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Theorem lgslem1 15477

Description: When

is coprime to the prime

is equivalent

, and so adding

makes it equivalent to

. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
lgslem1	$/\$ $\$ $/\$

**Proof of Theorem lgslem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3295	. . . . . . . . 9 $\$
2	1	3ad2ant2 1022	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
3		prmnn 12432	. . . . . . . 8
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
5		simp1 1000	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
6		prmz 12433	. . . . . . . . . 10
7	2, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
8	5, 7	gcdcomd 12295	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
9		simp3 1002	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
10		coprm 12466	. . . . . . . . . 10 $/\$
11	2, 5, 10	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
12	9, 11	mpbid 147	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
13	8, 12	eqtrd 2238	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
14		eulerth 12555	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
15	4, 5, 13, 14	syl3anc 1250	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
16		phiprm 12545	. . . . . . . . . 10
17	2, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
18		nnm1nn0 9336	. . . . . . . . . 10
19	4, 18	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
20	17, 19	eqeltrd 2282	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
21		zexpcl 10699	. . . . . . . 8 $/\$
22	5, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
23		1zzd 9399	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
24		moddvds 12110	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
25	4, 22, 23, 24	syl3anc 1250	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
26	15, 25	mpbid 147	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
27	19	nn0cnd 9350	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$
28		2cnd 9109	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$
29		2ap0 9129	. . . . . . . . . . . . 13 #
30	29	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$ #
31	27, 28, 30	divcanap1d 8864	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $/\$
32	17, 31	eqtr4d 2241	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
33	32	oveq2d 5960	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
34	5	zcnd 9496	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
35		2nn0 9312	. . . . . . . . . . 11
36	35	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
37		oddprm 12582	. . . . . . . . . . . 12 $\$
38	37	3ad2ant2 1022	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $/\$
39	38	nnnn0d 9348	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
40	34, 36, 39	expmuld 10821	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
41	33, 40	eqtrd 2238	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
42	41	oveq1d 5959	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
43		sq1 10778	. . . . . . . 8
44	43	oveq2i 5955	. . . . . . 7
45	42, 44	eqtr4di 2256	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
46		zexpcl 10699	. . . . . . . . 9 $/\$
47	5, 39, 46	syl2anc 411	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
48	47	zcnd 9496	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
49		ax-1cn 8018	. . . . . . 7
50		subsq 10791	. . . . . . 7 $/\$
51	48, 49, 50	sylancl 413	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
52	45, 51	eqtrd 2238	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
53	26, 52	breqtrd 4070	. . . 4 $/\$ $\$ $/\$
54	47	peano2zd 9498	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
55		peano2zm 9410	. . . . . 6
56	47, 55	syl 14	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
57		euclemma 12468	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$
58	2, 54, 56, 57	syl3anc 1250	. . . 4 $/\$ $\$ $/\$ $\/$
59	53, 58	mpbid 147	. . 3 $/\$ $\$ $/\$ $\/$
60		dvdsval3 12102	. . . . 5 $/\$
61	4, 54, 60	syl2anc 411	. . . 4 $/\$ $\$ $/\$
62		2z 9400	. . . . . . 7
63	62	a1i 9	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
64		moddvds 12110	. . . . . 6 $/\$ $/\$
65	4, 54, 63, 64	syl3anc 1250	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
66		zq 9747	. . . . . . . 8
67	62, 66	mp1i 10	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
68		zq 9747	. . . . . . . 8
69	7, 68	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
70		0le2 9126	. . . . . . . 8
71	70	a1i 9	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
72		eldifsni 3762	. . . . . . . . . 10 $\$
73	72	3ad2ant2 1022	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
74		zapne 9447	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
75	7, 62, 74	sylancl 413	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$ #
76	73, 75	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$ #
77		2re 9106	. . . . . . . . . 10
78	77	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
79	4	nnred 9049	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
80		prmuz2 12453	. . . . . . . . . . 11
81	2, 80	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
82		eluzle 9660	. . . . . . . . . 10
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
84	78, 79, 83	leltapd 8712	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$ #
85	76, 84	mpbird 167	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
86		modqid 10494	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
87	67, 69, 71, 85, 86	syl22anc 1251	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
88	87	eqeq2d 2217	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
89		df-2 9095	. . . . . . . 8
90	89	oveq2i 5955	. . . . . . 7
91	49	a1i 9	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
92	48, 91, 91	pnpcan2d 8421	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
93	90, 92	eqtrid 2250	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
94	93	breq2d 4056	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
95	65, 88, 94	3bitr3rd 219	. . . 4 $/\$ $\$ $/\$
96	61, 95	orbi12d 795	. . 3 $/\$ $\$ $/\$ $\/$ $\/$
97	59, 96	mpbid 147	. 2 $/\$ $\$ $/\$ $\/$
98	54, 4	zmodcld 10490	. . 3 $/\$ $\$ $/\$
99		elprg 3653	. . 3 $\/$
100	98, 99	syl 14	. 2 $/\$ $\$ $/\$ $\/$
101	97, 100	mpbird 167	1 $/\$ $\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 105 $\/$ wo 710 $/\$ w3a 981

wceq 1373

wcel 2176

wne 2376 $\$ cdif 3163

csn 3633

cpr 3634 class class class wbr 4044

cfv 5271 (class class class)co 5944

cc 7923

cr 7924

cc0 7925

c1 7926

caddc 7928

cmul 7930

clt 8107

cle 8108

cmin 8243 # cap 8654

cdiv 8745

cn 9036

c2 9087

cn0 9295

cz 9372

cuz 9648

cq 9740

cmo 10467

cexp 10683

cdvds 12098

cgcd 12274

cprime 12429

cphi 12531

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1470 ax-7 1471 ax-gen 1472 ax-ie1 1516 ax-ie2 1517 ax-8 1527 ax-10 1528 ax-11 1529 ax-i12 1530 ax-bndl 1532 ax-4 1533 ax-17 1549 ax-i9 1553 ax-ial 1557 ax-i5r 1558 ax-13 2178 ax-14 2179 ax-ext 2187 ax-coll 4159 ax-sep 4162 ax-nul 4170 ax-pow 4218 ax-pr 4253 ax-un 4480 ax-setind 4585 ax-iinf 4636 ax-cnex 8016 ax-resscn 8017 ax-1cn 8018 ax-1re 8019 ax-icn 8020 ax-addcl 8021 ax-addrcl 8022 ax-mulcl 8023 ax-mulrcl 8024 ax-addcom 8025 ax-mulcom 8026 ax-addass 8027 ax-mulass 8028 ax-distr 8029 ax-i2m1 8030 ax-0lt1 8031 ax-1rid 8032 ax-0id 8033 ax-rnegex 8034 ax-precex 8035 ax-cnre 8036 ax-pre-ltirr 8037 ax-pre-ltwlin 8038 ax-pre-lttrn 8039 ax-pre-apti 8040 ax-pre-ltadd 8041 ax-pre-mulgt0 8042 ax-pre-mulext 8043 ax-arch 8044 ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 833 df-dc 837 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-xor 1396 df-nf 1484 df-sb 1786 df-eu 2057 df-mo 2058 df-clab 2192 df-cleq 2198 df-clel 2201 df-nfc 2337 df-ne 2377 df-nel 2472 df-ral 2489 df-rex 2490 df-reu 2491 df-rmo 2492 df-rab 2493 df-v 2774 df-sbc 2999 df-csb 3094 df-dif 3168 df-un 3170 df-in 3172 df-ss 3179 df-nul 3461 df-if 3572 df-pw 3618 df-sn 3639 df-pr 3640 df-op 3642 df-uni 3851 df-int 3886 df-iun 3929 df-br 4045 df-opab 4106 df-mpt 4107 df-tr 4143 df-id 4340 df-po 4343 df-iso 4344 df-iord 4413 df-on 4415 df-ilim 4416 df-suc 4418 df-iom 4639 df-xp 4681 df-rel 4682 df-cnv 4683 df-co 4684 df-dm 4685 df-rn 4686 df-res 4687 df-ima 4688 df-iota 5232 df-fun 5273 df-fn 5274 df-f 5275 df-f1 5276 df-fo 5277 df-f1o 5278 df-fv 5279 df-isom 5280 df-riota 5899 df-ov 5947 df-oprab 5948 df-mpo 5949 df-1st 6226 df-2nd 6227 df-recs 6391 df-irdg 6456 df-frec 6477 df-1o 6502 df-2o 6503 df-oadd 6506 df-er 6620 df-en 6828 df-dom 6829 df-fin 6830 df-sup 7086 df-pnf 8109 df-mnf 8110 df-xr 8111 df-ltxr 8112 df-le 8113 df-sub 8245 df-neg 8246 df-reap 8648 df-ap 8655 df-div 8746 df-inn 9037 df-2 9095 df-3 9096 df-4 9097 df-n0 9296 df-z 9373 df-uz 9649 df-q 9741 df-rp 9776 df-fz 10131 df-fzo 10265 df-fl 10413 df-mod 10468 df-seqfrec 10593 df-exp 10684 df-ihash 10921 df-cj 11153 df-re 11154 df-im 11155 df-rsqrt 11309 df-abs 11310 df-clim 11590 df-proddc 11862 df-dvds 12099 df-gcd 12275 df-prm 12430 df-phi 12533

This theorem is referenced by: lgslem4 15480

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