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Theorem lgslem1 15695

Description: When

is coprime to the prime

is equivalent

, and so adding

makes it equivalent to

. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
lgslem1	$/\$ $\$ $/\$

**Proof of Theorem lgslem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3326	. . . . . . . . 9 $\$
2	1	3ad2ant2 1043	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
3		prmnn 12648	. . . . . . . 8
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
5		simp1 1021	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
6		prmz 12649	. . . . . . . . . 10
7	2, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
8	5, 7	gcdcomd 12511	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
9		simp3 1023	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
10		coprm 12682	. . . . . . . . . 10 $/\$
11	2, 5, 10	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
12	9, 11	mpbid 147	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
13	8, 12	eqtrd 2262	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
14		eulerth 12771	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
15	4, 5, 13, 14	syl3anc 1271	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
16		phiprm 12761	. . . . . . . . . 10
17	2, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
18		nnm1nn0 9421	. . . . . . . . . 10
19	4, 18	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
20	17, 19	eqeltrd 2306	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
21		zexpcl 10788	. . . . . . . 8 $/\$
22	5, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
23		1zzd 9484	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
24		moddvds 12326	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
25	4, 22, 23, 24	syl3anc 1271	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
26	15, 25	mpbid 147	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
27	19	nn0cnd 9435	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$
28		2cnd 9194	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$
29		2ap0 9214	. . . . . . . . . . . . 13 #
30	29	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$ #
31	27, 28, 30	divcanap1d 8949	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $/\$
32	17, 31	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
33	32	oveq2d 6023	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
34	5	zcnd 9581	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
35		2nn0 9397	. . . . . . . . . . 11
36	35	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
37		oddprm 12798	. . . . . . . . . . . 12 $\$
38	37	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $/\$
39	38	nnnn0d 9433	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
40	34, 36, 39	expmuld 10910	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
41	33, 40	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
42	41	oveq1d 6022	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
43		sq1 10867	. . . . . . . 8
44	43	oveq2i 6018	. . . . . . 7
45	42, 44	eqtr4di 2280	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
46		zexpcl 10788	. . . . . . . . 9 $/\$
47	5, 39, 46	syl2anc 411	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
48	47	zcnd 9581	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
49		ax-1cn 8103	. . . . . . 7
50		subsq 10880	. . . . . . 7 $/\$
51	48, 49, 50	sylancl 413	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
52	45, 51	eqtrd 2262	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
53	26, 52	breqtrd 4109	. . . 4 $/\$ $\$ $/\$
54	47	peano2zd 9583	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
55		peano2zm 9495	. . . . . 6
56	47, 55	syl 14	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
57		euclemma 12684	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$
58	2, 54, 56, 57	syl3anc 1271	. . . 4 $/\$ $\$ $/\$ $\/$
59	53, 58	mpbid 147	. . 3 $/\$ $\$ $/\$ $\/$
60		dvdsval3 12318	. . . . 5 $/\$
61	4, 54, 60	syl2anc 411	. . . 4 $/\$ $\$ $/\$
62		2z 9485	. . . . . . 7
63	62	a1i 9	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
64		moddvds 12326	. . . . . 6 $/\$ $/\$
65	4, 54, 63, 64	syl3anc 1271	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
66		zq 9833	. . . . . . . 8
67	62, 66	mp1i 10	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
68		zq 9833	. . . . . . . 8
69	7, 68	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
70		0le2 9211	. . . . . . . 8
71	70	a1i 9	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
72		eldifsni 3797	. . . . . . . . . 10 $\$
73	72	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
74		zapne 9532	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
75	7, 62, 74	sylancl 413	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$ #
76	73, 75	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$ #
77		2re 9191	. . . . . . . . . 10
78	77	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
79	4	nnred 9134	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
80		prmuz2 12669	. . . . . . . . . . 11
81	2, 80	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
82		eluzle 9746	. . . . . . . . . 10
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
84	78, 79, 83	leltapd 8797	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$ #
85	76, 84	mpbird 167	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
86		modqid 10583	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
87	67, 69, 71, 85, 86	syl22anc 1272	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
88	87	eqeq2d 2241	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
89		df-2 9180	. . . . . . . 8
90	89	oveq2i 6018	. . . . . . 7
91	49	a1i 9	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
92	48, 91, 91	pnpcan2d 8506	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
93	90, 92	eqtrid 2274	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
94	93	breq2d 4095	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
95	65, 88, 94	3bitr3rd 219	. . . 4 $/\$ $\$ $/\$
96	61, 95	orbi12d 798	. . 3 $/\$ $\$ $/\$ $\/$ $\/$
97	59, 96	mpbid 147	. 2 $/\$ $\$ $/\$ $\/$
98	54, 4	zmodcld 10579	. . 3 $/\$ $\$ $/\$
99		elprg 3686	. . 3 $\/$
100	98, 99	syl 14	. 2 $/\$ $\$ $/\$ $\/$
101	97, 100	mpbird 167	1 $/\$ $\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 105 $\/$ wo 713 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200

wne 2400 $\$ cdif 3194

csn 3666

cpr 3667 class class class wbr 4083

cfv 5318 (class class class)co 6007

cc 8008

cr 8009

cc0 8010

c1 8011

caddc 8013

cmul 8015

clt 8192

cle 8193

cmin 8328 # cap 8739

cdiv 8830

cn 9121

c2 9172

cn0 9380

cz 9457

cuz 9733

cq 9826

cmo 10556

cexp 10772

cdvds 12314

cgcd 12490

cprime 12645

cphi 12747

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-iinf 4680 ax-cnex 8101 ax-resscn 8102 ax-1cn 8103 ax-1re 8104 ax-icn 8105 ax-addcl 8106 ax-addrcl 8107 ax-mulcl 8108 ax-mulrcl 8109 ax-addcom 8110 ax-mulcom 8111 ax-addass 8112 ax-mulass 8113 ax-distr 8114 ax-i2m1 8115 ax-0lt1 8116 ax-1rid 8117 ax-0id 8118 ax-rnegex 8119 ax-precex 8120 ax-cnre 8121 ax-pre-ltirr 8122 ax-pre-ltwlin 8123 ax-pre-lttrn 8124 ax-pre-apti 8125 ax-pre-ltadd 8126 ax-pre-mulgt0 8127 ax-pre-mulext 8128 ax-arch 8129 ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 836 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-xor 1418 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4384 df-po 4387 df-iso 4388 df-iord 4457 df-on 4459 df-ilim 4460 df-suc 4462 df-iom 4683 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-f1 5323 df-fo 5324 df-f1o 5325 df-fv 5326 df-isom 5327 df-riota 5960 df-ov 6010 df-oprab 6011 df-mpo 6012 df-1st 6292 df-2nd 6293 df-recs 6457 df-irdg 6522 df-frec 6543 df-1o 6568 df-2o 6569 df-oadd 6572 df-er 6688 df-en 6896 df-dom 6897 df-fin 6898 df-sup 7162 df-pnf 8194 df-mnf 8195 df-xr 8196 df-ltxr 8197 df-le 8198 df-sub 8330 df-neg 8331 df-reap 8733 df-ap 8740 df-div 8831 df-inn 9122 df-2 9180 df-3 9181 df-4 9182 df-n0 9381 df-z 9458 df-uz 9734 df-q 9827 df-rp 9862 df-fz 10217 df-fzo 10351 df-fl 10502 df-mod 10557 df-seqfrec 10682 df-exp 10773 df-ihash 11010 df-cj 11369 df-re 11370 df-im 11371 df-rsqrt 11525 df-abs 11526 df-clim 11806 df-proddc 12078 df-dvds 12315 df-gcd 12491 df-prm 12646 df-phi 12749

This theorem is referenced by: lgslem4 15698

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