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Theorem fifo 6937
Description: Describe a surjection from nonempty finite sets to finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fifo.1  |-  F  =  ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  |->  |^| y )
Assertion
Ref Expression
fifo  |-  ( A  e.  V  ->  F : ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) -onto-> ( fi `  A ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, V
Allowed substitution hint:    F( y)

Proof of Theorem fifo
Dummy variables  x  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifsni 3700 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
y  =/=  (/) )
2 eldifi 3240 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
32elin2d 3308 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
y  e.  Fin )
4 fin0 6843 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
y  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  y )
)
53, 4syl 14 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
( y  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  y )
)
61, 5mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  ->  E. w  w  e.  y )
7 inteximm 4123 . . . . . 6  |-  ( E. w  w  e.  y  ->  |^| y  e.  _V )
86, 7syl 14 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  ->  |^| y  e.  _V )
98rgen 2517 . . . 4  |-  A. y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) |^| y  e.  _V
10 fifo.1 . . . . 5  |-  F  =  ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  |->  |^| y )
1110fnmpt 5309 . . . 4  |-  ( A. y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) |^| y  e.  _V  ->  F  Fn  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )
129, 11mp1i 10 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  F  Fn  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )
13 dffn4 5411 . . 3  |-  ( F  Fn  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  <->  F :
( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) -onto-> ran  F
)
1412, 13sylib 121 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  F : ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) -onto-> ran 
F )
15 elfi2 6929 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( fi
`  A )  <->  E. y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) x  = 
|^| y ) )
1610elrnmpt 4848 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  e.  ran  F  <->  E. y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) x  =  |^| y
) )
1716elv 2726 . . . . 5  |-  ( x  e.  ran  F  <->  E. y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) x  = 
|^| y )
1815, 17bitr4di 197 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( fi
`  A )  <->  x  e.  ran  F ) )
1918eqrdv 2162 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( fi `  A )  =  ran  F )
20 foeq3 5403 . . 3  |-  ( ( fi `  A )  =  ran  F  -> 
( F : ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) -onto-> ( fi `  A )  <->  F :
( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) -onto-> ran  F
) )
2119, 20syl 14 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( F : ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) -onto-> ( fi `  A )  <-> 
F : ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )
-onto->
ran  F ) )
2214, 21mpbird 166 1  |-  ( A  e.  V  ->  F : ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) -onto-> ( fi `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    = wceq 1342   E.wex 1479    e. wcel 2135    =/= wne 2334   A.wral 2442   E.wrex 2443   _Vcvv 2722    \ cdif 3109    i^i cin 3111   (/)c0 3405   ~Pcpw 3554   {csn 3571   |^|cint 3819    |-> cmpt 4038   ran crn 4600    Fn wfn 5178   -onto->wfo 5181   ` cfv 5183   Fincfn 6698   ficfi 6925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4095  ax-nul 4103  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-un 4406  ax-iinf 4560
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2724  df-sbc 2948  df-csb 3042  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-nul 3406  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-int 3820  df-br 3978  df-opab 4039  df-mpt 4040  df-id 4266  df-suc 4344  df-iom 4563  df-xp 4605  df-rel 4606  df-cnv 4607  df-co 4608  df-dm 4609  df-rn 4610  df-res 4611  df-ima 4612  df-iota 5148  df-fun 5185  df-fn 5186  df-f 5187  df-f1 5188  df-fo 5189  df-f1o 5190  df-fv 5191  df-er 6493  df-en 6699  df-fin 6701  df-fi 6926
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