Theorem en2other2 7198

Description: Taking the other element twice in a pair gets back to the original element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en2other2	|- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) = X )

Proof of Theorem en2other2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2eleq 7197	. . . . . . 7 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P = { X , U. ( P \ { X } ) } )
2		prcom 3670	. . . . . . 7 |- { X , U. ( P \ { X } ) } = { U. ( P \ { X } ) , X }
3	1, 2	eqtrdi 2226	. . . . . 6 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P = { U. ( P \ { X } ) , X } )
4	3	difeq1d 3254	. . . . 5 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) = ( { U. ( P \ { X } ) , X } \ { U. ( P \ { X } ) } ) )
5		difprsnss 3732	. . . . 5 |- ( { U. ( P \ { X } ) , X } \ { U. ( P \ { X } ) } ) C_ { X }
6	4, 5	eqsstrdi 3209	. . . 4 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) C_ { X } )
7		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> X e. P )
8		1onn 6524	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. om
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> 1o e. om )
10		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P ~~ 2o )
11		df-2o 6421	. . . . . . . . . 10 |- 2o = suc 1o
12	10, 11	breqtrdi 4046	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P ~~ suc 1o )
13		dif1en 6882	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1o e. om /\ P ~~ suc 1o /\ X e. P ) -> ( P \ { X } ) ~~ 1o )
14	9, 12, 7, 13	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( P \ { X } ) ~~ 1o )
15		en1uniel 6807	. . . . . . . 8 |- ( ( P \ { X } ) ~~ 1o -> U. ( P \ { X } ) e. ( P \ { X } ) )
16		eldifsni 3723	. . . . . . . 8 |- ( U. ( P \ { X } ) e. ( P \ { X } ) -> U. ( P \ { X } ) =/= X )
17	14, 15, 16	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { X } ) =/= X )
18	17	necomd 2433	. . . . . 6 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> X =/= U. ( P \ { X } ) )
19		eldifsn 3721	. . . . . 6 |- ( X e. ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) <-> ( X e. P /\ X =/= U. ( P \ { X } ) ) )
20	7, 18, 19	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> X e. ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) )
21	20	snssd 3739	. . . 4 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> { X } C_ ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) )
22	6, 21	eqssd 3174	. . 3 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) = { X } )
23	22	unieqd 3822	. 2 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) = U. { X } )
24		unisng 3828	. . 3 |- ( X e. P -> U. { X } = X )
25	24	adantr 276	. 2 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. { X } = X )
26	23, 25	eqtrd 2210	1 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   \ cdif 3128   {csn 3594   {cpr 3595   U.cuni 3811   class class class wbr 4005   suc csuc 4367   omcom 4591   1oc1o 6413   2oc2o 6414   ~~ cen 6741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-1o 6420  df-2o 6421  df-er 6538  df-en 6744  df-fin 6746

This theorem is referenced by: (None)