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Theorem fifo 6978
Description: Describe a surjection from nonempty finite sets to finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fifo.1  |-  F  =  ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  |->  |^| y )
Assertion
Ref Expression
fifo  |-  ( A  e.  V  ->  F : ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) -onto-> ( fi `  A ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, V
Allowed substitution hint:    F( y)

Proof of Theorem fifo
Dummy variables  x  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifsni 3721 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
y  =/=  (/) )
2 eldifi 3257 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
32elin2d 3325 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
y  e.  Fin )
4 fin0 6884 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
y  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  y )
)
53, 4syl 14 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
( y  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  y )
)
61, 5mpbid 147 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  ->  E. w  w  e.  y )
7 inteximm 4149 . . . . . 6  |-  ( E. w  w  e.  y  ->  |^| y  e.  _V )
86, 7syl 14 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  ->  |^| y  e.  _V )
98rgen 2530 . . . 4  |-  A. y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) |^| y  e.  _V
10 fifo.1 . . . . 5  |-  F  =  ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  |->  |^| y )
1110fnmpt 5342 . . . 4  |-  ( A. y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) |^| y  e.  _V  ->  F  Fn  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )
129, 11mp1i 10 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  F  Fn  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )
13 dffn4 5444 . . 3  |-  ( F  Fn  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  <->  F :
( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) -onto-> ran  F
)
1412, 13sylib 122 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  F : ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) -onto-> ran 
F )
15 elfi2 6970 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( fi
`  A )  <->  E. y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) x  = 
|^| y ) )
1610elrnmpt 4876 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  e.  ran  F  <->  E. y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) x  =  |^| y
) )
1716elv 2741 . . . . 5  |-  ( x  e.  ran  F  <->  E. y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) x  = 
|^| y )
1815, 17bitr4di 198 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( fi
`  A )  <->  x  e.  ran  F ) )
1918eqrdv 2175 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( fi `  A )  =  ran  F )
20 foeq3 5436 . . 3  |-  ( ( fi `  A )  =  ran  F  -> 
( F : ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) -onto-> ( fi `  A )  <->  F :
( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) -onto-> ran  F
) )
2119, 20syl 14 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( F : ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) -onto-> ( fi `  A )  <-> 
F : ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )
-onto->
ran  F ) )
2214, 21mpbird 167 1  |-  ( A  e.  V  ->  F : ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) -onto-> ( fi `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148    =/= wne 2347   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2737    \ cdif 3126    i^i cin 3128   (/)c0 3422   ~Pcpw 3575   {csn 3592   |^|cint 3844    |-> cmpt 4064   ran crn 4627    Fn wfn 5211   -onto->wfo 5214   ` cfv 5216   Fincfn 6739   ficfi 6966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-er 6534  df-en 6740  df-fin 6742  df-fi 6967
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