Theorem en2other2 7045

Description: Taking the other element twice in a pair gets back to the original element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en2other2	|- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) = X )

Proof of Theorem en2other2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2eleq 7044	. . . . . . 7 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P = { X , U. ( P \ { X } ) } )
2		prcom 3594	. . . . . . 7 |- { X , U. ( P \ { X } ) } = { U. ( P \ { X } ) , X }
3	1, 2	syl6eq 2186	. . . . . 6 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P = { U. ( P \ { X } ) , X } )
4	3	difeq1d 3188	. . . . 5 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) = ( { U. ( P \ { X } ) , X } \ { U. ( P \ { X } ) } ) )
5		difprsnss 3653	. . . . 5 |- ( { U. ( P \ { X } ) , X } \ { U. ( P \ { X } ) } ) C_ { X }
6	4, 5	eqsstrdi 3144	. . . 4 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) C_ { X } )
7		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> X e. P )
8		1onn 6409	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. om
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> 1o e. om )
10		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P ~~ 2o )
11		df-2o 6307	. . . . . . . . . 10 |- 2o = suc 1o
12	10, 11	breqtrdi 3964	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> P ~~ suc 1o )
13		dif1en 6766	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1o e. om /\ P ~~ suc 1o /\ X e. P ) -> ( P \ { X } ) ~~ 1o )
14	9, 12, 7, 13	syl3anc 1216	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( P \ { X } ) ~~ 1o )
15		en1uniel 6691	. . . . . . . 8 |- ( ( P \ { X } ) ~~ 1o -> U. ( P \ { X } ) e. ( P \ { X } ) )
16		eldifsni 3647	. . . . . . . 8 |- ( U. ( P \ { X } ) e. ( P \ { X } ) -> U. ( P \ { X } ) =/= X )
17	14, 15, 16	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { X } ) =/= X )
18	17	necomd 2392	. . . . . 6 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> X =/= U. ( P \ { X } ) )
19		eldifsn 3645	. . . . . 6 |- ( X e. ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) <-> ( X e. P /\ X =/= U. ( P \ { X } ) ) )
20	7, 18, 19	sylanbrc 413	. . . . 5 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> X e. ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) )
21	20	snssd 3660	. . . 4 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> { X } C_ ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) )
22	6, 21	eqssd 3109	. . 3 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) = { X } )
23	22	unieqd 3742	. 2 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) = U. { X } )
24		unisng 3748	. . 3 |- ( X e. P -> U. { X } = X )
25	24	adantr 274	. 2 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. { X } = X )
26	23, 25	eqtrd 2170	1 |- ( ( X e. P /\ P ~~ 2o ) -> U. ( P \ { U. ( P \ { X } ) } ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2306   \ cdif 3063   {csn 3522   {cpr 3523   U.cuni 3731   class class class wbr 3924   suc csuc 4282   omcom 4499   1oc1o 6299   2oc2o 6300   ~~ cen 6625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-1o 6306  df-2o 6307  df-er 6422  df-en 6628  df-fin 6630

This theorem is referenced by: (None)