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Theorem lgslem1 15592

Description: When

is coprime to the prime

is equivalent

, and so adding

makes it equivalent to

. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
lgslem1	$/\$ $\$ $/\$

**Proof of Theorem lgslem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3303	. . . . . . . . 9 $\$
2	1	3ad2ant2 1022	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
3		prmnn 12547	. . . . . . . 8
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
5		simp1 1000	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
6		prmz 12548	. . . . . . . . . 10
7	2, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
8	5, 7	gcdcomd 12410	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
9		simp3 1002	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
10		coprm 12581	. . . . . . . . . 10 $/\$
11	2, 5, 10	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
12	9, 11	mpbid 147	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
13	8, 12	eqtrd 2240	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
14		eulerth 12670	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
15	4, 5, 13, 14	syl3anc 1250	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
16		phiprm 12660	. . . . . . . . . 10
17	2, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
18		nnm1nn0 9371	. . . . . . . . . 10
19	4, 18	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
20	17, 19	eqeltrd 2284	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
21		zexpcl 10736	. . . . . . . 8 $/\$
22	5, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
23		1zzd 9434	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
24		moddvds 12225	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
25	4, 22, 23, 24	syl3anc 1250	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
26	15, 25	mpbid 147	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
27	19	nn0cnd 9385	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$
28		2cnd 9144	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$
29		2ap0 9164	. . . . . . . . . . . . 13 #
30	29	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$ #
31	27, 28, 30	divcanap1d 8899	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $/\$
32	17, 31	eqtr4d 2243	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
33	32	oveq2d 5983	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
34	5	zcnd 9531	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
35		2nn0 9347	. . . . . . . . . . 11
36	35	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
37		oddprm 12697	. . . . . . . . . . . 12 $\$
38	37	3ad2ant2 1022	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $/\$
39	38	nnnn0d 9383	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
40	34, 36, 39	expmuld 10858	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
41	33, 40	eqtrd 2240	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
42	41	oveq1d 5982	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
43		sq1 10815	. . . . . . . 8
44	43	oveq2i 5978	. . . . . . 7
45	42, 44	eqtr4di 2258	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
46		zexpcl 10736	. . . . . . . . 9 $/\$
47	5, 39, 46	syl2anc 411	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
48	47	zcnd 9531	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
49		ax-1cn 8053	. . . . . . 7
50		subsq 10828	. . . . . . 7 $/\$
51	48, 49, 50	sylancl 413	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
52	45, 51	eqtrd 2240	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
53	26, 52	breqtrd 4085	. . . 4 $/\$ $\$ $/\$
54	47	peano2zd 9533	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
55		peano2zm 9445	. . . . . 6
56	47, 55	syl 14	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
57		euclemma 12583	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$
58	2, 54, 56, 57	syl3anc 1250	. . . 4 $/\$ $\$ $/\$ $\/$
59	53, 58	mpbid 147	. . 3 $/\$ $\$ $/\$ $\/$
60		dvdsval3 12217	. . . . 5 $/\$
61	4, 54, 60	syl2anc 411	. . . 4 $/\$ $\$ $/\$
62		2z 9435	. . . . . . 7
63	62	a1i 9	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
64		moddvds 12225	. . . . . 6 $/\$ $/\$
65	4, 54, 63, 64	syl3anc 1250	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
66		zq 9782	. . . . . . . 8
67	62, 66	mp1i 10	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
68		zq 9782	. . . . . . . 8
69	7, 68	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
70		0le2 9161	. . . . . . . 8
71	70	a1i 9	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
72		eldifsni 3773	. . . . . . . . . 10 $\$
73	72	3ad2ant2 1022	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
74		zapne 9482	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
75	7, 62, 74	sylancl 413	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$ #
76	73, 75	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$ #
77		2re 9141	. . . . . . . . . 10
78	77	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
79	4	nnred 9084	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
80		prmuz2 12568	. . . . . . . . . . 11
81	2, 80	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
82		eluzle 9695	. . . . . . . . . 10
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
84	78, 79, 83	leltapd 8747	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$ #
85	76, 84	mpbird 167	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
86		modqid 10531	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
87	67, 69, 71, 85, 86	syl22anc 1251	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
88	87	eqeq2d 2219	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
89		df-2 9130	. . . . . . . 8
90	89	oveq2i 5978	. . . . . . 7
91	49	a1i 9	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
92	48, 91, 91	pnpcan2d 8456	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
93	90, 92	eqtrid 2252	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
94	93	breq2d 4071	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
95	65, 88, 94	3bitr3rd 219	. . . 4 $/\$ $\$ $/\$
96	61, 95	orbi12d 795	. . 3 $/\$ $\$ $/\$ $\/$ $\/$
97	59, 96	mpbid 147	. 2 $/\$ $\$ $/\$ $\/$
98	54, 4	zmodcld 10527	. . 3 $/\$ $\$ $/\$
99		elprg 3663	. . 3 $\/$
100	98, 99	syl 14	. 2 $/\$ $\$ $/\$ $\/$
101	97, 100	mpbird 167	1 $/\$ $\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 105 $\/$ wo 710 $/\$ w3a 981

wceq 1373

wcel 2178

wne 2378 $\$ cdif 3171

csn 3643

cpr 3644 class class class wbr 4059

cfv 5290 (class class class)co 5967

cc 7958

cr 7959

cc0 7960

c1 7961

caddc 7963

cmul 7965

clt 8142

cle 8143

cmin 8278 # cap 8689

cdiv 8780

cn 9071

c2 9122

cn0 9330

cz 9407

cuz 9683

cq 9775

cmo 10504

cexp 10720

cdvds 12213

cgcd 12389

cprime 12544

cphi 12646

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1471 ax-7 1472 ax-gen 1473 ax-ie1 1517 ax-ie2 1518 ax-8 1528 ax-10 1529 ax-11 1530 ax-i12 1531 ax-bndl 1533 ax-4 1534 ax-17 1550 ax-i9 1554 ax-ial 1558 ax-i5r 1559 ax-13 2180 ax-14 2181 ax-ext 2189 ax-coll 4175 ax-sep 4178 ax-nul 4186 ax-pow 4234 ax-pr 4269 ax-un 4498 ax-setind 4603 ax-iinf 4654 ax-cnex 8051 ax-resscn 8052 ax-1cn 8053 ax-1re 8054 ax-icn 8055 ax-addcl 8056 ax-addrcl 8057 ax-mulcl 8058 ax-mulrcl 8059 ax-addcom 8060 ax-mulcom 8061 ax-addass 8062 ax-mulass 8063 ax-distr 8064 ax-i2m1 8065 ax-0lt1 8066 ax-1rid 8067 ax-0id 8068 ax-rnegex 8069 ax-precex 8070 ax-cnre 8071 ax-pre-ltirr 8072 ax-pre-ltwlin 8073 ax-pre-lttrn 8074 ax-pre-apti 8075 ax-pre-ltadd 8076 ax-pre-mulgt0 8077 ax-pre-mulext 8078 ax-arch 8079 ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 833 df-dc 837 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-xor 1396 df-nf 1485 df-sb 1787 df-eu 2058 df-mo 2059 df-clab 2194 df-cleq 2200 df-clel 2203 df-nfc 2339 df-ne 2379 df-nel 2474 df-ral 2491 df-rex 2492 df-reu 2493 df-rmo 2494 df-rab 2495 df-v 2778 df-sbc 3006 df-csb 3102 df-dif 3176 df-un 3178 df-in 3180 df-ss 3187 df-nul 3469 df-if 3580 df-pw 3628 df-sn 3649 df-pr 3650 df-op 3652 df-uni 3865 df-int 3900 df-iun 3943 df-br 4060 df-opab 4122 df-mpt 4123 df-tr 4159 df-id 4358 df-po 4361 df-iso 4362 df-iord 4431 df-on 4433 df-ilim 4434 df-suc 4436 df-iom 4657 df-xp 4699 df-rel 4700 df-cnv 4701 df-co 4702 df-dm 4703 df-rn 4704 df-res 4705 df-ima 4706 df-iota 5251 df-fun 5292 df-fn 5293 df-f 5294 df-f1 5295 df-fo 5296 df-f1o 5297 df-fv 5298 df-isom 5299 df-riota 5922 df-ov 5970 df-oprab 5971 df-mpo 5972 df-1st 6249 df-2nd 6250 df-recs 6414 df-irdg 6479 df-frec 6500 df-1o 6525 df-2o 6526 df-oadd 6529 df-er 6643 df-en 6851 df-dom 6852 df-fin 6853 df-sup 7112 df-pnf 8144 df-mnf 8145 df-xr 8146 df-ltxr 8147 df-le 8148 df-sub 8280 df-neg 8281 df-reap 8683 df-ap 8690 df-div 8781 df-inn 9072 df-2 9130 df-3 9131 df-4 9132 df-n0 9331 df-z 9408 df-uz 9684 df-q 9776 df-rp 9811 df-fz 10166 df-fzo 10300 df-fl 10450 df-mod 10505 df-seqfrec 10630 df-exp 10721 df-ihash 10958 df-cj 11268 df-re 11269 df-im 11270 df-rsqrt 11424 df-abs 11425 df-clim 11705 df-proddc 11977 df-dvds 12214 df-gcd 12390 df-prm 12545 df-phi 12648

This theorem is referenced by: lgslem4 15595

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