Theorem lgslem1 15349

Description: When a is coprime to the prime p, a ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) is equivalent mod p to 1 or -u 1, and so adding 1 makes it equivalent to 0 or 2. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgslem1	|- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. { 0 , 2 } )

Proof of Theorem lgslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3286	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
2	1	3ad2ant2 1021	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> P e. Prime )
3		prmnn 12305	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> P e. NN )
5		simp1 999	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> A e. ZZ )
6		prmz 12306	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
7	2, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> P e. ZZ )
8	5, 7	gcdcomd 12168	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( A gcd P ) = ( P gcd A ) )
9		simp3 1001	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> -. P || A )
10		coprm 12339	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ ) -> ( -. P || A <-> ( P gcd A ) = 1 ) )
11	2, 5, 10	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( -. P || A <-> ( P gcd A ) = 1 ) )
12	9, 11	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( P gcd A ) = 1 )
13	8, 12	eqtrd 2229	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( A gcd P ) = 1 )
14		eulerth 12428	. . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd P ) = 1 ) -> ( ( A ^ ( phi ` P ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) )
15	4, 5, 13, 14	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( A ^ ( phi ` P ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) )
16		phiprm 12418	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Prime -> ( phi ` P ) = ( P - 1 ) )
17	2, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( phi ` P ) = ( P - 1 ) )
18		nnm1nn0 9309	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. NN0 )
19	4, 18	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( P - 1 ) e. NN0 )
20	17, 19	eqeltrd 2273	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( phi ` P ) e. NN0 )
21		zexpcl 10665	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( phi ` P ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( phi ` P ) ) e. ZZ )
22	5, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( A ^ ( phi ` P ) ) e. ZZ )
23		1zzd 9372	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> 1 e. ZZ )
24		moddvds 11983	. . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ ( A ^ ( phi ` P ) ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( ( A ^ ( phi ` P ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) <-> P || ( ( A ^ ( phi ` P ) ) - 1 ) ) )
25	4, 22, 23, 24	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( ( A ^ ( phi ` P ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) <-> P || ( ( A ^ ( phi ` P ) ) - 1 ) ) )
26	15, 25	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> P || ( ( A ^ ( phi ` P ) ) - 1 ) )
27	19	nn0cnd 9323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( P - 1 ) e. CC )
28		2cnd 9082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> 2 e. CC )
29		2ap0 9102	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 # 0
30	29	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> 2 # 0 )
31	27, 28, 30	divcanap1d 8837	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( P - 1 ) )
32	17, 31	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( phi ` P ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) )
33	32	oveq2d 5941	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( A ^ ( phi ` P ) ) = ( A ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) ) )
34	5	zcnd 9468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> A e. CC )
35		2nn0 9285	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN0
36	35	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> 2 e. NN0 )
37		oddprm 12455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
38	37	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
39	38	nnnn0d 9321	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
40	34, 36, 39	expmuld 10787	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( A ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) ) = ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ^ 2 ) )
41	33, 40	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( A ^ ( phi ` P ) ) = ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ^ 2 ) )
42	41	oveq1d 5940	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( A ^ ( phi ` P ) ) - 1 ) = ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ^ 2 ) - 1 ) )
43		sq1 10744	. . . . . . . 8 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
44	43	oveq2i 5936	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ^ 2 ) - ( 1 ^ 2 ) ) = ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ^ 2 ) - 1 )
45	42, 44	eqtr4di 2247	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( A ^ ( phi ` P ) ) - 1 ) = ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ^ 2 ) - ( 1 ^ 2 ) ) )
46		zexpcl 10665	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
47	5, 39, 46	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
48	47	zcnd 9468	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. CC )
49		ax-1cn 7991	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
50		subsq 10757	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ^ 2 ) - ( 1 ^ 2 ) ) = ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) x. ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) )
51	48, 49, 50	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ^ 2 ) - ( 1 ^ 2 ) ) = ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) x. ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) )
52	45, 51	eqtrd 2229	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( A ^ ( phi ` P ) ) - 1 ) = ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) x. ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) )
53	26, 52	breqtrd 4060	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> P || ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) x. ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) )
54	47	peano2zd 9470	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ )
55		peano2zm 9383	. . . . . 6 |- ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ -> ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) e. ZZ )
56	47, 55	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) e. ZZ )
57		euclemma 12341	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) e. ZZ ) -> ( P || ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) x. ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) <-> ( P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) \/ P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) ) )
58	2, 54, 56, 57	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( P || ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) x. ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) <-> ( P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) \/ P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) ) )
59	53, 58	mpbid 147	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) \/ P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) )
60		dvdsval3 11975	. . . . 5 |- ( ( P e. NN /\ ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) <-> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 0 ) )
61	4, 54, 60	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) <-> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 0 ) )
62		2z 9373	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
63	62	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> 2 e. ZZ )
64		moddvds 11983	. . . . . 6 |- ( ( P e. NN /\ ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = ( 2 mod P ) <-> P || ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) - 2 ) ) )
65	4, 54, 63, 64	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = ( 2 mod P ) <-> P || ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) - 2 ) ) )
66		zq 9719	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. QQ )
67	62, 66	mp1i 10	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> 2 e. QQ )
68		zq 9719	. . . . . . . 8 |- ( P e. ZZ -> P e. QQ )
69	7, 68	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> P e. QQ )
70		0le2 9099	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 2
71	70	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> 0 <_ 2 )
72		eldifsni 3752	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P =/= 2 )
73	72	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> P =/= 2 )
74		zapne 9419	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( P # 2 <-> P =/= 2 ) )
75	7, 62, 74	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( P # 2 <-> P =/= 2 ) )
76	73, 75	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> P # 2 )
77		2re 9079	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
78	77	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> 2 e. RR )
79	4	nnred 9022	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> P e. RR )
80		prmuz2 12326	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
81	2, 80	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
82		eluzle 9632	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ P )
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> 2 <_ P )
84	78, 79, 83	leltapd 8685	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( 2 < P <-> P # 2 ) )
85	76, 84	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> 2 < P )
86		modqid 10460	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 e. QQ /\ P e. QQ ) /\ ( 0 <_ 2 /\ 2 < P ) ) -> ( 2 mod P ) = 2 )
87	67, 69, 71, 85, 86	syl22anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( 2 mod P ) = 2 )
88	87	eqeq2d 2208	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = ( 2 mod P ) <-> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 2 ) )
89		df-2 9068	. . . . . . . 8 |- 2 = ( 1 + 1 )
90	89	oveq2i 5936	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) - 2 ) = ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) - ( 1 + 1 ) )
91	49	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> 1 e. CC )
92	48, 91, 91	pnpcan2d 8394	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) - ( 1 + 1 ) ) = ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) )
93	90, 92	eqtrid 2241	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) - 2 ) = ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) )
94	93	breq2d 4046	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( P || ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) - 2 ) <-> P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) )
95	65, 88, 94	3bitr3rd 219	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) <-> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 2 ) )
96	61, 95	orbi12d 794	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) \/ P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) <-> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 0 \/ ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 2 ) ) )
97	59, 96	mpbid 147	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 0 \/ ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 2 ) )
98	54, 4	zmodcld 10456	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. NN0 )
99		elprg 3643	. . 3 |- ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. NN0 -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. { 0 , 2 } <-> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 0 \/ ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 2 ) ) )
100	98, 99	syl 14	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. { 0 , 2 } <-> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 0 \/ ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 2 ) ) )
101	97, 100	mpbird 167	1 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. { 0 , 2 } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   \ cdif 3154   {csn 3623   {cpr 3624   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7896   RRcr 7897   0cc0 7898   1c1 7899   + caddc 7901   x. cmul 7903   < clt 8080   <_ cle 8081   - cmin 8216   # cap 8627   / cdiv 8718   NNcn 9009   2c2 9060   NN0cn0 9268   ZZcz 9345   ZZ>=cuz 9620   QQcq 9712   mod cmo 10433   ^cexp 10649   || cdvds 11971   gcd cgcd 12147   Primecprime 12302   phicphi 12404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016  ax-arch 8017  ax-caucvg 8018

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-q 9713  df-rp 9748  df-fz 10103  df-fzo 10237  df-fl 10379  df-mod 10434  df-seqfrec 10559  df-exp 10650  df-ihash 10887  df-cj 11026  df-re 11027  df-im 11028  df-rsqrt 11182  df-abs 11183  df-clim 11463  df-proddc 11735  df-dvds 11972  df-gcd 12148  df-prm 12303  df-phi 12406

This theorem is referenced by:  lgslem4  15352