Theorem en2other2 7538

Description: Taking the other element twice in a pair gets back to the original element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en2other2	|- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) = X )

Proof of Theorem en2other2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2eleq 7537	. . . . . . 7 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P = { X , U. ( P \ { X } ) } )
2		prcom 3783	. . . . . . 7 |- { X , U. ( P \ { X } ) } = { U. ( P \ { X } ) , X }
3	1, 2	eqtrdi 2287	. . . . . 6 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P = { U. ( P \ { X } ) , X } )
4	3	difeq1d 3346	. . . . 5 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) = ( { U. ( P \ { X } ) , X } \ { U. ( P \ { X } ) } ) )
5		difprsnss 3848	. . . . 5 |- ( { U. ( P \ { X } ) , X } \ { U. ( P \ { X } ) } ) C_ { X }
6	4, 5	eqsstrdi 3300	. . . 4 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) C_ { X } )
7		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> X e. P )
8		1onn 6783	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. om
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> 1o e. om )
10		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P ~~ 2o )
11		df-2o 6678	. . . . . . . . . 10 |- 2o = suc 1o
12	10, 11	breqtrdi 4166	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P ~~ suc 1o )
13		dif1en 7173	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1o e. om /\ P ~~ suc 1o /\ X e. P ) -> ( P \ { X } ) ~~ 1o )
14	9, 12, 7, 13	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( P \ { X } ) ~~ 1o )
15		en1uniel 7081	. . . . . . . 8 |- ( ( P \ { X } ) ~~ 1o -> U. ( P \ { X } ) e. ( P \ { X } ) )
16		eldifsni 3838	. . . . . . . 8 |- ( U. ( P \ { X } ) e. ( P \ { X } ) -> U. ( P \ { X } ) =/= X )
17	14, 15, 16	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { X } ) =/= X )
18	17	necomd 2506	. . . . . 6 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> X =/= U. ( P \ { X } ) )
19		eldifsn 3836	. . . . . 6 |- ( X e. ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) <-> ( X e. P /\ X =/= U. ( P \ { X } ) ) )
20	7, 18, 19	sylanbrc 421	. . . . 5 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> X e. ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) )
21	20	snssd 3855	. . . 4 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> { X } C_ ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) )
22	6, 21	eqssd 3265	. . 3 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) = { X } )
23	22	unieqd 3941	. 2 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) = U. { X } )
24		unisng 3947	. . 3 |- ( X e. P -> U. { X } = X )
25	24	adantr 276	. 2 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. { X } = X )
26	23, 25	eqtrd 2271	1 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   \ cdif 3217   {csn 3705   {cpr 3706   U.cuni 3930   class class class wbr 4125   suc csuc 4505   omcom 4732   1oc1o 6670   2oc2o 6671   ~~ cen 7010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-1o 6677  df-2o 6678  df-er 6797  df-en 7013  df-fin 7015

This theorem is referenced by: (None)