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Theorem fifo 6834
Description: Describe a surjection from nonempty finite sets to finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fifo.1  |-  F  =  ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  |->  |^| y )
Assertion
Ref Expression
fifo  |-  ( A  e.  V  ->  F : ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) -onto-> ( fi `  A ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, V
Allowed substitution hint:    F( y)

Proof of Theorem fifo
Dummy variables  x  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifsni 3620 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
y  =/=  (/) )
2 eldifi 3166 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
32elin2d 3234 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
y  e.  Fin )
4 fin0 6745 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
y  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  y )
)
53, 4syl 14 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
( y  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  y )
)
61, 5mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  ->  E. w  w  e.  y )
7 inteximm 4042 . . . . . 6  |-  ( E. w  w  e.  y  ->  |^| y  e.  _V )
86, 7syl 14 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  ->  |^| y  e.  _V )
98rgen 2460 . . . 4  |-  A. y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) |^| y  e.  _V
10 fifo.1 . . . . 5  |-  F  =  ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  |->  |^| y )
1110fnmpt 5217 . . . 4  |-  ( A. y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) |^| y  e.  _V  ->  F  Fn  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )
129, 11mp1i 10 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  F  Fn  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )
13 dffn4 5319 . . 3  |-  ( F  Fn  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  <->  F :
( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) -onto-> ran  F
)
1412, 13sylib 121 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  F : ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) -onto-> ran 
F )
15 elfi2 6826 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( fi
`  A )  <->  E. y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) x  = 
|^| y ) )
1610elrnmpt 4756 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  e.  ran  F  <->  E. y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) x  =  |^| y
) )
1716elv 2662 . . . . 5  |-  ( x  e.  ran  F  <->  E. y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) x  = 
|^| y )
1815, 17syl6bbr 197 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( fi
`  A )  <->  x  e.  ran  F ) )
1918eqrdv 2113 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( fi `  A )  =  ran  F )
20 foeq3 5311 . . 3  |-  ( ( fi `  A )  =  ran  F  -> 
( F : ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) -onto-> ( fi `  A )  <->  F :
( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) -onto-> ran  F
) )
2119, 20syl 14 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( F : ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) -onto-> ( fi `  A )  <-> 
F : ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )
-onto->
ran  F ) )
2214, 21mpbird 166 1  |-  ( A  e.  V  ->  F : ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) -onto-> ( fi `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463    =/= wne 2283   A.wral 2391   E.wrex 2392   _Vcvv 2658    \ cdif 3036    i^i cin 3038   (/)c0 3331   ~Pcpw 3478   {csn 3495   |^|cint 3739    |-> cmpt 3957   ran crn 4508    Fn wfn 5086   -onto->wfo 5089   ` cfv 5091   Fincfn 6600   ficfi 6822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-er 6395  df-en 6601  df-fin 6603  df-fi 6823
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