Theorem fifo 7143

Description: Describe a surjection from nonempty finite sets to finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fifo.1	|- F = ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) |-> |^| y )

Assertion

Ref	Expression
fifo	|- ( A e. V -> F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ( fi ` A ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, V

Allowed substitution hint:   F( y)

Proof of Theorem fifo

Dummy variables x w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsni 3796	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y =/= (/) )
2		eldifi 3326	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y e. ( ~P A i^i Fin ) )
3	2	elin2d 3394	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y e. Fin )
4		fin0 7043	. . . . . . . 8 |- ( y e. Fin -> ( y =/= (/) <-> E. w w e. y ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> ( y =/= (/) <-> E. w w e. y ) )
6	1, 5	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> E. w w e. y )
7		inteximm 4232	. . . . . 6 |- ( E. w w e. y -> |^| y e. _V )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> |^| y e. _V )
9	8	rgen 2583	. . . 4 |- A. y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) |^| y e. _V
10		fifo.1	. . . . 5 |- F = ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) |-> |^| y )
11	10	fnmpt 5449	. . . 4 |- ( A. y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) |^| y e. _V -> F Fn ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) )
12	9, 11	mp1i 10	. . 3 |- ( A e. V -> F Fn ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) )
13		dffn4 5553	. . 3 |- ( F Fn ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) <-> F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ran F )
14	12, 13	sylib 122	. 2 |- ( A e. V -> F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ran F )
15		elfi2 7135	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( x e. ( fi ` A ) <-> E. y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) x = |^| y ) )
16	10	elrnmpt 4972	. . . . . 6 |- ( x e. _V -> ( x e. ran F <-> E. y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) x = |^| y ) )
17	16	elv 2803	. . . . 5 |- ( x e. ran F <-> E. y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) x = |^| y )
18	15, 17	bitr4di 198	. . . 4 |- ( A e. V -> ( x e. ( fi ` A ) <-> x e. ran F ) )
19	18	eqrdv 2227	. . 3 |- ( A e. V -> ( fi ` A ) = ran F )
20		foeq3 5545	. . 3 |- ( ( fi ` A ) = ran F -> ( F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ( fi ` A ) <-> F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ran F ) )
21	19, 20	syl 14	. 2 |- ( A e. V -> ( F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ( fi ` A ) <-> F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ran F ) )
22	14, 21	mpbird 167	1 |- ( A e. V -> F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ( fi ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   =/= wne 2400   A.wral 2508   E.wrex 2509   _Vcvv 2799   \ cdif 3194   i^i cin 3196   (/)c0 3491   ~Pcpw 3649   {csn 3666   |^|cint 3922   |-> cmpt 4144   ran crn 4719   Fn wfn 5312   -onto->wfo 5315   ` cfv 5317   Fincfn 6885   ficfi 7131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-er 6678  df-en 6886  df-fin 6888  df-fi 7132

This theorem is referenced by: (None)