Theorem fiuni 7278

Description: The union of the finite intersections of a set is simply the union of the set itself. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fiuni	|- ( A e. V -> U. A = U. ( fi ` A ) )

Proof of Theorem fiuni

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfii 7274	. . 3 |- ( A e. V -> A C_ ( fi ` A ) )
2	1	unissd 3943	. 2 |- ( A e. V -> U. A C_ U. ( fi ` A ) )
3		eluni 3922	. . . . 5 |- ( x e. U. ( fi ` A ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) )
4	3	biimpi 120	. . . 4 |- ( x e. U. ( fi ` A ) -> E. y ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) -> E. y ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) )
6		simprr 533	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) -> y e. ( fi ` A ) )
7		elfi2 7272	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( y e. ( fi ` A ) <-> E. z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) y = |^| z ) )
8	7	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) -> ( y e. ( fi ` A ) <-> E. z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) y = |^| z ) )
9	6, 8	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) -> E. z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) y = |^| z )
10		simprr 533	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> y = |^| z )
11		eldifi 3345	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> z e. ( ~P A i^i Fin ) )
12	11	elin1d 3412	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> z e. ~P A )
13	12	elpwid 3685	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> z C_ A )
14	13	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> z C_ A )
15		eldifsni 3827	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> z =/= (/) )
16	11	elin2d 3413	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> z e. Fin )
17		fin0 7155	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. Fin -> ( z =/= (/) <-> E. w w e. z ) )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> ( z =/= (/) <-> E. w w e. z ) )
19	15, 18	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> E. w w e. z )
20	19	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> E. w w e. z )
21		intssuni2m 3978	. . . . . . 7 |- ( ( z C_ A /\ E. w w e. z ) -> |^| z C_ U. A )
22	14, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> |^| z C_ U. A )
23	10, 22	eqsstrd 3278	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> y C_ U. A )
24		simplrl 537	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> x e. y )
25	23, 24	sseldd 3243	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> x e. U. A )
26	9, 25	rexlimddv 2667	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) -> x e. U. A )
27	5, 26	exlimddv 1950	. 2 |- ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) -> x e. U. A )
28	2, 27	eqelssd 3261	1 |- ( A e. V -> U. A = U. ( fi ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   =/= wne 2414   E.wrex 2523   \ cdif 3211   i^i cin 3213   C_ wss 3214   (/)c0 3512   ~Pcpw 3674   {csn 3694   U.cuni 3919   |^|cint 3954   ` cfv 5357   Fincfn 6988   ficfi 7268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-fin 6991  df-fi 7269

This theorem is referenced by:  fipwssg  7279