Theorem fifo 7103

Description: Describe a surjection from nonempty finite sets to finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fifo.1	|- F = ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) |-> |^| y )

Assertion

Ref	Expression
fifo	|- ( A e. V -> F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ( fi ` A ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, V

Allowed substitution hint:   F( y)

Proof of Theorem fifo

Dummy variables x w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsni 3768	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y =/= (/) )
2		eldifi 3299	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y e. ( ~P A i^i Fin ) )
3	2	elin2d 3367	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y e. Fin )
4		fin0 7003	. . . . . . . 8 |- ( y e. Fin -> ( y =/= (/) <-> E. w w e. y ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> ( y =/= (/) <-> E. w w e. y ) )
6	1, 5	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> E. w w e. y )
7		inteximm 4204	. . . . . 6 |- ( E. w w e. y -> |^| y e. _V )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> |^| y e. _V )
9	8	rgen 2560	. . . 4 |- A. y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) |^| y e. _V
10		fifo.1	. . . . 5 |- F = ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) |-> |^| y )
11	10	fnmpt 5417	. . . 4 |- ( A. y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) |^| y e. _V -> F Fn ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) )
12	9, 11	mp1i 10	. . 3 |- ( A e. V -> F Fn ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) )
13		dffn4 5521	. . 3 |- ( F Fn ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) <-> F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ran F )
14	12, 13	sylib 122	. 2 |- ( A e. V -> F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ran F )
15		elfi2 7095	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( x e. ( fi ` A ) <-> E. y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) x = |^| y ) )
16	10	elrnmpt 4941	. . . . . 6 |- ( x e. _V -> ( x e. ran F <-> E. y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) x = |^| y ) )
17	16	elv 2777	. . . . 5 |- ( x e. ran F <-> E. y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) x = |^| y )
18	15, 17	bitr4di 198	. . . 4 |- ( A e. V -> ( x e. ( fi ` A ) <-> x e. ran F ) )
19	18	eqrdv 2204	. . 3 |- ( A e. V -> ( fi ` A ) = ran F )
20		foeq3 5513	. . 3 |- ( ( fi ` A ) = ran F -> ( F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ( fi ` A ) <-> F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ran F ) )
21	19, 20	syl 14	. 2 |- ( A e. V -> ( F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ( fi ` A ) <-> F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ran F ) )
22	14, 21	mpbird 167	1 |- ( A e. V -> F : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ( fi ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2177   =/= wne 2377   A.wral 2485   E.wrex 2486   _Vcvv 2773   \ cdif 3167   i^i cin 3169   (/)c0 3464   ~Pcpw 3621   {csn 3638   |^|cint 3894   |-> cmpt 4116   ran crn 4689   Fn wfn 5280   -onto->wfo 5283   ` cfv 5285   Fincfn 6845   ficfi 7091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-iinf 4649

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-er 6638  df-en 6846  df-fin 6848  df-fi 7092

This theorem is referenced by: (None)