Theorem fifo 6993

Description: Describe a surjection from nonempty finite sets to finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fifo.1	|- F = ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) |-> |^| y )

Assertion

Ref	Expression
fifo	|- ( A e. V -> F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ( fi ` A ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, V

Allowed substitution hint:   F( y)

Proof of Theorem fifo

Dummy variables x w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsni 3733	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y =/= (/) )
2		eldifi 3269	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y e. ( ~P A i^i Fin ) )
3	2	elin2d 3337	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y e. Fin )
4		fin0 6899	. . . . . . . 8 |- ( y e. Fin -> ( y =/= (/) <-> E. w w e. y ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> ( y =/= (/) <-> E. w w e. y ) )
6	1, 5	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> E. w w e. y )
7		inteximm 4161	. . . . . 6 |- ( E. w w e. y -> |^| y e. _V )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> |^| y e. _V )
9	8	rgen 2540	. . . 4 |- A. y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) |^| y e. _V
10		fifo.1	. . . . 5 |- F = ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) |-> |^| y )
11	10	fnmpt 5354	. . . 4 |- ( A. y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) |^| y e. _V -> F Fn ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) )
12	9, 11	mp1i 10	. . 3 |- ( A e. V -> F Fn ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) )
13		dffn4 5456	. . 3 |- ( F Fn ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) <-> F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ran F )
14	12, 13	sylib 122	. 2 |- ( A e. V -> F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ran F )
15		elfi2 6985	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( x e. ( fi ` A ) <-> E. y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) x = |^| y ) )
16	10	elrnmpt 4888	. . . . . 6 |- ( x e. _V -> ( x e. ran F <-> E. y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) x = |^| y ) )
17	16	elv 2753	. . . . 5 |- ( x e. ran F <-> E. y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) x = |^| y )
18	15, 17	bitr4di 198	. . . 4 |- ( A e. V -> ( x e. ( fi ` A ) <-> x e. ran F ) )
19	18	eqrdv 2185	. . 3 |- ( A e. V -> ( fi ` A ) = ran F )
20		foeq3 5448	. . 3 |- ( ( fi ` A ) = ran F -> ( F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ( fi ` A ) <-> F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ran F ) )
21	19, 20	syl 14	. 2 |- ( A e. V -> ( F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ( fi ` A ) <-> F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ran F ) )
22	14, 21	mpbird 167	1 |- ( A e. V -> F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ( fi ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1363   E.wex 1502   e. wcel 2158   =/= wne 2357   A.wral 2465   E.wrex 2466   _Vcvv 2749   \ cdif 3138   i^i cin 3140   (/)c0 3434   ~Pcpw 3587   {csn 3604   |^|cint 3856   |-> cmpt 4076   ran crn 4639   Fn wfn 5223   -onto->wfo 5226   ` cfv 5228   Fincfn 6754   ficfi 6981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-iinf 4599

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-er 6549  df-en 6755  df-fin 6757  df-fi 6982

This theorem is referenced by: (None)