Theorem fifo 7055

Description: Describe a surjection from nonempty finite sets to finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fifo.1	|- F = ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) |-> |^| y )

Assertion

Ref	Expression
fifo	|- ( A e. V -> F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ( fi ` A ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, V

Allowed substitution hint:   F( y)

Proof of Theorem fifo

Dummy variables x w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsni 3752	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y =/= (/) )
2		eldifi 3286	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y e. ( ~P A i^i Fin ) )
3	2	elin2d 3354	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y e. Fin )
4		fin0 6955	. . . . . . . 8 |- ( y e. Fin -> ( y =/= (/) <-> E. w w e. y ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> ( y =/= (/) <-> E. w w e. y ) )
6	1, 5	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> E. w w e. y )
7		inteximm 4183	. . . . . 6 |- ( E. w w e. y -> |^| y e. _V )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> |^| y e. _V )
9	8	rgen 2550	. . . 4 |- A. y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) |^| y e. _V
10		fifo.1	. . . . 5 |- F = ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) |-> |^| y )
11	10	fnmpt 5387	. . . 4 |- ( A. y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) |^| y e. _V -> F Fn ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) )
12	9, 11	mp1i 10	. . 3 |- ( A e. V -> F Fn ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) )
13		dffn4 5489	. . 3 |- ( F Fn ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) <-> F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ran F )
14	12, 13	sylib 122	. 2 |- ( A e. V -> F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ran F )
15		elfi2 7047	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( x e. ( fi ` A ) <-> E. y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) x = |^| y ) )
16	10	elrnmpt 4916	. . . . . 6 |- ( x e. _V -> ( x e. ran F <-> E. y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) x = |^| y ) )
17	16	elv 2767	. . . . 5 |- ( x e. ran F <-> E. y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) x = |^| y )
18	15, 17	bitr4di 198	. . . 4 |- ( A e. V -> ( x e. ( fi ` A ) <-> x e. ran F ) )
19	18	eqrdv 2194	. . 3 |- ( A e. V -> ( fi ` A ) = ran F )
20		foeq3 5481	. . 3 |- ( ( fi ` A ) = ran F -> ( F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ( fi ` A ) <-> F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ran F ) )
21	19, 20	syl 14	. 2 |- ( A e. V -> ( F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ( fi ` A ) <-> F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ran F ) )
22	14, 21	mpbird 167	1 |- ( A e. V -> F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ( fi ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   =/= wne 2367   A.wral 2475   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   \ cdif 3154   i^i cin 3156   (/)c0 3451   ~Pcpw 3606   {csn 3623   |^|cint 3875   |-> cmpt 4095   ran crn 4665   Fn wfn 5254   -onto->wfo 5257   ` cfv 5259   Fincfn 6808   ficfi 7043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-er 6601  df-en 6809  df-fin 6811  df-fi 7044

This theorem is referenced by: (None)