Theorem eldifsni 3843

Description: Membership in a set with an element removed. (Contributed by NM, 10-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eldifsni	|- ( A e. ( B \ { C } ) -> A =/= C )

Proof of Theorem eldifsni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 3841	. 2 |- ( A e. ( B \ { C } ) <-> ( A e. B /\ A =/= C ) )
2	1	simprbi 275	1 |- ( A e. ( B \ { C } ) -> A =/= C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   =/= wne 2420   \ cdif 3217   {csn 3709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-v 2823  df-dif 3222  df-sn 3715

This theorem is used by:  neldifsn  3844  suppssov1  6302  suppssfvg  6507  elfi2  7311  fiuni  7317  fifo  7319  en2other2  7554  oddprm  13067  ringelnzr  14603  psrridmfi  15200  lgslem1  16324  lgseisenlem2  16395  lgseisenlem4  16397  lgseisen  16398  lgsquadlem1  16401  lgsquad2  16407  m1lgs  16409