Theorem op1stb 4337

Description: Extract the first member of an ordered pair. Theorem 73 of [Suppes] p. 42. (Contributed by NM, 25-Nov-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1stb.1	|- A e. _V
op1stb.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op1stb	|- |^| |^| <. A , B >. = A

Proof of Theorem op1stb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1stb.1	. . . . . 6 |- A e. _V
2		op1stb.2	. . . . . 6 |- B e. _V
3	1, 2	dfop 3651	. . . . 5 |- <. A , B >. = { { A } , { A , B } }
4	3	inteqi 3722	. . . 4 |- |^| <. A , B >. = |^| { { A } , { A , B } }
5	1	snex 4049	. . . . . 6 |- { A } e. _V
6		prexg 4071	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
7	1, 2, 6	mp2an 420	. . . . . 6 |- { A , B } e. _V
8	5, 7	intpr 3750	. . . . 5 |- |^| { { A } , { A , B } } = ( { A } i^i { A , B } )
9		snsspr1 3615	. . . . . 6 |- { A } C_ { A , B }
10		df-ss 3034	. . . . . 6 |- ( { A } C_ { A , B } <-> ( { A } i^i { A , B } ) = { A } )
11	9, 10	mpbi 144	. . . . 5 |- ( { A } i^i { A , B } ) = { A }
12	8, 11	eqtri 2120	. . . 4 |- |^| { { A } , { A , B } } = { A }
13	4, 12	eqtri 2120	. . 3 |- |^| <. A , B >. = { A }
14	13	inteqi 3722	. 2 |- |^| |^| <. A , B >. = |^| { A }
15	1	intsn 3753	. 2 |- |^| { A } = A
16	14, 15	eqtri 2120	1 |- |^| |^| <. A , B >. = A

Syntax hints:   = wceq 1299   e. wcel 1448   _Vcvv 2641   i^i cin 3020   C_ wss 3021   {csn 3474   {cpr 3475   <.cop 3477   |^|cint 3718

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-v 2643  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-int 3719

This theorem is referenced by:  elreldm  4703  op2ndb  4958  1stval2  5984  fundmen  6630  xpsnen  6644