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Theorem lgslem1 13501

Description: When

is coprime to the prime

is equivalent

, and so adding

makes it equivalent to

. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
lgslem1	$/\$ $\$ $/\$

**Proof of Theorem lgslem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3243	. . . . . . . . 9 $\$
2	1	3ad2ant2 1009	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
3		prmnn 12038	. . . . . . . 8
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
5		simp1 987	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
6		prmz 12039	. . . . . . . . . 10
7	2, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
8	5, 7	gcdcomd 11903	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
9		simp3 989	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
10		coprm 12072	. . . . . . . . . 10 $/\$
11	2, 5, 10	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
12	9, 11	mpbid 146	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
13	8, 12	eqtrd 2198	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
14		eulerth 12161	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
15	4, 5, 13, 14	syl3anc 1228	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
16		phiprm 12151	. . . . . . . . . 10
17	2, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
18		nnm1nn0 9151	. . . . . . . . . 10
19	4, 18	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
20	17, 19	eqeltrd 2242	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
21		zexpcl 10466	. . . . . . . 8 $/\$
22	5, 20, 21	syl2anc 409	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
23		1zzd 9214	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
24		moddvds 11735	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
25	4, 22, 23, 24	syl3anc 1228	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
26	15, 25	mpbid 146	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
27	19	nn0cnd 9165	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$
28		2cnd 8926	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$
29		2ap0 8946	. . . . . . . . . . . . 13 #
30	29	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$ #
31	27, 28, 30	divcanap1d 8683	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $/\$
32	17, 31	eqtr4d 2201	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
33	32	oveq2d 5857	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
34	5	zcnd 9310	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
35		2nn0 9127	. . . . . . . . . . 11
36	35	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
37		oddprm 12187	. . . . . . . . . . . 12 $\$
38	37	3ad2ant2 1009	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $/\$
39	38	nnnn0d 9163	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
40	34, 36, 39	expmuld 10587	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
41	33, 40	eqtrd 2198	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
42	41	oveq1d 5856	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
43		sq1 10544	. . . . . . . 8
44	43	oveq2i 5852	. . . . . . 7
45	42, 44	eqtr4di 2216	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
46		zexpcl 10466	. . . . . . . . 9 $/\$
47	5, 39, 46	syl2anc 409	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
48	47	zcnd 9310	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
49		ax-1cn 7842	. . . . . . 7
50		subsq 10557	. . . . . . 7 $/\$
51	48, 49, 50	sylancl 410	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
52	45, 51	eqtrd 2198	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
53	26, 52	breqtrd 4007	. . . 4 $/\$ $\$ $/\$
54	47	peano2zd 9312	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
55		peano2zm 9225	. . . . . 6
56	47, 55	syl 14	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
57		euclemma 12074	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$
58	2, 54, 56, 57	syl3anc 1228	. . . 4 $/\$ $\$ $/\$ $\/$
59	53, 58	mpbid 146	. . 3 $/\$ $\$ $/\$ $\/$
60		dvdsval3 11727	. . . . 5 $/\$
61	4, 54, 60	syl2anc 409	. . . 4 $/\$ $\$ $/\$
62		2z 9215	. . . . . . 7
63	62	a1i 9	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
64		moddvds 11735	. . . . . 6 $/\$ $/\$
65	4, 54, 63, 64	syl3anc 1228	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
66		zq 9560	. . . . . . . 8
67	62, 66	mp1i 10	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
68		zq 9560	. . . . . . . 8
69	7, 68	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
70		0le2 8943	. . . . . . . 8
71	70	a1i 9	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
72		eldifsni 3704	. . . . . . . . . 10 $\$
73	72	3ad2ant2 1009	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
74		zapne 9261	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
75	7, 62, 74	sylancl 410	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$ #
76	73, 75	mpbird 166	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$ #
77		2re 8923	. . . . . . . . . 10
78	77	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
79	4	nnred 8866	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
80		prmuz2 12059	. . . . . . . . . . 11
81	2, 80	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$
82		eluzle 9474	. . . . . . . . . 10
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $/\$
84	78, 79, 83	leltapd 8533	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$ #
85	76, 84	mpbird 166	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
86		modqid 10280	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
87	67, 69, 71, 85, 86	syl22anc 1229	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
88	87	eqeq2d 2177	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
89		df-2 8912	. . . . . . . 8
90	89	oveq2i 5852	. . . . . . 7
91	49	a1i 9	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$
92	48, 91, 91	pnpcan2d 8243	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $/\$
93	90, 92	syl5eq 2210	. . . . . 6 $/\$ $\$ $/\$
94	93	breq2d 3993	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
95	65, 88, 94	3bitr3rd 218	. . . 4 $/\$ $\$ $/\$
96	61, 95	orbi12d 783	. . 3 $/\$ $\$ $/\$ $\/$ $\/$
97	59, 96	mpbid 146	. 2 $/\$ $\$ $/\$ $\/$
98	54, 4	zmodcld 10276	. . 3 $/\$ $\$ $/\$
99		elprg 3595	. . 3 $\/$
100	98, 99	syl 14	. 2 $/\$ $\$ $/\$ $\/$
101	97, 100	mpbird 166	1 $/\$ $\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 104 $\/$ wo 698 $/\$ w3a 968

wceq 1343

wcel 2136

wne 2335 $\$ cdif 3112

csn 3575

cpr 3576 class class class wbr 3981

cfv 5187 (class class class)co 5841

cc 7747

cr 7748

cc0 7749

c1 7750

caddc 7752

cmul 7754

clt 7929

cle 7930

cmin 8065 # cap 8475

cdiv 8564

cn 8853

c2 8904

cn0 9110

cz 9187

cuz 9462

cq 9553

cmo 10253

cexp 10450

cdvds 11723

cgcd 11871

cprime 12035

cphi 12137

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1435 ax-7 1436 ax-gen 1437 ax-ie1 1481 ax-ie2 1482 ax-8 1492 ax-10 1493 ax-11 1494 ax-i12 1495 ax-bndl 1497 ax-4 1498 ax-17 1514 ax-i9 1518 ax-ial 1522 ax-i5r 1523 ax-13 2138 ax-14 2139 ax-ext 2147 ax-coll 4096 ax-sep 4099 ax-nul 4107 ax-pow 4152 ax-pr 4186 ax-un 4410 ax-setind 4513 ax-iinf 4564 ax-cnex 7840 ax-resscn 7841 ax-1cn 7842 ax-1re 7843 ax-icn 7844 ax-addcl 7845 ax-addrcl 7846 ax-mulcl 7847 ax-mulrcl 7848 ax-addcom 7849 ax-mulcom 7850 ax-addass 7851 ax-mulass 7852 ax-distr 7853 ax-i2m1 7854 ax-0lt1 7855 ax-1rid 7856 ax-0id 7857 ax-rnegex 7858 ax-precex 7859 ax-cnre 7860 ax-pre-ltirr 7861 ax-pre-ltwlin 7862 ax-pre-lttrn 7863 ax-pre-apti 7864 ax-pre-ltadd 7865 ax-pre-mulgt0 7866 ax-pre-mulext 7867 ax-arch 7868 ax-caucvg 7869

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 821 df-dc 825 df-3or 969 df-3an 970 df-tru 1346 df-fal 1349 df-xor 1366 df-nf 1449 df-sb 1751 df-eu 2017 df-mo 2018 df-clab 2152 df-cleq 2158 df-clel 2161 df-nfc 2296 df-ne 2336 df-nel 2431 df-ral 2448 df-rex 2449 df-reu 2450 df-rmo 2451 df-rab 2452 df-v 2727 df-sbc 2951 df-csb 3045 df-dif 3117 df-un 3119 df-in 3121 df-ss 3128 df-nul 3409 df-if 3520 df-pw 3560 df-sn 3581 df-pr 3582 df-op 3584 df-uni 3789 df-int 3824 df-iun 3867 df-br 3982 df-opab 4043 df-mpt 4044 df-tr 4080 df-id 4270 df-po 4273 df-iso 4274 df-iord 4343 df-on 4345 df-ilim 4346 df-suc 4348 df-iom 4567 df-xp 4609 df-rel 4610 df-cnv 4611 df-co 4612 df-dm 4613 df-rn 4614 df-res 4615 df-ima 4616 df-iota 5152 df-fun 5189 df-fn 5190 df-f 5191 df-f1 5192 df-fo 5193 df-f1o 5194 df-fv 5195 df-isom 5196 df-riota 5797 df-ov 5844 df-oprab 5845 df-mpo 5846 df-1st 6105 df-2nd 6106 df-recs 6269 df-irdg 6334 df-frec 6355 df-1o 6380 df-2o 6381 df-oadd 6384 df-er 6497 df-en 6703 df-dom 6704 df-fin 6705 df-sup 6945 df-pnf 7931 df-mnf 7932 df-xr 7933 df-ltxr 7934 df-le 7935 df-sub 8067 df-neg 8068 df-reap 8469 df-ap 8476 df-div 8565 df-inn 8854 df-2 8912 df-3 8913 df-4 8914 df-n0 9111 df-z 9188 df-uz 9463 df-q 9554 df-rp 9586 df-fz 9941 df-fzo 10074 df-fl 10201 df-mod 10254 df-seqfrec 10377 df-exp 10451 df-ihash 10685 df-cj 10780 df-re 10781 df-im 10782 df-rsqrt 10936 df-abs 10937 df-clim 11216 df-proddc 11488 df-dvds 11724 df-gcd 11872 df-prm 12036 df-phi 12139

This theorem is referenced by: lgslem4 13504

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