Theorem fiuni 7145

Description: The union of the finite intersections of a set is simply the union of the set itself. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fiuni	|- ( A e. V -> U. A = U. ( fi ` A ) )

Proof of Theorem fiuni

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfii 7141	. . 3 |- ( A e. V -> A C_ ( fi ` A ) )
2	1	unissd 3912	. 2 |- ( A e. V -> U. A C_ U. ( fi ` A ) )
3		eluni 3891	. . . . 5 |- ( x e. U. ( fi ` A ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) )
4	3	biimpi 120	. . . 4 |- ( x e. U. ( fi ` A ) -> E. y ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) -> E. y ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) )
6		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) -> y e. ( fi ` A ) )
7		elfi2 7139	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( y e. ( fi ` A ) <-> E. z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) y = |^| z ) )
8	7	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) -> ( y e. ( fi ` A ) <-> E. z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) y = |^| z ) )
9	6, 8	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) -> E. z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) y = |^| z )
10		simprr 531	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> y = |^| z )
11		eldifi 3326	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> z e. ( ~P A i^i Fin ) )
12	11	elin1d 3393	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> z e. ~P A )
13	12	elpwid 3660	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> z C_ A )
14	13	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> z C_ A )
15		eldifsni 3797	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> z =/= (/) )
16	11	elin2d 3394	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> z e. Fin )
17		fin0 7047	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. Fin -> ( z =/= (/) <-> E. w w e. z ) )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> ( z =/= (/) <-> E. w w e. z ) )
19	15, 18	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> E. w w e. z )
20	19	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> E. w w e. z )
21		intssuni2m 3947	. . . . . . 7 |- ( ( z C_ A /\ E. w w e. z ) -> |^| z C_ U. A )
22	14, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> |^| z C_ U. A )
23	10, 22	eqsstrd 3260	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> y C_ U. A )
24		simplrl 535	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> x e. y )
25	23, 24	sseldd 3225	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> x e. U. A )
26	9, 25	rexlimddv 2653	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) -> x e. U. A )
27	5, 26	exlimddv 1945	. 2 |- ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) -> x e. U. A )
28	2, 27	eqelssd 3243	1 |- ( A e. V -> U. A = U. ( fi ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   =/= wne 2400   E.wrex 2509   \ cdif 3194   i^i cin 3196   C_ wss 3197   (/)c0 3491   ~Pcpw 3649   {csn 3666   U.cuni 3888   |^|cint 3923   ` cfv 5318   Fincfn 6887   ficfi 7135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-1o 6562  df-er 6680  df-en 6888  df-fin 6890  df-fi 7136

This theorem is referenced by:  fipwssg  7146