Theorem fiuni 7176

Description: The union of the finite intersections of a set is simply the union of the set itself. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fiuni	|- ( A e. V -> U. A = U. ( fi ` A ) )

Proof of Theorem fiuni

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfii 7172	. . 3 |- ( A e. V -> A C_ ( fi ` A ) )
2	1	unissd 3917	. 2 |- ( A e. V -> U. A C_ U. ( fi ` A ) )
3		eluni 3896	. . . . 5 |- ( x e. U. ( fi ` A ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) )
4	3	biimpi 120	. . . 4 |- ( x e. U. ( fi ` A ) -> E. y ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) -> E. y ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) )
6		simprr 533	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) -> y e. ( fi ` A ) )
7		elfi2 7170	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( y e. ( fi ` A ) <-> E. z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) y = |^| z ) )
8	7	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) -> ( y e. ( fi ` A ) <-> E. z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) y = |^| z ) )
9	6, 8	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) -> E. z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) y = |^| z )
10		simprr 533	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> y = |^| z )
11		eldifi 3329	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> z e. ( ~P A i^i Fin ) )
12	11	elin1d 3396	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> z e. ~P A )
13	12	elpwid 3663	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> z C_ A )
14	13	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> z C_ A )
15		eldifsni 3802	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> z =/= (/) )
16	11	elin2d 3397	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> z e. Fin )
17		fin0 7073	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. Fin -> ( z =/= (/) <-> E. w w e. z ) )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> ( z =/= (/) <-> E. w w e. z ) )
19	15, 18	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> E. w w e. z )
20	19	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> E. w w e. z )
21		intssuni2m 3952	. . . . . . 7 |- ( ( z C_ A /\ E. w w e. z ) -> |^| z C_ U. A )
22	14, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> |^| z C_ U. A )
23	10, 22	eqsstrd 3263	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> y C_ U. A )
24		simplrl 537	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> x e. y )
25	23, 24	sseldd 3228	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> x e. U. A )
26	9, 25	rexlimddv 2655	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) -> x e. U. A )
27	5, 26	exlimddv 1947	. 2 |- ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) -> x e. U. A )
28	2, 27	eqelssd 3246	1 |- ( A e. V -> U. A = U. ( fi ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   =/= wne 2402   E.wrex 2511   \ cdif 3197   i^i cin 3199   C_ wss 3200   (/)c0 3494   ~Pcpw 3652   {csn 3669   U.cuni 3893   |^|cint 3928   ` cfv 5326   Fincfn 6908   ficfi 7166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-fin 6911  df-fi 7167

This theorem is referenced by:  fipwssg  7177