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Theorem lgslem1 14068

Description: When

is coprime to the prime

is equivalent

, and so adding

makes it equivalent to

. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
lgslem1	$/\$ $\$ $/\$

**Proof of Theorem lgslem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3257	. . . . . . . . 9 $\$
2	1	3ad2ant2 1019	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
3		prmnn 12093	. . . . . . . 8
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
5		simp1 997	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
6		prmz 12094	. . . . . . . . . 10
7	2, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
8	5, 7	gcdcomd 11958	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
9		simp3 999	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
10		coprm 12127	. . . . . . . . . 10 $/\$
11	2, 5, 10	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
12	9, 11	mpbid 147	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
13	8, 12	eqtrd 2210	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
14		eulerth 12216	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
15	4, 5, 13, 14	syl3anc 1238	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
16		phiprm 12206	. . . . . . . . . 10
17	2, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
18		nnm1nn0 9206	. . . . . . . . . 10
19	4, 18	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
20	17, 19	eqeltrd 2254	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
21		zexpcl 10521	. . . . . . . 8 $/\$
22	5, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
23		1zzd 9269	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
24		moddvds 11790	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
25	4, 22, 23, 24	syl3anc 1238	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
26	15, 25	mpbid 147	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
27	19	nn0cnd 9220	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$
28		2cnd 8981	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$
29		2ap0 9001	. . . . . . . . . . . . 13 #
30	29	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$ #
31	27, 28, 30	divcanap1d 8737	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $/\$
32	17, 31	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
33	32	oveq2d 5885	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
34	5	zcnd 9365	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
35		2nn0 9182	. . . . . . . . . . 11
36	35	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
37		oddprm 12242	. . . . . . . . . . . 12 $\$
38	37	3ad2ant2 1019	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $/\$
39	38	nnnn0d 9218	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
40	34, 36, 39	expmuld 10642	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
41	33, 40	eqtrd 2210	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
42	41	oveq1d 5884	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
43		sq1 10599	. . . . . . . 8
44	43	oveq2i 5880	. . . . . . 7
45	42, 44	eqtr4di 2228	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
46		zexpcl 10521	. . . . . . . . 9 $/\$
47	5, 39, 46	syl2anc 411	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
48	47	zcnd 9365	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
49		ax-1cn 7895	. . . . . . 7
50		subsq 10612	. . . . . . 7 $/\$
51	48, 49, 50	sylancl 413	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
52	45, 51	eqtrd 2210	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
53	26, 52	breqtrd 4026	. . . 4 $/\$ $\$ $/\$
54	47	peano2zd 9367	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
55		peano2zm 9280	. . . . . 6
56	47, 55	syl 14	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
57		euclemma 12129	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$
58	2, 54, 56, 57	syl3anc 1238	. . . 4 $/\$ $\$ $/\$ $\/$
59	53, 58	mpbid 147	. . 3 $/\$ $\$ $/\$ $\/$
60		dvdsval3 11782	. . . . 5 $/\$
61	4, 54, 60	syl2anc 411	. . . 4 $/\$ $\$ $/\$
62		2z 9270	. . . . . . 7
63	62	a1i 9	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
64		moddvds 11790	. . . . . 6 $/\$ $/\$
65	4, 54, 63, 64	syl3anc 1238	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
66		zq 9615	. . . . . . . 8
67	62, 66	mp1i 10	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
68		zq 9615	. . . . . . . 8
69	7, 68	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
70		0le2 8998	. . . . . . . 8
71	70	a1i 9	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
72		eldifsni 3720	. . . . . . . . . 10 $\$
73	72	3ad2ant2 1019	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
74		zapne 9316	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
75	7, 62, 74	sylancl 413	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$ #
76	73, 75	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$ #
77		2re 8978	. . . . . . . . . 10
78	77	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
79	4	nnred 8921	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
80		prmuz2 12114	. . . . . . . . . . 11
81	2, 80	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
82		eluzle 9529	. . . . . . . . . 10
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
84	78, 79, 83	leltapd 8586	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$ #
85	76, 84	mpbird 167	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
86		modqid 10335	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
87	67, 69, 71, 85, 86	syl22anc 1239	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
88	87	eqeq2d 2189	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
89		df-2 8967	. . . . . . . 8
90	89	oveq2i 5880	. . . . . . 7
91	49	a1i 9	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
92	48, 91, 91	pnpcan2d 8296	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
93	90, 92	eqtrid 2222	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
94	93	breq2d 4012	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
95	65, 88, 94	3bitr3rd 219	. . . 4 $/\$ $\$ $/\$
96	61, 95	orbi12d 793	. . 3 $/\$ $\$ $/\$ $\/$ $\/$
97	59, 96	mpbid 147	. 2 $/\$ $\$ $/\$ $\/$
98	54, 4	zmodcld 10331	. . 3 $/\$ $\$ $/\$
99		elprg 3611	. . 3 $\/$
100	98, 99	syl 14	. 2 $/\$ $\$ $/\$ $\/$
101	97, 100	mpbird 167	1 $/\$ $\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 105 $\/$ wo 708 $/\$ w3a 978

wceq 1353

wcel 2148

wne 2347 $\$ cdif 3126

csn 3591

cpr 3592 class class class wbr 4000

cfv 5212 (class class class)co 5869

cc 7800

cr 7801

cc0 7802

c1 7803

caddc 7805

cmul 7807

clt 7982

cle 7983

cmin 8118 # cap 8528

cdiv 8618

cn 8908

c2 8959

cn0 9165

cz 9242

cuz 9517

cq 9608

cmo 10308

cexp 10505

cdvds 11778

cgcd 11926

cprime 12090

cphi 12192

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-mulrcl 7901 ax-addcom 7902 ax-mulcom 7903 ax-addass 7904 ax-mulass 7905 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-1rid 7909 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-precex 7912 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-apti 7917 ax-pre-ltadd 7918 ax-pre-mulgt0 7919 ax-pre-mulext 7920 ax-arch 7921 ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-xor 1376 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-iord 4363 df-on 4365 df-ilim 4366 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-isom 5221 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-irdg 6365 df-frec 6386 df-1o 6411 df-2o 6412 df-oadd 6415 df-er 6529 df-en 6735 df-dom 6736 df-fin 6737 df-sup 6977 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-reap 8522 df-ap 8529 df-div 8619 df-inn 8909 df-2 8967 df-3 8968 df-4 8969 df-n0 9166 df-z 9243 df-uz 9518 df-q 9609 df-rp 9641 df-fz 9996 df-fzo 10129 df-fl 10256 df-mod 10309 df-seqfrec 10432 df-exp 10506 df-ihash 10740 df-cj 10835 df-re 10836 df-im 10837 df-rsqrt 10991 df-abs 10992 df-clim 11271 df-proddc 11543 df-dvds 11779 df-gcd 11927 df-prm 12091 df-phi 12194

This theorem is referenced by: lgslem4 14071

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