Theorem oddprm 12187

Description: A prime not equal to 2 is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
oddprm	|- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN )

Proof of Theorem oddprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3243	. . . . 5 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> N e. Prime )
2		prmz 12039	. . . . 5 |- ( N e. Prime -> N e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> N e. ZZ )
4		eldifsni 3704	. . . . . . 7 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> N =/= 2 )
5	4	necomd 2421	. . . . . 6 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 =/= N )
6	5	neneqd 2356	. . . . 5 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. 2 = N )
7		2z 9215	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
8		uzid 9476	. . . . . . 7 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
10		dvdsprm 12065	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. Prime ) -> ( 2 || N <-> 2 = N ) )
11	9, 1, 10	sylancr 411	. . . . 5 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 || N <-> 2 = N ) )
12	6, 11	mtbird 663	. . . 4 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. 2 || N )
13		1z 9213	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
14		n2dvds1 11845	. . . . 5 |- -. 2 || 1
15		omoe 11829	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) /\ ( 1 e. ZZ /\ -. 2 || 1 ) ) -> 2 || ( N - 1 ) )
16	13, 14, 15	mpanr12 436	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> 2 || ( N - 1 ) )
17	3, 12, 16	syl2anc 409	. . 3 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 || ( N - 1 ) )
18		prmnn 12038	. . . . 5 |- ( N e. Prime -> N e. NN )
19		nnm1nn0 9151	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
20	1, 18, 19	3syl 17	. . . 4 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( N - 1 ) e. NN0 )
21		nn0z 9207	. . . 4 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 -> ( N - 1 ) e. ZZ )
22		evend2 11822	. . . 4 |- ( ( N - 1 ) e. ZZ -> ( 2 || ( N - 1 ) <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
23	20, 21, 22	3syl 17	. . 3 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 || ( N - 1 ) <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
24	17, 23	mpbid 146	. 2 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
25		prmuz2 12059	. . 3 |- ( N e. Prime -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
26		uz2m1nn 9539	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 1 ) e. NN )
27		nngt0 8878	. . . 4 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> 0 < ( N - 1 ) )
28		nnre 8860	. . . . 5 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> ( N - 1 ) e. RR )
29		2rp 9590	. . . . . 6 |- 2 e. RR+
30	29	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> 2 e. RR+ )
31	28, 30	gt0divd 9666	. . . 4 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> ( 0 < ( N - 1 ) <-> 0 < ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
32	27, 31	mpbid 146	. . 3 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> 0 < ( ( N - 1 ) / 2 ) )
33	1, 25, 26, 32	4syl 18	. 2 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> 0 < ( ( N - 1 ) / 2 ) )
34		elnnz 9197	. 2 |- ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ 0 < ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
35	24, 33, 34	sylanbrc 414	1 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   \ cdif 3112   {csn 3575   class class class wbr 3981   ` cfv 5187  (class class class)co 5841   0cc0 7749   1c1 7750   < clt 7929   - cmin 8065   / cdiv 8564   NNcn 8853   2c2 8904   NN0cn0 9110   ZZcz 9187   ZZ>=cuz 9462   RR+crp 9585   || cdvds 11723   Primecprime 12035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867  ax-arch 7868  ax-caucvg 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-xor 1366  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-frec 6355  df-1o 6380  df-2o 6381  df-er 6497  df-en 6703  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-2 8912  df-3 8913  df-4 8914  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-q 9554  df-rp 9586  df-seqfrec 10377  df-exp 10451  df-cj 10780  df-re 10781  df-im 10782  df-rsqrt 10936  df-abs 10937  df-dvds 11724  df-prm 12036

This theorem is referenced by:  nnoddn2prm  12188  lgslem1  13501  lgslem4  13504  lgsval2lem  13511  lgsvalmod  13520  lgsmod  13527  lgsdirprm  13535  lgsne0  13539