Theorem lgslem1 15510

Description: When a is coprime to the prime p, a ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) is equivalent mod p to 1 or -u 1, and so adding 1 makes it equivalent to 0 or 2. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgslem1	|- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. { 0 , 2 } )

Proof of Theorem lgslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3295	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
2	1	3ad2ant2 1022	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> P e. Prime )
3		prmnn 12465	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> P e. NN )
5		simp1 1000	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> A e. ZZ )
6		prmz 12466	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
7	2, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> P e. ZZ )
8	5, 7	gcdcomd 12328	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( A gcd P ) = ( P gcd A ) )
9		simp3 1002	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> -. P || A )
10		coprm 12499	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ ) -> ( -. P || A <-> ( P gcd A ) = 1 ) )
11	2, 5, 10	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( -. P || A <-> ( P gcd A ) = 1 ) )
12	9, 11	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( P gcd A ) = 1 )
13	8, 12	eqtrd 2238	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( A gcd P ) = 1 )
14		eulerth 12588	. . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ A e. ZZ /\ ( A gcd P ) = 1 ) -> ( ( A ^ ( phi ` P ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) )
15	4, 5, 13, 14	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( A ^ ( phi ` P ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) )
16		phiprm 12578	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Prime -> ( phi ` P ) = ( P - 1 ) )
17	2, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( phi ` P ) = ( P - 1 ) )
18		nnm1nn0 9338	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. NN0 )
19	4, 18	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( P - 1 ) e. NN0 )
20	17, 19	eqeltrd 2282	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( phi ` P ) e. NN0 )
21		zexpcl 10701	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( phi ` P ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( phi ` P ) ) e. ZZ )
22	5, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( A ^ ( phi ` P ) ) e. ZZ )
23		1zzd 9401	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> 1 e. ZZ )
24		moddvds 12143	. . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ ( A ^ ( phi ` P ) ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( ( A ^ ( phi ` P ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) <-> P || ( ( A ^ ( phi ` P ) ) - 1 ) ) )
25	4, 22, 23, 24	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( ( A ^ ( phi ` P ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) <-> P || ( ( A ^ ( phi ` P ) ) - 1 ) ) )
26	15, 25	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> P || ( ( A ^ ( phi ` P ) ) - 1 ) )
27	19	nn0cnd 9352	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( P - 1 ) e. CC )
28		2cnd 9111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> 2 e. CC )
29		2ap0 9131	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 # 0
30	29	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> 2 # 0 )
31	27, 28, 30	divcanap1d 8866	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( P - 1 ) )
32	17, 31	eqtr4d 2241	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( phi ` P ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) )
33	32	oveq2d 5962	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( A ^ ( phi ` P ) ) = ( A ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) ) )
34	5	zcnd 9498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> A e. CC )
35		2nn0 9314	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN0
36	35	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> 2 e. NN0 )
37		oddprm 12615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
38	37	3ad2ant2 1022	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
39	38	nnnn0d 9350	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
40	34, 36, 39	expmuld 10823	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( A ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) ) = ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ^ 2 ) )
41	33, 40	eqtrd 2238	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( A ^ ( phi ` P ) ) = ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ^ 2 ) )
42	41	oveq1d 5961	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( A ^ ( phi ` P ) ) - 1 ) = ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ^ 2 ) - 1 ) )
43		sq1 10780	. . . . . . . 8 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
44	43	oveq2i 5957	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ^ 2 ) - ( 1 ^ 2 ) ) = ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ^ 2 ) - 1 )
45	42, 44	eqtr4di 2256	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( A ^ ( phi ` P ) ) - 1 ) = ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ^ 2 ) - ( 1 ^ 2 ) ) )
46		zexpcl 10701	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
47	5, 39, 46	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
48	47	zcnd 9498	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. CC )
49		ax-1cn 8020	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
50		subsq 10793	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ^ 2 ) - ( 1 ^ 2 ) ) = ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) x. ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) )
51	48, 49, 50	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ^ 2 ) - ( 1 ^ 2 ) ) = ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) x. ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) )
52	45, 51	eqtrd 2238	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( A ^ ( phi ` P ) ) - 1 ) = ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) x. ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) )
53	26, 52	breqtrd 4071	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> P || ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) x. ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) )
54	47	peano2zd 9500	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ )
55		peano2zm 9412	. . . . . 6 |- ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ -> ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) e. ZZ )
56	47, 55	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) e. ZZ )
57		euclemma 12501	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) e. ZZ ) -> ( P || ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) x. ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) <-> ( P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) \/ P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) ) )
58	2, 54, 56, 57	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( P || ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) x. ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) <-> ( P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) \/ P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) ) )
59	53, 58	mpbid 147	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) \/ P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) )
60		dvdsval3 12135	. . . . 5 |- ( ( P e. NN /\ ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) <-> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 0 ) )
61	4, 54, 60	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) <-> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 0 ) )
62		2z 9402	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
63	62	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> 2 e. ZZ )
64		moddvds 12143	. . . . . 6 |- ( ( P e. NN /\ ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = ( 2 mod P ) <-> P || ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) - 2 ) ) )
65	4, 54, 63, 64	syl3anc 1250	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = ( 2 mod P ) <-> P || ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) - 2 ) ) )
66		zq 9749	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. QQ )
67	62, 66	mp1i 10	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> 2 e. QQ )
68		zq 9749	. . . . . . . 8 |- ( P e. ZZ -> P e. QQ )
69	7, 68	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> P e. QQ )
70		0le2 9128	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 2
71	70	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> 0 <_ 2 )
72		eldifsni 3762	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P =/= 2 )
73	72	3ad2ant2 1022	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> P =/= 2 )
74		zapne 9449	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( P # 2 <-> P =/= 2 ) )
75	7, 62, 74	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( P # 2 <-> P =/= 2 ) )
76	73, 75	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> P # 2 )
77		2re 9108	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
78	77	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> 2 e. RR )
79	4	nnred 9051	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> P e. RR )
80		prmuz2 12486	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
81	2, 80	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
82		eluzle 9662	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ P )
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> 2 <_ P )
84	78, 79, 83	leltapd 8714	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( 2 < P <-> P # 2 ) )
85	76, 84	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> 2 < P )
86		modqid 10496	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 e. QQ /\ P e. QQ ) /\ ( 0 <_ 2 /\ 2 < P ) ) -> ( 2 mod P ) = 2 )
87	67, 69, 71, 85, 86	syl22anc 1251	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( 2 mod P ) = 2 )
88	87	eqeq2d 2217	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = ( 2 mod P ) <-> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 2 ) )
89		df-2 9097	. . . . . . . 8 |- 2 = ( 1 + 1 )
90	89	oveq2i 5957	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) - 2 ) = ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) - ( 1 + 1 ) )
91	49	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> 1 e. CC )
92	48, 91, 91	pnpcan2d 8423	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) - ( 1 + 1 ) ) = ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) )
93	90, 92	eqtrid 2250	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) - 2 ) = ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) )
94	93	breq2d 4057	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( P || ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) - 2 ) <-> P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) )
95	65, 88, 94	3bitr3rd 219	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) <-> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 2 ) )
96	61, 95	orbi12d 795	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) \/ P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) <-> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 0 \/ ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 2 ) ) )
97	59, 96	mpbid 147	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 0 \/ ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 2 ) )
98	54, 4	zmodcld 10492	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. NN0 )
99		elprg 3653	. . 3 |- ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. NN0 -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. { 0 , 2 } <-> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 0 \/ ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 2 ) ) )
100	98, 99	syl 14	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. { 0 , 2 } <-> ( ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 0 \/ ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = 2 ) ) )
101	97, 100	mpbird 167	1 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. P || A ) -> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. { 0 , 2 } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 710   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   \ cdif 3163   {csn 3633   {cpr 3634   class class class wbr 4045   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   CCcc 7925   RRcr 7926   0cc0 7927   1c1 7928   + caddc 7930   x. cmul 7932   < clt 8109   <_ cle 8110   - cmin 8245   # cap 8656   / cdiv 8747   NNcn 9038   2c2 9089   NN0cn0 9297   ZZcz 9374   ZZ>=cuz 9650   QQcq 9742   mod cmo 10469   ^cexp 10685   || cdvds 12131   gcd cgcd 12307   Primecprime 12462   phicphi 12564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046  ax-caucvg 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-isom 5281  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-irdg 6458  df-frec 6479  df-1o 6504  df-2o 6505  df-oadd 6508  df-er 6622  df-en 6830  df-dom 6831  df-fin 6832  df-sup 7088  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-q 9743  df-rp 9778  df-fz 10133  df-fzo 10267  df-fl 10415  df-mod 10470  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-ihash 10923  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188  df-rsqrt 11342  df-abs 11343  df-clim 11623  df-proddc 11895  df-dvds 12132  df-gcd 12308  df-prm 12463  df-phi 12566

This theorem is referenced by:  lgslem4  15513