Theorem fifo 7222

Description: Describe a surjection from nonempty finite sets to finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fifo.1	|- F = ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) |-> |^| y )

Assertion

Ref	Expression
fifo	|- ( A e. V -> F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ( fi ` A ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, V

Allowed substitution hint:   F( y)

Proof of Theorem fifo

Dummy variables x w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsni 3806	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y =/= (/) )
2		eldifi 3331	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y e. ( ~P A i^i Fin ) )
3	2	elin2d 3399	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y e. Fin )
4		fin0 7117	. . . . . . . 8 |- ( y e. Fin -> ( y =/= (/) <-> E. w w e. y ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> ( y =/= (/) <-> E. w w e. y ) )
6	1, 5	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> E. w w e. y )
7		inteximm 4244	. . . . . 6 |- ( E. w w e. y -> |^| y e. _V )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> |^| y e. _V )
9	8	rgen 2586	. . . 4 |- A. y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) |^| y e. _V
10		fifo.1	. . . . 5 |- F = ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) |-> |^| y )
11	10	fnmpt 5466	. . . 4 |- ( A. y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) |^| y e. _V -> F Fn ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) )
12	9, 11	mp1i 10	. . 3 |- ( A e. V -> F Fn ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) )
13		dffn4 5574	. . 3 |- ( F Fn ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) <-> F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ran F )
14	12, 13	sylib 122	. 2 |- ( A e. V -> F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ran F )
15		elfi2 7214	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( x e. ( fi ` A ) <-> E. y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) x = |^| y ) )
16	10	elrnmpt 4987	. . . . . 6 |- ( x e. _V -> ( x e. ran F <-> E. y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) x = |^| y ) )
17	16	elv 2807	. . . . 5 |- ( x e. ran F <-> E. y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) x = |^| y )
18	15, 17	bitr4di 198	. . . 4 |- ( A e. V -> ( x e. ( fi ` A ) <-> x e. ran F ) )
19	18	eqrdv 2229	. . 3 |- ( A e. V -> ( fi ` A ) = ran F )
20		foeq3 5566	. . 3 |- ( ( fi ` A ) = ran F -> ( F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ( fi ` A ) <-> F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ran F ) )
21	19, 20	syl 14	. 2 |- ( A e. V -> ( F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ( fi ` A ) <-> F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ran F ) )
22	14, 21	mpbird 167	1 |- ( A e. V -> F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ( fi ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   =/= wne 2403   A.wral 2511   E.wrex 2512   _Vcvv 2803   \ cdif 3198   i^i cin 3200   (/)c0 3496   ~Pcpw 3656   {csn 3673   |^|cint 3933   |-> cmpt 4155   ran crn 4732   Fn wfn 5328   -onto->wfo 5331   ` cfv 5333   Fincfn 6952   ficfi 7210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955  df-fi 7211

This theorem is referenced by: (None)