| { { A } , { A , B } }
5	1	snex 4269	. . . . . 6 |- { A } e. _V
6		prexg 4295	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
7	1, 2, 6	mp2an 426	. . . . . 6 |- { A , B } e. _V
8	5, 7	intpr 3955	. . . . 5 |- |^| { { A } , { A , B } } = ( { A } i^i { A , B } )
9		snsspr1 3816	. . . . . 6 |- { A } C_ { A , B }
10		df-ss 3210	. . . . . 6 |- ( { A } C_ { A , B } <-> ( { A } i^i { A , B } ) = { A } )
11	9, 10	mpbi 145	. . . . 5 |- ( { A } i^i { A , B } ) = { A }
12	8, 11	eqtri 2250	. . . 4 |- |^| { { A } , { A , B } } = { A }
13	4, 12	eqtri 2250	. . 3 |- |^| <. A , B >. = { A }
14	13	inteqi 3927	. 2 |- |^| |^| <. A , B >. = |^| { A }
15	1	intsn 3958	. 2 |- |^| { A } = A
16	14, 15	eqtri 2250	1 |- |^| |^| <. A , B >. = A

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   i^i cin 3196   C_ wss 3197   {csn 3666   {cpr 3667   <.cop 3669   |^|cint 3923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-int 3924

This theorem is referenced by:  elreldm  4950  op2ndb  5212  1stval2  6301  fundmen  6959  xpsnen  6980