Theorem oddprm 12261

Description: A prime not equal to 2 is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
oddprm	|- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN )

Proof of Theorem oddprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3259	. . . . 5 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> N e. Prime )
2		prmz 12113	. . . . 5 |- ( N e. Prime -> N e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> N e. ZZ )
4		eldifsni 3723	. . . . . . 7 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> N =/= 2 )
5	4	necomd 2433	. . . . . 6 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 =/= N )
6	5	neneqd 2368	. . . . 5 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. 2 = N )
7		2z 9283	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
8		uzid 9544	. . . . . . 7 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
10		dvdsprm 12139	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. Prime ) -> ( 2 || N <-> 2 = N ) )
11	9, 1, 10	sylancr 414	. . . . 5 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 || N <-> 2 = N ) )
12	6, 11	mtbird 673	. . . 4 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. 2 || N )
13		1z 9281	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
14		n2dvds1 11919	. . . . 5 |- -. 2 || 1
15		omoe 11903	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) /\ ( 1 e. ZZ /\ -. 2 || 1 ) ) -> 2 || ( N - 1 ) )
16	13, 14, 15	mpanr12 439	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> 2 || ( N - 1 ) )
17	3, 12, 16	syl2anc 411	. . 3 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 || ( N - 1 ) )
18		prmnn 12112	. . . . 5 |- ( N e. Prime -> N e. NN )
19		nnm1nn0 9219	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
20	1, 18, 19	3syl 17	. . . 4 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( N - 1 ) e. NN0 )
21		nn0z 9275	. . . 4 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 -> ( N - 1 ) e. ZZ )
22		evend2 11896	. . . 4 |- ( ( N - 1 ) e. ZZ -> ( 2 || ( N - 1 ) <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
23	20, 21, 22	3syl 17	. . 3 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 || ( N - 1 ) <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
24	17, 23	mpbid 147	. 2 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
25		prmuz2 12133	. . 3 |- ( N e. Prime -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
26		uz2m1nn 9607	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 1 ) e. NN )
27		nngt0 8946	. . . 4 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> 0 < ( N - 1 ) )
28		nnre 8928	. . . . 5 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> ( N - 1 ) e. RR )
29		2rp 9660	. . . . . 6 |- 2 e. RR+
30	29	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> 2 e. RR+ )
31	28, 30	gt0divd 9736	. . . 4 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> ( 0 < ( N - 1 ) <-> 0 < ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
32	27, 31	mpbid 147	. . 3 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> 0 < ( ( N - 1 ) / 2 ) )
33	1, 25, 26, 32	4syl 18	. 2 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> 0 < ( ( N - 1 ) / 2 ) )
34		elnnz 9265	. 2 |- ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ 0 < ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
35	24, 33, 34	sylanbrc 417	1 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   \ cdif 3128   {csn 3594   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   0cc0 7813   1c1 7814   < clt 7994   - cmin 8130   / cdiv 8631   NNcn 8921   2c2 8972   NN0cn0 9178   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530   RR+crp 9655   || cdvds 11796   Primecprime 12109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-1o 6419  df-2o 6420  df-er 6537  df-en 6743  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-dvds 11797  df-prm 12110

This theorem is referenced by:  nnoddn2prm  12262  lgslem1  14440  lgslem4  14443  lgsval2lem  14450  lgsvalmod  14459  lgsmod  14466  lgsdirprm  14474  lgsne0  14478  lgseisenlem1  14489  lgseisenlem2  14490  m1lgs  14491