Theorem oddprm 12213

Description: A prime not equal to 2 is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
oddprm	|- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN )

Proof of Theorem oddprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3249	. . . . 5 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> N e. Prime )
2		prmz 12065	. . . . 5 |- ( N e. Prime -> N e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> N e. ZZ )
4		eldifsni 3712	. . . . . . 7 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> N =/= 2 )
5	4	necomd 2426	. . . . . 6 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 =/= N )
6	5	neneqd 2361	. . . . 5 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. 2 = N )
7		2z 9240	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
8		uzid 9501	. . . . . . 7 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
10		dvdsprm 12091	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. Prime ) -> ( 2 || N <-> 2 = N ) )
11	9, 1, 10	sylancr 412	. . . . 5 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 || N <-> 2 = N ) )
12	6, 11	mtbird 668	. . . 4 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. 2 || N )
13		1z 9238	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
14		n2dvds1 11871	. . . . 5 |- -. 2 || 1
15		omoe 11855	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) /\ ( 1 e. ZZ /\ -. 2 || 1 ) ) -> 2 || ( N - 1 ) )
16	13, 14, 15	mpanr12 437	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> 2 || ( N - 1 ) )
17	3, 12, 16	syl2anc 409	. . 3 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 || ( N - 1 ) )
18		prmnn 12064	. . . . 5 |- ( N e. Prime -> N e. NN )
19		nnm1nn0 9176	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
20	1, 18, 19	3syl 17	. . . 4 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( N - 1 ) e. NN0 )
21		nn0z 9232	. . . 4 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 -> ( N - 1 ) e. ZZ )
22		evend2 11848	. . . 4 |- ( ( N - 1 ) e. ZZ -> ( 2 || ( N - 1 ) <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
23	20, 21, 22	3syl 17	. . 3 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 || ( N - 1 ) <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
24	17, 23	mpbid 146	. 2 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
25		prmuz2 12085	. . 3 |- ( N e. Prime -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
26		uz2m1nn 9564	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 1 ) e. NN )
27		nngt0 8903	. . . 4 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> 0 < ( N - 1 ) )
28		nnre 8885	. . . . 5 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> ( N - 1 ) e. RR )
29		2rp 9615	. . . . . 6 |- 2 e. RR+
30	29	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> 2 e. RR+ )
31	28, 30	gt0divd 9691	. . . 4 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> ( 0 < ( N - 1 ) <-> 0 < ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
32	27, 31	mpbid 146	. . 3 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> 0 < ( ( N - 1 ) / 2 ) )
33	1, 25, 26, 32	4syl 18	. 2 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> 0 < ( ( N - 1 ) / 2 ) )
34		elnnz 9222	. 2 |- ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ 0 < ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
35	24, 33, 34	sylanbrc 415	1 |- ( N e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   \ cdif 3118   {csn 3583   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   0cc0 7774   1c1 7775   < clt 7954   - cmin 8090   / cdiv 8589   NNcn 8878   2c2 8929   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   RR+crp 9610   || cdvds 11749   Primecprime 12061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-xor 1371  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-2o 6396  df-er 6513  df-en 6719  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750  df-prm 12062

This theorem is referenced by:  nnoddn2prm  12214  lgslem1  13695  lgslem4  13698  lgsval2lem  13705  lgsvalmod  13714  lgsmod  13721  lgsdirprm  13729  lgsne0  13733