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Theorem lgslem1 16324

Description: When

is coprime to the prime

is equivalent

, and so adding

makes it equivalent to

. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
lgslem1	$/\$ $\$ $/\$

**Proof of Theorem lgslem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3351	. . . . . . . . 9 $\$
2	1	3ad2ant2 1050	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
3		prmnn 12913	. . . . . . . 8
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
5		simp1 1028	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
6		prmz 12914	. . . . . . . . . 10
7	2, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
8	5, 7	gcdcomd 12776	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
9		simp3 1030	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
10		coprm 12948	. . . . . . . . . 10 $/\$
11	2, 5, 10	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
12	9, 11	mpbid 147	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
13	8, 12	eqtrd 2271	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
14		eulerth 13040	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
15	4, 5, 13, 14	syl3anc 1278	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
16		phiprm 13030	. . . . . . . . . 10
17	2, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
18		nnm1nn0 9615	. . . . . . . . . 10
19	4, 18	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
20	17, 19	eqeltrd 2315	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
21		zexpcl 11012	. . . . . . . 8 $/\$
22	5, 20, 21	syl2anc 415	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
23		1zzd 9682	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
24		moddvds 12591	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
25	4, 22, 23, 24	syl3anc 1278	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
26	15, 25	mpbid 147	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
27	19	nn0cnd 9633	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$
28		2cnd 9386	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$
29		2ap0 9406	. . . . . . . . . . . . 13 #
30	29	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$ #
31	27, 28, 30	divcanap1d 9129	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $/\$
32	17, 31	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
33	32	oveq2d 6104	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
34	5	zcnd 9780	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
35		2nn0 9591	. . . . . . . . . . 11
36	35	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
37		oddprm 13067	. . . . . . . . . . . 12 $\$
38	37	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $/\$
39	38	nnnn0d 9631	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
40	34, 36, 39	expmuld 11135	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
41	33, 40	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
42	41	oveq1d 6103	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
43		sq1 11091	. . . . . . . 8
44	43	oveq2i 6099	. . . . . . 7
45	42, 44	eqtr4di 2289	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
46		zexpcl 11012	. . . . . . . . 9 $/\$
47	5, 39, 46	syl2anc 415	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
48	47	zcnd 9780	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
49		ax-1cn 8278	. . . . . . 7
50		subsq 11104	. . . . . . 7 $/\$
51	48, 49, 50	sylancl 417	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
52	45, 51	eqtrd 2271	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
53	26, 52	breqtrd 4157	. . . 4 $/\$ $\$ $/\$
54	47	peano2zd 9782	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
55		peano2zm 9693	. . . . . 6
56	47, 55	syl 14	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
57		euclemma 12950	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$
58	2, 54, 56, 57	syl3anc 1278	. . . 4 $/\$ $\$ $/\$ $\/$
59	53, 58	mpbid 147	. . 3 $/\$ $\$ $/\$ $\/$
60		dvdsval3 12583	. . . . 5 $/\$
61	4, 54, 60	syl2anc 415	. . . 4 $/\$ $\$ $/\$
62		2z 9683	. . . . . . 7
63	62	a1i 9	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
64		moddvds 12591	. . . . . 6 $/\$ $/\$
65	4, 54, 63, 64	syl3anc 1278	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
66		zq 10042	. . . . . . . 8
67	62, 66	mp1i 10	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
68		zq 10042	. . . . . . . 8
69	7, 68	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
70		0le2 9403	. . . . . . . 8
71	70	a1i 9	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
72		eldifsni 3843	. . . . . . . . . 10 $\$
73	72	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
74		zapne 9730	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
75	7, 62, 74	sylancl 417	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$ #
76	73, 75	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$ #
77		2re 9383	. . . . . . . . . 10
78	77	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
79	4	nnred 9326	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
80		prmuz2 12935	. . . . . . . . . . 11
81	2, 80	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
82		eluzle 9950	. . . . . . . . . 10
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
84	78, 79, 83	leltapd 8975	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$ #
85	76, 84	mpbird 167	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
86		modqid 10807	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
87	67, 69, 71, 85, 86	syl22anc 1279	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
88	87	eqeq2d 2250	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
89		df-2 9372	. . . . . . . 8
90	89	oveq2i 6099	. . . . . . 7
91	49	a1i 9	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
92	48, 91, 91	pnpcan2d 8682	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
93	90, 92	eqtrid 2283	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
94	93	breq2d 4143	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
95	65, 88, 94	3bitr3rd 219	. . . 4 $/\$ $\$ $/\$
96	61, 95	orbi12d 805	. . 3 $/\$ $\$ $/\$ $\/$ $\/$
97	59, 96	mpbid 147	. 2 $/\$ $\$ $/\$ $\/$
98	54, 4	zmodcld 10803	. . 3 $/\$ $\$ $/\$
99		elprg 3729	. . 3 $\/$
100	98, 99	syl 14	. 2 $/\$ $\$ $/\$ $\/$
101	97, 100	mpbird 167	1 $/\$ $\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms:

wn 3

wi 4

wb 105 $\/$ wo 720 $/\$ w3a 1009

wceq 1402

wcel 2209

wne 2420 $\$ cdif 3217

csn 3709

cpr 3710 class class class wbr 4131

cfv 5380 (class class class)co 6088

cc 8183

cr 8184

cc0 8185

c1 8186

caddc 8188

cmul 8190

clt 8366

cle 8367

cmin 8504 # cap 8917

cdiv 9010

cn 9313

c2 9364

cn0 9574

cz 9655

cuz 9937

cq 10035

cmo 10780

cexp 10996

cdvds 12579

cgcd 12755

cprime 12910

cphi 13016

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4248 ax-sep 4251 ax-nul 4261 ax-pow 4313 ax-pr 4348 ax-un 4580 ax-setind 4686 ax-iinf 4737 ax-cnex 8276 ax-resscn 8277 ax-1cn 8278 ax-1re 8279 ax-icn 8280 ax-addcl 8281 ax-addrcl 8282 ax-mulcl 8283 ax-mulrcl 8284 ax-addcom 8285 ax-mulcom 8286 ax-addass 8287 ax-mulass 8288 ax-distr 8289 ax-i2m1 8290 ax-0lt1 8291 ax-1rid 8292 ax-0id 8293 ax-rnegex 8294 ax-precex 8295 ax-cnre 8296 ax-pre-ltirr 8297 ax-pre-ltwlin 8298 ax-pre-lttrn 8299 ax-pre-apti 8300 ax-pre-ltadd 8301 ax-pre-mulgt0 8302 ax-pre-mulext 8303 ax-arch 8304 ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-stab 843 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-xor 1425 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4132 df-opab 4194 df-mpt 4195 df-tr 4232 df-id 4440 df-po 4443 df-iso 4444 df-iord 4513 df-on 4515 df-ilim 4516 df-suc 4518 df-iom 4740 df-xp 4782 df-rel 4783 df-cnv 4784 df-co 4785 df-dm 4786 df-rn 4787 df-res 4788 df-ima 4789 df-iota 5340 df-fun 5382 df-fn 5383 df-f 5384 df-f1 5385 df-fo 5386 df-f1o 5387 df-fv 5388 df-isom 5389 df-riota 6041 df-ov 6091 df-oprab 6092 df-mpo 6093 df-1st 6378 df-2nd 6379 df-recs 6580 df-irdg 6645 df-frec 6666 df-1o 6691 df-2o 6692 df-oadd 6695 df-er 6811 df-en 7027 df-dom 7028 df-fin 7029 df-sup 7330 df-pnf 8368 df-mnf 8369 df-xr 8370 df-ltxr 8371 df-le 8372 df-sub 8506 df-neg 8507 df-reap 8911 df-ap 8918 df-div 9011 df-inn 9314 df-2 9372 df-3 9373 df-4 9374 df-n0 9575 df-z 9656 df-uz 9938 df-q 10036 df-rp 10072 df-fz 10429 df-fzo 10567 df-fl 10722 df-mod 10781 df-seqfrec 10906 df-exp 10997 df-ihash 11237 df-cj 11629 df-re 11630 df-im 11631 df-rsqrt 11786 df-abs 11787 df-clim 12070 df-proddc 12343 df-dvds 12580 df-gcd 12756 df-prm 12911 df-phi 13018

This theorem is used by: lgslem4 16327

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