Theorem fiuni 7312

Description: The union of the finite intersections of a set is simply the union of the set itself. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fiuni	|- ( A e. V -> U. A = U. ( fi ` A ) )

Proof of Theorem fiuni

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfii 7308	. . 3 |- ( A e. V -> A C_ ( fi ` A ) )
2	1	unissd 3959	. 2 |- ( A e. V -> U. A C_ U. ( fi ` A ) )
3		eluni 3938	. . . . 5 |- ( x e. U. ( fi ` A ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) )
4	3	biimpi 120	. . . 4 |- ( x e. U. ( fi ` A ) -> E. y ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) -> E. y ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) )
6		simprr 537	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) -> y e. ( fi ` A ) )
7		elfi2 7306	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( y e. ( fi ` A ) <-> E. z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) y = |^| z ) )
8	7	ad2antrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) -> ( y e. ( fi ` A ) <-> E. z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) y = |^| z ) )
9	6, 8	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) -> E. z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) y = |^| z )
10		simprr 537	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> y = |^| z )
11		eldifi 3351	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> z e. ( ~P A i^i Fin ) )
12	11	elin1d 3418	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> z e. ~P A )
13	12	elpwid 3700	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> z C_ A )
14	13	ad2antrl 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> z C_ A )
15		eldifsni 3843	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> z =/= (/) )
16	11	elin2d 3419	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> z e. Fin )
17		fin0 7189	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. Fin -> ( z =/= (/) <-> E. w w e. z ) )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> ( z =/= (/) <-> E. w w e. z ) )
19	15, 18	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> E. w w e. z )
20	19	ad2antrl 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> E. w w e. z )
21		intssuni2m 3994	. . . . . . 7 |- ( ( z C_ A /\ E. w w e. z ) -> |^| z C_ U. A )
22	14, 20, 21	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> |^| z C_ U. A )
23	10, 22	eqsstrd 3284	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> y C_ U. A )
24		simplrl 541	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> x e. y )
25	23, 24	sseldd 3249	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> x e. U. A )
26	9, 25	rexlimddv 2673	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) -> x e. U. A )
27	5, 26	exlimddv 1954	. 2 |- ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) -> x e. U. A )
28	2, 27	eqelssd 3267	1 |- ( A e. V -> U. A = U. ( fi ` A ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   =/= wne 2420   E.wrex 2529   \ cdif 3217   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ~Pcpw 3688   {csn 3709   U.cuni 3935   |^|cint 3970   ` cfv 5377   Fincfn 7022   ficfi 7302

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025  df-fi 7303

This theorem is used by:  fipwssg  7313