Theorem en2other2 7256

Description: Taking the other element twice in a pair gets back to the original element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en2other2	|- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) = X )

Proof of Theorem en2other2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2eleq 7255	. . . . . . 7 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P = { X , U. ( P \ { X } ) } )
2		prcom 3694	. . . . . . 7 |- { X , U. ( P \ { X } ) } = { U. ( P \ { X } ) , X }
3	1, 2	eqtrdi 2242	. . . . . 6 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P = { U. ( P \ { X } ) , X } )
4	3	difeq1d 3276	. . . . 5 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) = ( { U. ( P \ { X } ) , X } \ { U. ( P \ { X } ) } ) )
5		difprsnss 3756	. . . . 5 |- ( { U. ( P \ { X } ) , X } \ { U. ( P \ { X } ) } ) C_ { X }
6	4, 5	eqsstrdi 3231	. . . 4 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) C_ { X } )
7		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> X e. P )
8		1onn 6573	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. om
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> 1o e. om )
10		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P ~~ 2o )
11		df-2o 6470	. . . . . . . . . 10 |- 2o = suc 1o
12	10, 11	breqtrdi 4070	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P ~~ suc 1o )
13		dif1en 6935	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1o e. om /\ P ~~ suc 1o /\ X e. P ) -> ( P \ { X } ) ~~ 1o )
14	9, 12, 7, 13	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( P \ { X } ) ~~ 1o )
15		en1uniel 6858	. . . . . . . 8 |- ( ( P \ { X } ) ~~ 1o -> U. ( P \ { X } ) e. ( P \ { X } ) )
16		eldifsni 3747	. . . . . . . 8 |- ( U. ( P \ { X } ) e. ( P \ { X } ) -> U. ( P \ { X } ) =/= X )
17	14, 15, 16	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { X } ) =/= X )
18	17	necomd 2450	. . . . . 6 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> X =/= U. ( P \ { X } ) )
19		eldifsn 3745	. . . . . 6 |- ( X e. ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) <-> ( X e. P /\ X =/= U. ( P \ { X } ) ) )
20	7, 18, 19	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> X e. ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) )
21	20	snssd 3763	. . . 4 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> { X } C_ ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) )
22	6, 21	eqssd 3196	. . 3 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) = { X } )
23	22	unieqd 3846	. 2 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) = U. { X } )
24		unisng 3852	. . 3 |- ( X e. P -> U. { X } = X )
25	24	adantr 276	. 2 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. { X } = X )
26	23, 25	eqtrd 2226	1 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   \ cdif 3150   {csn 3618   {cpr 3619   U.cuni 3835   class class class wbr 4029   suc csuc 4396   omcom 4622   1oc1o 6462   2oc2o 6463   ~~ cen 6792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-1o 6469  df-2o 6470  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797

This theorem is referenced by: (None)